ローレンツ群の表現論

ローレンツ群は特殊相対性理論の時空の対称性のリー群である。この群は、あるヒルベルト空間上の行列、線型変換、またはユニタリ演算子の集合として実現することができ、さまざまな表現を持つ。^{[nb 1]} この群が重要なのは、特殊相対性理論と量子力学が最も徹底的に確立された2つの物理理論であり、^{[nb 2]}これら2つの理論の結合がローレンツ群の無限次元ユニタリ表現の研究であるためである。これらは主流の物理学における歴史的な重要性と、より推測的な現代の理論とのつながりの両方を持っている。

ローレンツ群のリー代数の有限次元表現の完全な理論は、半単純リー代数の表現論の一般的な枠組みを使用して導出される。完全なローレンツ群O(3; 1)の連結成分の有限次元表現は、リー対応と行列指数関数を使用することで得られる。 の普遍被覆群（およびスピン群、二重被覆）の完全な有限次元表現論が得られ、 SL ( 2 , C ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )} および s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} の表現における関数空間への作用として明示的に与えられる。時間反転と空間反転の代表例は空間反転と時間反転で示され、完全なローレンツ群の有限次元理論が完成する。(m, n)表現の一般的な特性が概説される。球面調和関数とリーマンP関数への作用を例として挙げて、関数空間への作用が考察される。既約ユニタリ表現の無限次元の場合が主級数と補級数に対して実現される。最後に、に対するプランシュレルの公式が示され、SO(3, 1)の表現が分類され、リー代数に対して実現される。 ${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

表現論の発展は歴史的に、主にエリ・カルタンとヘルマン・ワイルによる、より一般的な半単純群の表現論の発展に追随してきたが、物理学における重要性からローレンツ群も特別な注目を集めてきた。著名な貢献者は物理学者EP・ウィグナーと数学者バレンタイン・バーグマンによるバーグマン・ウィグナー計画である^[1]。その結論の1つは、大まかに言えば、非同次ローレンツ群のすべてのユニタリ表現の分類は、すべての可能な相対論的波動方程式の分類に相当するというものである。^[2]ローレンツ群の既約無限次元表現の分類は、ポール・ディラックの理論物理学の博士課程の学生で、後に数学者となったハリシュ＝チャンドラ^{[注 3]}によって1947年に確立された。対応するの分類は、バーグマンとイスラエル・ゲルファンドがマーク・ナイマークと共同で同年に独立に発表した。 ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

有限次元と無限次元の両方の表現の多くは、理論物理学において重要である。表現は、古典的な場の理論における場、最も重要なのは電磁場、相対論的量子力学における粒子、場の量子論における粒子と量子場、弦理論以降のさまざまな物体の記述に現れる。表現論は、スピンの概念の理論的根拠も提供する。この理論は、時空の十分に小さな領域では物理学が特殊相対性理論の物理学であるという意味で、一般相対性理論に関係する。 ^[3]

有限次元の既約な非ユニタリー表現と、非同次ローレンツ群であるポアンカレ群の既約な無限次元ユニタリー表現は、物理的に直接的な関連性を持つ表現である。^{[4] [5]}

ローレンツ群の無限次元ユニタリー表現は、相対論的量子力学と量子場の理論のヒルベルト空間に作用するポアンカレ群の既約無限次元ユニタリー表現の制限によって現れる。しかし、これらはまた、単なる制限以外の役割で数学的に興味深く、潜在的に直接的な物理的関連性がある。 ^[6]相対性理論と量子力学と整合する推測理論^{[7] [8] （テンソルとスピノルには、ディラックの}展開子とハリシュ・チャンドラの展開子に無限に対応するものがある）はあったが、証明された物理的応用は見つかっていない。現代の推測理論は、以下に示すように、潜在的に同様の要素を持っている。

電磁場と重力場は、自然を正確に記述できる唯一の古典場であるが、他の種類の古典場も重要である。量子場理論(QFT) へのアプローチは第二量子化と呼ばれ、出発点は 1 つ以上の古典場であり、例えばディラック方程式を解く波動関数は (第二) 量子化の前の古典場であると考えられる。^[9]第二量子化とそれに関連するラグランジアン形式主義はQFT の基本的な側面ではないが、^[10]これまでのところ標準モデルを含め、すべての量子場理論はこのようにアプローチできる。^{[11]これらの場合、}最小作用の原理を使用してラグランジアンから導出されたオイラー–ラグランジュ方程式から得られる場の方程式の古典バージョンが存在します。これらの場の方程式は相対論的に不変でなければならず、その解 (以下の定義によれば相対論的波動関数として適格となる) はローレンツ群の何らかの表現の下で変換されなければならない。

ローレンツ群の場の配置の空間への作用（場の配置とは特定の解の時空履歴であり、例えば、全空間における全時間の電磁場は1つの場の配置である）は、交換子括弧が場の理論的なポアソン括弧に置き換えられていることを除いて、量子力学のヒルベルト空間への作用に似ている。^[9]

