ループスペース

数学の一分野である位相幾何学において、尖端位相空間Xのループ空間Ω Xは、 X内の (基底付き) ループの空間、つまり、コンパクト開位相を備えた、尖端円S ^1からXへの連続した尖端写像である。2 つのループは連結によって乗算できる。この操作により、ループ空間はA _∞空間になる。つまり、乗算はホモトピーコヒーレント結合的である。

Ω Xのパス成分の集合、つまりXの基底付きループの基底付きホモトピー同値類の集合は群、つまり基本群π ₁ ( X )です。

Xの反復ループ空間は、 Ωを複数回適用することによって形成されます。

基点のない位相空間についても同様の作図法があります。位相空間Xの自由ループ空間は、コンパクト開位相を持つ円S ^1からXへの写像の空間です。X の自由ループ空間は、と表記されることが多いです。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}X}$

関数として、自由ループ空間構成は円との直積に右随伴し、ループ空間構成は縮約されたサスペンションに右随伴します。この随伴は、安定ホモトピー理論におけるループ空間の重要性の多くを説明します。(コンピューターサイエンスにおける関連現象はカリー化であり、直積はhom 関数に随伴します。)非公式には、これはエックマン–ヒルトン双対性と呼ばれます。

ループ空間は、同じ空間のサスペンションと双対である。この双対性は、エックマン・ヒルトン双対性と呼ばれることもある。基本的な観察は、

${\displaystyle [\Sigma Z,X]\approxeq [Z,\Omega X]}$

ここで、は写像 のホモトピー類の集合、は A の停止、 は自然な同相写像を表します。この同相写像は本質的に、をカリー化したもの、つまり積を既約積に変換するために必要な商を法とする 同相写像です。${\displaystyle [A,B]}$${\displaystyle A\rightarrow B}$${\displaystyle \Sigma A}$${\displaystyle \approxeq }$

一般に、は任意の空間およびに対して群構造を持たない。しかし、 およびが を指しているとき、および は自然な群構造を持つことが示され、前述の同型はそれらの群の となる。^[1] したがって、（球面）を設定すると、関係式が得られる 。${\displaystyle [A,B]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle [\Sigma Z,X]}$${\displaystyle [Z,\Omega X]}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z=S^{k-1}}$${\displaystyle k-1}$

${\displaystyle \pi _{k}(X)\approxeq \pi _{k-1}(\Omega X)}$。

これはホモトピー群が と定義され、球面が互いの懸濁、すなわち によって得られることから導かれる。^[2]${\displaystyle \pi_{k}(X)=[S^{k},X]}$${\displaystyle S^{k}=\Sigma S^{k-1}}$

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• アダムス、ジョン・フランク（1978）、無限ループ空間、数学研究年報、第90巻、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08207-3、MR  0505692
• メイ、J.ピーター（1972）、反復ループ空間の幾何学、数学講義ノート、第271巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007/BFb0067491、ISBN 978-3-540-05904-2、MR  0420610