サンプル空間

確率論において、実験またはランダム試行の標本空間（標本記述空間^{[ 1 ]} 、可能性空間^{[ 2 ]}、または結果空間^{[ 3 ]}とも呼ばれる）は、その実験のすべての可能な結果または結果の集合である。 ^{[ 4 ]}標本空間は通常、集合記号を用いて表され、可能な順序付き結果、すなわち標本点^{[ 5 ]}が集合の要素として列挙される。標本空間は、S、Ω、またはU（「普遍集合」の略）というラベルで表すのが一般的である。標本空間の要素は、数、単語、文字、または記号である場合がある。また、有限、可算無限、または非可算無限である場合もある。^{[ 6 ]}

標本空間の部分集合はイベントであり、で表される。${\displaystyle E}$実験結果が${\displaystyle E}$するとイベント${\displaystyle E}$発生した。^{[ 7 ]}

例えば、実験がコインを1枚投げることである場合、標本空間は次の集合になります。${\displaystyle \{H,T\}}$結果が${\displaystyle H}$コインが表で結果が${\displaystyle T}$これはコインが裏であることを意味します。^{[ 8 ]}起こりうる事象は次のとおりです。${\displaystyle E=\{\}}$、${\displaystyle E=\{H\}}$、${\displaystyle E=\{T\}}$、 そして${\displaystyle E=\{H,T\}}$2枚のコインを投げる場合、標本空間は${\displaystyle \{HH,HT,TH,TT\}}$結果は${\displaystyle HH}$両方のコインが表の場合、${\displaystyle HT}$最初のコインが表で、2番目のコインが裏の場合、${\displaystyle TH}$最初のコインが裏で、2番目のコインが表の場合、${\displaystyle TT}$両方のコインが裏の場合。^{[ 9 ]}少なくとも一方のコインが表になる事象は次のように表される。${\displaystyle E=\{HH,HT,TH\}}$。

6面サイコロを1回投げ、その結果として表になった目の数を求める場合、標本空間は次のようになる。${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$[ ^{10 ]​}

明確に定義された、空でない標本空間${\displaystyle S}$は確率モデル（確率空間）の3つの構成要素の1つです。他の2つの基本要素は、明確に定義された可能な事象の集合（事象空間）であり、これは通常、のべき集合です。${\displaystyle S}$もし${\displaystyle S}$は離散的またはσ代数である${\displaystyle S}$連続的である場合、各事象に確率が割り当てられます（確率測度関数）。^{[ 11 ]}

標本空間は長方形で視覚的に表現でき、標本空間の結果は長方形内の点で表されます。事象は楕円で表すことができ、楕円内に囲まれた点が事象を構成します。^{[ 12 ]}

セット${\displaystyle \Omega }$結果として$s_1,s_2,...,s_n$（つまり）${\displaystyle \Omega =\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}\}}$) はサンプル空間となるためにいくつかの条件を満たす必要があります: ^{[ 13 ]}

• 結果は相互に排他的でなければならない。つまり、$sj$発生した場合は、他の$s_i$開催されます。${\displaystyle \forall i,j=1,2,\ldots ,n\quad i\neq j}$[ ^{6 ]​}
• 結果は網羅的でなければならない。つまり、すべての実験（またはランダム試行）において、必ず何らかの結果が生じる。$\displaystyle s_{i}\in \Omega }$のために${\displaystyle i\in \{1,2,\ldots ,n\}}$[ ^{6 ]​}
• サンプル空間（${\displaystyle \Omega }$実験者が関心を持つ内容に応じて、適切な粒度を持つ必要がある。無関係な情報はサンプル空間から除外し、適切な抽象化レベルを選択しなければならない。