ここでは、次のように定義する。^[12]相対論的波動関数とは、任意の固有ローレンツ変換^Λのもとで次のように変換される時空上のn個の関数ψαの集合である。

$${\displaystyle \psi '^{\alpha }(x)=D{[\Lambda ]^{\alpha }}_{\beta }\psi ^{\beta }\left(\Lambda ^{-1}x\right),}$$

ここで、D [Λ]は、以下で導入される ( m、n )表現の直和に属するΛを表すn次元行列である。

最も有用な相対論的量子力学の一粒子理論（完全に矛盾のない理論は存在しない）は、元の設定ではクライン＝ゴードン方程式^[13]とディラック方程式^[14]である。これらは相対論的に不変であり、その解はローレンツ群の下でローレンツスカラー（( m , n ) = (0, 0)）とビスピノル（(0, ⁠1/2⁠ ) ⊕ ( ⁠1/2⁠、0)）である。この定義によれば、電磁場は相対論的な波動関数であり、（1, 0）⊕（0, 1）で変換される。 ^[15]

無限次元表現は散乱の解析に用いられることがある。^[16]

量子場の理論では、相対論的不変性の要求が、 S行列が必然的にポアンカレ不変でなければならないことなどによって生じます。 ^{[17]これは、}フォック空間に作用するローレンツ群の無限次元表現が1つ以上存在することを意味します。^{[注 4]}このような表現の存在を保証する1つの方法は、正準形式を用いたシステムのラグランジアン記述（適度な要件が課せられます。参考文献を参照）の存在であり、そこからローレンツ群の生成子の実現が演繹されます。^[18]

場の作用素の変換は、ローレンツ群の有限次元表現とポアンカレ群の無限次元ユニタリ表現が果たす補完的な役割を示しており、数学と物理学の深い一体性を証明している。^[19]説明のために、n成分場の作用素の定義を考えてみよう。^{[20]相対論的場の作用素は、時空上の}n個の作用素値関数の集合であり、 ^{[21] [22]}に従って適切なポアンカレ変換(Λ, a )の下で変換される。

$${\displaystyle \Psi ^{\alpha }(x)\to \Psi '^{\alpha }(x)=U[\Lambda ,a]\Psi ^{\alpha }(x)U^{-1}\left[\Lambda ,a\right]=D{\left[\Lambda ^{-1}\right]^{\alpha }}_{\beta }\Psi ^{\beta }(\Lambda x+a)}$$

ここで、U [Λ, a] は、Ψが定義されているヒルベルト空間上の(Λ, a)を表すユニタリ演算子であり、D はローレンツ群のn次元表現です。変換規則は、量子場理論の2 番目のワイトマン公理です。

質量mとスピンs （またはヘリシティ）を持つ単一粒子を記述するために場の演算子が従わなければならない微分制約を考慮すると、次の式が導かれる。^{[23] [nb 5]}

ここで、a ^†、aはそれぞれ生成演算子と消滅演算子として解釈される。生成演算子a ^{† は[23] [24]}に従って変換される。

$${\displaystyle a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )\rightarrow a'^{\dagger }\left(\mathbf {p} ,\sigma \right)=U[\Lambda ]a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )U\left[\Lambda ^{-1}\right]=a^{\dagger }(\Lambda \mathbf {p} ,\rho )D^{(s)}{\left[R(\Lambda ,\mathbf {p} )^{-1}\right]^{\rho }}_{\sigma },}$$

消滅演算子についても同様である。ここでのポイントは、場の演算子はローレンツ群の有限次元非ユニタリー表現に従って変換されるのに対し、生成演算子は粒子の質量とスピン( m , s )によって特徴付けられるポアンカレ群の無限次元ユニタリー表現に従って変換されるということである。この2つを結びつけるのが波動関数であり、係数関数とも呼ばれる。

$${\displaystyle u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x},\quad v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip\cdot x}}$$

は、ローレンツ変換によって操作されるインデックス( x、α )とポアンカレ変換によって操作されるインデックス( p、σ )の両方を持つ。これはローレンツ・ポアンカレ接続と呼ばれることがある。 ^{[25]この接続を示すために、式}(X1)の両辺にローレンツ変換を施すと、例えばuに対して次のようになる。

$${\displaystyle {D[\Lambda ]^{\alpha }}_{\alpha '}u^{\alpha '}(\mathbf {p} ,\lambda )={D^{(s)}[R(\Lambda ,\mathbf {p} )]^{\lambda '}}_{\lambda }u^{\alpha }\left(\Lambda \mathbf {p} ,\lambda '\right),}$$

ここで、DはΛの非ユニタリローレンツ群の表現であり、D ^{( s )}はポアンカレ群の表現から導出されるΛとpに関連付けられたいわゆるウィグナー回転 Rのユニタリ表現であり、 sは粒子のスピンです。

上記の式はすべて、生成演算子と消滅演算子による場の演算子の定義、指定された質量、スピン、および変換されるはずの( m , n )表現を持つ粒子に対する場の演算子が満たす微分方程式、および波動関数の微分方程式を含め、量子力学と特殊相対論の枠組みが与えられれば、群論的考察のみから導くことができます。 [ ^{nb 7]}

時空がD = 4次元以上を持つ理論では、適切な次元の一般化ローレンツ群O( D −1;1)がO(3;1)の代わりになる。^{[nb 8]}

ローレンツ不変性の要件は、弦理論においておそらく最も劇的な効果を発揮する。古典的な相対論的弦は、南部-後藤作用を使用することでラグランジアン枠組みで扱うことができる。^[26]この結果、任意の時空次元で相対論的に不変な理論が得られる。^[27]しかし結局のところ、開いたボゾン弦と閉じた ボゾン弦の理論（最も単純な弦理論）は、時空の次元が 26 でない限り、ローレンツ群が状態空間（ヒルベルト空間）上に表されるように量子化することは不可能である。 ^[28]超弦理論に対する対応する結果は、ローレンツ不変性を要求することで再び導出されるが、今度は超対称性を伴う。これらの理論では、ポアンカレ代数が、ポアンカレ代数を拡張したZ ₂次リー代数である超対称代数に置き換えられている。このような代数の構造は、ローレンツ不変性の要求によって大部分が固定されている。特に、フェルミオン演算子（グレード1）は、（0、⁠1/2⁠ )または( ⁠1/2⁠、0)（通常の）ローレンツ・リー代数の表現空間。 ^[29]このような理論における時空の唯一の可能な次元は10である。 ^[30]

群の表現論一般、特にリー群は非常に豊かな主題である。ローレンツ群は表現論の文脈において「好ましい」性質と「あまり好ましくない」性質を持っている。群は単純で半単純だが連結されておらず、その成分はどれも単連結ではない。さらに、ローレンツ群はコンパクトではない。^[31]

有限次元表現の場合、半単純性が存在するということは、十分に発達した理論を使用して、ローレンツ群を他の半単純群と同じように扱うことができることを意味します。さらに、リー代数は完全な還元性を持つため、すべての表現は既約表現から構築されます。^{[nb 9] [32]}しかし、ローレンツ群の非コンパクト性と単純連結性の欠如を組み合わせると、単純連結コンパクト群に適用される単純なフレームワークのようにすべての側面で扱うことはできません。非コンパクト性は、連結された単純リー群の場合、非自明な有限次元ユニタリ表現が存在しないことを意味します。^[33]単純連結性の欠如は、グループのスピン表現を生み出します。 ^{[34]非連結性は、完全なローレンツ群の表現の場合、}時間反転と空間方向の反転を別々に扱う必要があることを意味します。 ^{[35] [36]}

ローレンツ群の有限次元表現論の発展は、主に表現論一般の発展に従っている。リー理論は1873年にソフス・リーによって始まった。 ^{[37] [38]} 1888年までに単純リー代数の分類は基本的にヴィルヘルム・キリングによって完成された。^{[39] [40]} 1913年には単純リー代数の表現に対する最高重み定理がエリー・カルタンによって完成され、ここでその道筋がたどられる。^{[41] [42]} リチャード・ブラウアーは1935年から1938年にかけて、ローレンツ・リー代数のスピン表現をクリフォード代数に埋め込む方法を記述するワイル・ブラウアー行列の開発に大きく貢献した。^{[43] [44]}ローレンツ群は物理学におけるその並外れた重要性のため、歴史的に表現論においても特別な注目を集めてきた（下記の無限次元ユニタリー表現の歴史を参照）。数学者のヘルマン・ワイル^{[41] [45] [37] [46] [47]}とハリシュ・チャンドラ^{[48] [49]}、物理学者のユージン・ウィグナー^{[50] [51]}とバレンタイン・バーグマン^{[52] [ 53] [54]}は、一般表現論と特にローレンツ群の両方に多大な貢献をした。^[55]物理学者のポール・ディラックは、 1928年にディラック方程式ですべてのものを明らかに結びつけ、その後も重要な実用的な応用を行った最初の人物だった。^{[56] [57] [注 10]}

この節では、ローレンツ群のリー代数の複素化 の既約複素線型表現について説明します。 の便利な基底は、回転の3 つの生成元J _iとブーストの3 つの生成元K _iによって与えられます。 これらは、規約とリー代数基底で明示的に与えられます。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

リー代数は複素化され、その基底は2つのイデアルの成分に変更される^[58] $${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2}},\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K} }{2}}.}$$