例えば、コイン投げの試行では、考えられる標本空間の1つは次のようになります。${\displaystyle \Omega _{1}=\{H,T\}}$、 どこ${\displaystyle H}$コインが表と裏に落ちた結果が${\displaystyle T}$はテール用です。別のサンプル空間としては、${\displaystyle \Omega _{2}=\{(H,R),(H,NR),(T,R),(T,NR)\}}$。 ここ、${\displaystyle R}$雨の日を表し、${\displaystyle NR}$雨が降っていない日です。ほとんどの実験では、$\displaystyle \Omega _{1}}$より良い選択肢となるでしょう$\displaystyle \Omega _{2}}$実験者は天候がコイン投げにどう影響するかを気にしない可能性が高いからです。

多くの実験では、実験者が関心を持つ結果に応じて、複数の妥当な標本空間が存在する可能性があります。たとえば、標準的な52枚のトランプからカードを引く場合、標本空間の1つとしてさまざまなランク（エースからキングまで）が考えられますが、もう1つはスート（クラブ、ダイヤ、ハート、スペード）です。^{[ 4 ] [ 14 ]}ただし、結果をより完全に記述するには、額面とスートの両方を指定し、各カードを記述する標本空間を、上記の2つの標本空間の直積として構築できます（この空間には、52の等確率の結果が含まれます）。シャッフル時に一部のカードが裏返された場合、正位置または逆位置などの他の標本空間も考えられます。

確率論の中には、実験の様々な結果が常に等確率で発生すると仮定するものもある。^{[ 15 ]}任意の標本空間に対して${\displaystyle N}$等確率の結果の場合、各結果には確率が割り当てられます。${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$^{[ 16 ]}しかし、等確率の結果の標本空間で簡単に説明できない実験もあります。たとえば、画鋲を何度も投げて、先端が上向きか下向きかを観察する場合、2つの結果が等確率であると示唆する物理的な対称性はありません。^{[ 17 ]}

ほとんどのランダム現象は等確率の結果をもたらすわけではありませんが、結果が少なくともほぼ等確率となるように標本空間を定義することは有用です。なぜなら、この条件は標本空間内の事象の確率の計算を大幅に簡略化するからです。個々の結果がすべて同じ確率で発生する場合、任意の事象の確率は単純に次のようになります。^{[ 18 ]： 346-347}

${\displaystyle \mathrm {P} ({\text{事象}})={\frac {\text{事象における結果の数}}{\text{標本空間における結果の数}}}$

例えば、2つの公平な6面サイコロを投げて2つの均一分布の整数を生成する場合、${\displaystyle D_{1}}$そして${\displaystyle D_{2}}$それぞれ1から6までの範囲（両端を含む）で、考えられる36通りの結果の順序ペア${\displaystyle (D_{1},D_{2})}$等確率の事象の標本空間を構成します。この場合、上記の式が適用されます。例えば、結果における2回のロールの特定の合計の確率を計算する場合などです。合計が特定の事象となる確率${\displaystyle D_{1}+D_{2}}$5 です${\displaystyle {\frac {4}{36}}}$なぜなら、36通りの等確率な結果の組み合わせのうち、4つは合計が5になるからである。

標本空間が6面サイコロ2個を振って得られるすべての可能な合計値である場合、サイコロの出目は公平であるため上記の式は適用できますが、特定のイベントにおける結果の数は異なります。合計が2になる場合、結果は${\displaystyle \{(1,1)\}}$確率は${\displaystyle {\frac {1}{36}}}$合計が7の場合、イベントの結果は次のようになります。${\displaystyle \{(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)\}}$確率は${\displaystyle {\frac {6}{36}}}$[ ^{19 ]​}

確率の初歩的なアプローチでは、標本空間の任意の部分集合は通常、イベントと呼ばれます。^{[ 9 ]}しかし、標本空間が連続である場合、これは問題を引き起こすため、イベントのより正確な定義が必要になります。この定義では、標本空間自体上のσ代数を構成する標本空間の可測部分集合のみがイベントとみなされます。

無限に大きな標本空間の例として、電球の寿命を測定することが挙げられます。対応する標本空間は[ 0, ∞)となります。^{[ 9 ]}

• パラメータ空間
• 確率空間
• 空間（数学）
• 集合（数学）
• 事象（確率論）
• σ代数

• ウィキメディア・コモンズにあるサンプル空間に関連するメディア