A = ( A ₁ ,  A ₂ ,  A ₃ )とB = ( B ₁ ,  B ₂ ,  B ₃ )の成分はそれぞれリー代数の交換関係を満たし、さらに互いに交換可能である。^[59]${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

$${\displaystyle \left[A_{i},A_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}A_{k},\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}B_{k},\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0,}$$

ここで、i、  j、  k はそれぞれ1、 2、 3の値を取るインデックスであり、ε _{ijk は}3 次元のLevi-Civita 記号です。および はそれぞれAとBの複素線形スパンを示すものとします。 ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \mathbf {B} _{\mathbb {C} }}$

同型性を持つもの^{[60] [nb 11]}

の複雑化はどこにあるのか${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\cong \mathbf {A} \cong \mathbf {B} .}$

これらの同型の有用性は、 のすべての既約表現${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$、したがって のすべての既約複素線型表現が既知であるという事実に由来します。 の既約複素線型表現は、最も重みの高い表現の 1 つと同型です。 これらは、 s l ( 2 , C ) の複素線型表現で明示的に与えられます。 {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).} ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

リー代数はのリー代数である。リー代数には、リー代数を持つコンパクト部分群SU(2) × SU(2 )が含まれる。後者は、のコンパクトな実数形式である。したがって、ユニタリアントリックの最初のステートメントから、SU(2) × SU(2)の表現は、の正則表現と1対1に対応している。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2).}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$

コンパクト性により、ピーター・ワイル定理はSU(2) × SU(2)に適用され、^[61]既約な指標の正規直交性が主張される。SU (2) × SU(2)の既約なユニタリ表現は、まさにSU(2)の既約なユニタリ表現のテンソル積である。^[62]

単純な連結性に訴えることで、ユニタリアントリックの 2 番目のステートメントが適用されます。次のリストのオブジェクトは 1 対 1 で対応しています。

• 正則表現${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$
• SU(2) × SU(2)の滑らかな表現
• 実数線形表現${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$
• 複素線形表現${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

表現のテンソル積は、リー代数レベルでは^{[nb 12]のいずれかとして現れる。}

ここで、 Id は恒等演算子である。ここでは、(G6)から導かれる後者の解釈を意図している。 の最高重み表現は、μ = 0, 1/2, 1, ...に対してμでインデックス付けされる。(最高重みは実際には2 μ = 0, 1, 2, ...であるが、ここでの表記は の表記に適応されている) このような 2 つの複素線形因子のテンソル積は、 の既約複素線形表現を形成する。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$

最後に、(A1)の左端の実数形、および右端の実数形^{[nb 13]}の-線型表現は、前の段落で特徴付けられた の-線型表現から得られる。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

(A1)の同型を介して得られるの複素化の複素線型表現は、 の実線型表現と一対一に対応する^{[63] 。のすべての}実線型既約表現の集合は、したがって、ペア( μ , ν )でインデックス付けされる。実線型表現の複素化に正確に対応する複素線型表現は、形式( μ , 0)であり、共役線型表現は(0, ν )である。^{[63]その他はすべて実線型のみである。線型性の特性は、 の}(A1)の右端、その複素化への標準的な注入から得られる。形式( ν , ν )または( μ , ν ) ⊕ ( ν , μ )上の表現は、実行列で与えられる（後者は既約ではない）。明示的には、 の実線型( μ , ν )表現は 、の複素線型既約表現とその複素共役表現です。 (数学の文献では通常、ラベル付けは0、1、2 、...ですが、ここではリー代数のラベル付けに合わせて半整数が選択されています。) ここで、テンソル積は(A0)の以前の意味で解釈されます。 これらの表現は、以下で具体的に実現されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} },}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$$${\displaystyle \varphi _{\mu ,\nu }(X)=\left(\varphi _{\mu }\otimes {\overline {\varphi _{\nu }}}\right)(X)=\varphi _{\mu }(X)\otimes \operatorname {Id} _{\nu +1}+\operatorname {Id} _{\mu +1}\otimes {\overline {\varphi _{\nu }(X)}},\qquad X\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$$${\textstyle \varphi _{\mu },\mu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\overline {\varphi _{\nu }}},\nu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)}$

(A1)に示された同型性と、 JおよびK を解いたときのの複素線型既約表現の知識により、 のすべての既約表現と、制限により の既約表現が得られます。この方法で得られた の表現は、共役時に代数が閉じていないため実線型（複素線型や共役線型ではない）ですが、それでも既約です。^[60]は半単純なので、^[60]そのすべての表現は既約表現の 直和として構築できます。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} },}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

したがって、ローレンツ代数の有限次元既約表現は、半整数m = μとn = νの順序付きペアによって分類され、慣例的に次のように表記される 。 ここで、Vは有限次元ベクトル空間である。これらは、相似変換を除いて、次のように一意に与えられる^{[nb 14]。}$${\displaystyle (m,n)\equiv \pi _{(m,n)}:{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\mathfrak {gl}}(V),}$$

ここで、1 _{n は}n次元単位行列であり、 はスピン行列または角運動量行列とも呼ばれる(2 n  + 1)次元の既約表現 である。これらは明示的に次のように与えられる^[64] 。 ここで、δ はクロネッカーのデルタを表す。 − m ≤ a、a′ ≤ m、− n ≤ b、b′ ≤ nの成分では、表現は次のように与えられる^[65]。$${\displaystyle \mathbf {J} ^{(n)}=\left(J_{1}^{(n)},J_{2}^{(n)},J_{3}^{(n)}\right)}$$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J_{1}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {(j-a)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}+{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a-1}\right)\\\left(J_{2}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt {(j-a)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}-{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a-1}\right)\\\left(J_{3}^{(j)}\right)_{a'a}&=a\delta _{a',a}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pi _{(m,n)}\left(J_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}+\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}\\\left(\pi _{(m,n)}\left(K_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=-i\left(\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}-\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}\right)\end{aligned}}}$$

• (0, 0)表現は 1 次元の自明な表現であり、相対論的スカラー場理論によって実行されます。
• フェルミオン超対称性生成子は、（0、  ⁠1/2⁠ )または( ⁠1/2⁠ , 0) 表現（ワイルスピノル）。 ^[29]
• 粒子（質量がないか質量がある）の4元運動量は、（⁠1/2⁠、  ⁠1/2⁠）表現、4 つのベクトル。
• （1,1）トレースレス対称 テンソル場の物理的な例としては、エネルギー運動量テンソルT ^μνのトレースレス^{[nb 15]}部分が挙げられる。^{[66] [nb 16]}

m ≠ nとなる任意の既約表現については複素数体上で演算することが必須であるため、表現( m ,  n )と( n ,  m )の直和は、 実数上で線形演算子を使用できるようになるため、物理学に特に関連しています。

• （⁠1/2⁠ , 0) ⊕ (0,  ⁠1/2⁠）はビスピノル表現です。下記のディラックスピノルとワイルスピノルとビスピノルも参照してください。
• (1,  ⁠1/2⁠ ) ⊕ ( ⁠1/2⁠、 1) は、Rarita–Schwingerフィールド表現です。
• （⁠3/2⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠3/2⁠ ) は、仮定されたグラビティーノの対称性である。 ^{[nb 17]}これは、 (1,  ⁠1/2⁠ ) ⊕ ( ⁠1/2⁠、1)表現。
• (1, 0) ⊕ (0, 1)はパリティ不変2形式場（別名曲率形式）の表現である。電磁場テンソルはこの表現に従って変換される。

この節のアプローチは、基本的なリー対応に基づく定理に基づいています。^[67]リー対応は本質的には、連結されたリー群とリー代数の間の辞書です。^[68]それらの間のリンクは、リー代数からリー群への指数写像であり、${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G.}$

あるベクトル空間Vが表現であるとき、 Gの連結成分の表現Πは次のように定義される。 ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$

この定義は、結果の表現が射影的であるかどうかに関係なく適用されます。

実用的な観点からは、(G2)の最初の式が群のすべての元に使用できるかどうかが重要です。 この式はすべての に当てはまりますが、一般的な場合、たとえば の場合、すべてのg ∈ Gがexpの像になるわけではありません。 ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

しかし、は射影的である。これを示す一つの方法は、同型写像、すなわちメビウス群を利用することである。これは の商である（リンク先の記事を参照）。商写像は で表される。写像は全射である。^[69] pの恒等微分をπとして(Lie)を適用する。すると ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\text{SO}}(3;1)^{+}}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}\cong {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} ),}$${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle p:{\text{GL}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} ).}$${\displaystyle \exp :{\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \forall X\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} ):\quad p(\exp(iX))=\exp(i\pi (X)).}$$

左辺は射影的（expとpは両方とも）なので、右辺も射影的であり、したがって射影的である。^{[70]最後に、} SO(3; 1) ⁺と間の既知の同型を用いて議論をもう一度繰り返し、ローレンツ群の連結成分に対して expが全射であることを見つける。${\displaystyle \exp :{\mathfrak {pgl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}$

ローレンツ群は二重連結である、すなわち π ₁ (SO(3; 1))はループの同値類を2つその要素として持つ群である。

π ₁ (SO(3; 1) ⁺ )には 2 つの要素があるため、リー代数のいくつかの表現は射影表現を生成します。^{[73] [nb 18]}表現が射影的かどうかがわかれば、式(G2)はすべてのグループ元と、射影表現を含むすべての表現に適用されます。ただし、グループ元の代表値は、リ​​ー代数のどの要素 ( (G​​2 )のX ) が標準表現でグループ元を表すために使用されるかによって決まることを理解してください。

ローレンツ群では、m + nが半整数の とき、 ( m , n )表現は射影的である。§ スピノルを参照。

SO(3; 1) ⁺の射影表現Πについては、^[72]

SO(3; 1) ⁺の任意のループを2回走査すると、二重連結性により点に縮約可能となり、そのホモトピー類は定数写像のホモトピー類となる。したがって、 Πは2価関数である。SO(3; 1) ⁺全体の連続表現を得るために一貫して符号を選択​​することは不可能だが、任意の点の周りで局所的に可能である。 ^[33]

基底を持つ実リー代数 として考える${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\sigma _{1},{\frac {1}{2}}\sigma _{2},{\frac {1}{2}}\sigma _{3},{\frac {i}{2}}\sigma _{1},{\frac {i}{2}}\sigma _{2},{\frac {i}{2}}\sigma _{3}\right)\equiv (j_{1},j_{2},j_{3},k_{1},k_{2},k_{3}),}$$

ここでシグマはパウリ行列である。関係式から

得られる

これらは、の交換関係の3次元版の形とまったく同じです(以下の規約とリー代数基底を参照)。したがって、線型性によって拡張された写像J _i ↔ j _i , K _i ↔ k _{i は}同型です。は単連結なので、これはSO(3; 1) ⁺の普遍被覆群です。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

指数写像は全射ではない。^[76]行列 ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

は存在しますが、 q = exp( Q )となるものは存在しません。^{[nb 22]}${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$${\displaystyle Q\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

一般に、gがリー代数を持つ連結リー群Gの元である場合、(Lie)により、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$

行列qは次のように書ける。

と の複素線型表現は、表現よりも簡単に得ることができます。これらは最初から書き下ろすことができます (通常はそうします)。正則群表現 (つまり、対応するリー代数表現は複素線型) は、複素線型リー代数表現と累乗で関連しています。 の実数線型表現は、 まさに( μ , ν )表現です。これらも累乗できます。( μ , 0)表現は複素線型であり、最高の重み表現 (と同型) です。これらは通常、1 つの整数のみでインデックス付けされます (ただし、ここでは半整数が使用されます)。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)^{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

このセクションでは、便宜上、数学の慣例が用いられている。リー代数の要素はi倍異なり、他の物理学の慣例と比較すると、指数写像には i倍の要素はない。の基底を^[77]とする。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

この基底の選択と表記法は数学の文献では標準的です。

既約な正則（n + 1）次元表現は 、 2変数のn次の同次多項式の空間上で実現できる^{[78] [79]。}その要素は ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),n\geqslant 2,}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{n}^{2},}$

$${\displaystyle P{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=c_{n}z_{1}^{n}+c_{n-1}z_{1}^{n-1}z_{2}+\cdots +c_{0}z_{2}^{n},\quad c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {Z} .}$$

の作用は^{[80] [81]}で与えられる。${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

関連する-作用は、(G6)と上記の定義を用いると、^{[82]の基底要素に対して}${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$

の基底を選択すると、これらの表現は行列リー代数になります。 ${\displaystyle P\in \mathbf {P} _{n}^{2}}$

( μ , ν )表現は、 μ次同次およびν次同次における多項式空間上で実現される^[79]。表現は^{[83]で与えられる。}${\displaystyle \mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}}$${\displaystyle z_{1},{\overline {z_{1}}},z_{2},{\overline {z_{2}}},}$${\displaystyle z_{1},z_{2}}$${\displaystyle {\overline {z_{1}}},{\overline {z_{2}}}.}$

（G6）を再度 用いると、

特に基礎要素については、

の既約複素線型表現π _{m = μ}とπ _{n = ν}のテンソル積の(A1)（実数形式への制限として）によって上で定義された( m ,  n )表現は既約であり、唯一の既約表現である。^[61]${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3,1)}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$

• 既約性はユニテリアントリック^{[84]から得られ、} SU(2) × SU(2)の表現ΠはΠ = Π _μ ⊗ Π _νの場合にのみ既約可能です。^{[注記 23]}ここでΠ _μ、 Π _νは既約ですSU(2)の表現。
• 唯一性は、 Πm_がSU(2)の唯一の既約表現であることから導かれ、これは最高重み定理の結論の1つである。^[85]

( m ,  n )表現は(2 m  + 1)(2 n  + 1)次元である。^[86]これは、 SL ( 2 , C ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )} や s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} の表現で与えられるような具体的な実現における次元を数えることから最も簡単に従える。リー一般代数の場合、ワイル次元公式, [ ^87] が適用され、ここでR ⁺は正根の集合、ρは最大の重み、δ は正根の合計の半分である。内積は、ワイル群のカルタン部分代数への作用に対するリー代数不変量の内積である。根（実際は の元）は、この内積を介して の元と同一視されます。の場合、式はdim π _μ = 2 μ + 1 = 2 m + 1に簡約されます。ここで、現在の表記法を考慮する必要があります。最大の重みは2 μです。^[88]テンソル積を取ると、結果が続きます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ $${\displaystyle \dim \pi _{\rho }={\frac {\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\rho +\delta \rangle }{\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\delta \rangle }},}$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}},}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$

リー群Gの表現Πが忠実でない場合、N = ker Πは非自明な正規部分群である。^[89]関連するケースが3つある。

1. N は非離散かつアーベルです。
2. N は非離散かつ非可換です。
3. Nは離散的である。この場合、 N⊂Zであり、 ZはGの中心である。 ^{[nb 24]}

SO(3; 1) ⁺の場合、SO(3; 1) ⁺は半単純であるため、最初のケースは除外されます。^{[nb 25]} 2番目のケース（および最初のケース）は、 SO(3; 1) ⁺が単純であるため除外されます。^{[nb 26]} 3番目のケースでは、SO(3; 1) ^{+ は}商に同型ですが、の中心です。したがって、SO(3; 1) ⁺の中心は自明であり、これにより3番目のケースは除外されます。結論として、V 、 W有限次元ベクトル空間に対するすべての表現Π : SO(3; 1) ⁺ → GL( V )とすべての射影表現Π : SO(3; 1) ⁺ → PGL( W )は忠実です。 ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}.}$${\displaystyle \{\pm I\}}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$

基本的なリー対応を用いることで、上記の記述と推論は、（可換な）非自明な非離散正規部分群をリー代数の（1次元の）非自明なイデアルに置き換えたリー代数に直接変換され、^[90] SO(3; 1) ⁺の中心はの中心に置き換えられます。任意の半単純リー代数の中心は自明であり^[91]、半単純かつ単純であり、したがって非自明なイデアルは存在しません。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;1)^{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

関連する事実として、 の対応する表現が忠実であれば、その表現は射影的であるということです。逆に、 の表現が非射影的であれば、対応する表現は忠実ではなく、2:1です。 ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

( m ,  n )リー代数表現はエルミートではない。したがって、群の対応する（射影的）表現は決してユニタリではない。^{[nb 27]}これはローレンツ群の非コンパクト性によるものである。実際、連結された単純非コンパクトリー群は、非自明なユニタリ有限次元表現を持つことはできない。 [ 33 ^]これには位相的な証明がある。^[92] u  : G → GL( V )（ここでVは有限次元）を、非コンパクト連結単純リー群Gの連続ユニタリ表現とする。すると、u ( G ) ⊂ U( V ) ⊂ GL( V )となり、U( V )はVのユニタリ変換からなるGL( V )のコンパクト部分群である。uの核はGの正規部分群である。Gは単純であるため、ker uはG全体であるか（この場合uは自明）、ker uは自明であるか（この場合uは忠実である）のいずれかである。後者の場合、 u はその像への微分同相写像であり、 ^[93] u ( G ) ≅ Gであり、u ( G )はリー群である。これは、 u ( G )がコンパクト群U( V )の埋め込まれた非コンパクトリー部分群であることを意味する。これは、 u ( G ) ⊂ U( V ) 上の部分空間位相では不可能である。なぜなら、リー群の埋め込まれたリー部分群はすべて閉じているからである [94]。 u ( G )が閉じていれば、コンパクトに^なるはずである[ nb ^28]。すると、仮定に反して、 G はコンパクトになるはずである^{[nb 29] 。 [nb 30]}

ローレンツ群の場合、これは定義から直接見ることができる。構築に使用されたAとBの表現はエルミートである。これは、 Jはエルミートであるが、Kは反エルミートであることを意味する。^[95]量子場の理論では、対象がローレンツ不変な正定値ノルムを持つ必要がないため、非ユニタリー性は問題にならない。^[96]

ただし、 ( m ,  n )表現は回転部分群SO(3)に制限されている場合はユニタリですが、これらの表現は SO(3) の表現として既約ではありません。Clebsch –Gordan 分解を適用すると、( m ,  n )表現には、最大重み (スピン) m + n、m + n − 1、...、| m − n |のSO(3)不変部分空間があることが示されます^[97]。ここで、可能な最大重み (スピン) はそれぞれ 1 回だけ出現します。最大重み (スピン) jの重み部分空間は(2 j + 1)次元です。したがって、たとえば、 ( ⁠ 1/2⁠、  ⁠1/2⁠）表現には、それぞれ次元 3 と 1 のスピン 1 およびスピン 0 サブスペースがあります。

角運動量演算子はJ = A + Bで与えられるので、回転サブ表現の量子力学における最高スピンは( m + n )ℏとなり、角運動量の加算の「通常の」規則と3-j記号、6-j記号などの形式主義が適用される。^[98]

表現がスピンを持つかどうかを決定するのは、既約表現のSO(3)不変部分空間です。上記の段落から、 m + nが半整数の場合、 ( m ,  n )表現はスピンを持つことがわかります。最も単純なのは( ⁠1/2⁠ , 0)および(0,  ⁠1/2⁠ ) 、 2次元のワイルスピノル。すると、例えば、 (0,  ⁠3/2⁠ )および(1,  ⁠1/2⁠）は次元2⋅のスピン表現である⁠3/2⁠ + 1 = 4かつ(2 + 1)(2⋅ ⁠1/2⁠ + 1) = 6である。上記の段落によれば、スピンが⁠ と ⁠の両方である部分空間が存在する。3/2⁠と⁠1/2⁠最後の2つのケースでは、これらの表現はSO(3)の下で適切に振る舞う単一の物理粒子を表現することはできない可能性が高い。しかし、一般的には、異なるスピンを持つ複数のSO(3)サブ表現を持つ表現が、明確に定義されたスピンを持つ物理粒子を表現できる可能性を排除することはできない。非物理的な成分を投影して単一のスピンだけを残す適切な相対論的波動方程式が存在する可能性がある。 ^[99]

純粋スピンの構築⁠ん/2⁠任意のnに対する表現（ SO(3)の下で）を既約表現から得るには、ディラック表現と非スピン表現のテンソル積を取り、適切な部分空間を抽出し、最後に微分制約を課す必要がある。 ^[100]

既約表現の双対表現が元の表現と 同型であるかどうかを調べるために、次の定理が適用されます。

1. 半単純リー代数の既約表現の双対表現の重みの集合は、重複度を含めて、元の表現の重みの集合の負である。^[101]
2. 2つの既約表現が同型となるのは、それらの最大重みが同じである場合のみです。^{[nb 31]}
3. _{半単純リー代数ごとに、}ワイル群の唯一の元w0_{が存在し、} μが支配的な積分重みであるならば、 w0⋅ (−μ )もまた支配的な積分重みとなる。^[102]
4. が最高重みμ0_を持つ既約表現である場合、最高重みw0⋅ (−μ )を_持つ。^[102]${\displaystyle \pi _{\mu _{0}}}$${\displaystyle \pi _{\mu _{0}}^{*}}$

ここで、ワイル群の元は、行列の乗算によって、ルートの実ベクトル空間に作用する直交変換と見なされます。− I が半単純リー代数のワイル群の元である場合、 w ₀ = − Iです。ワイル群の場合はW = { I , − I }です。^[103]したがって、各π _μ、μ = 0、1、...はその双対に同型です。のルート系は右の図に示されています。^{[nb 32]}ワイル群は によって生成されます。ここで、 はγ がすべてのルートにわたるので、γに直交する平面での反射です。^{[nb 33]調べてみると、} w _α ⋅ w _β = − Iなので、− I ∈ Wであることがわかります。π、σ がリー代数表現であり、π ≅ σならばΠ ≅ Σ であるという事実を用いると、^[104] SO(3; 1) ⁺の結論は次のようになる。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$${\displaystyle \pi _{\mu }^{*}.}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \{w_{\gamma }\}}$${\displaystyle w_{\gamma }}$$${\displaystyle \pi _{m,n}^{*}\cong \pi _{m,n},\quad \Pi _{m,n}^{*}\cong \Pi _{m,n},\quad 2m,2n\in \mathbf {N} .}$$

π がリー代数の表現であるならば、 は表現であり、バーは代表行列のエントリごとの複素共役を表す。これは、複素共役が加算および乗算と可換であることから導かれる。^[105]一般に、のあらゆる既約表現πは、 π = π ⁺ + π ⁻と一意に表すことができる。ここで^{[106] は}正則（複素線型）および反正則（共役線型）である。 は正則であるため、 は反正則である。以下の式（S8）のおよびの明示的な表現を直接調べると、それぞれ正則および反正則であることがわかる。表現（S8）をより詳しく調べると、 および を次のよう に識別することもできる。${\displaystyle {\overline {\pi }}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle \pi ^{\pm }(X)={\frac {1}{2}}\left(\pi (X)\pm i\pi \left(i^{-1}X\right)\right),}$$${\displaystyle \pi ^{+}}$${\displaystyle \pi ^{-}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$${\displaystyle \pi _{\mu }}$${\displaystyle {\overline {\pi _{\mu }}}}$${\displaystyle \pi _{\mu ,0}}$${\displaystyle \pi _{0,\nu }}$${\displaystyle \pi ^{+}}$${\displaystyle \pi ^{-}}$${\displaystyle \pi _{\mu ,\nu }}$$${\displaystyle \pi _{\mu ,\nu }^{+}=\pi _{\mu }^{\oplus _{\nu +1}},\qquad \pi _{\mu ,\nu }^{-}={\overline {\pi _{\nu }^{\oplus _{\mu +1}}}}.}$$

上記の恒等式（関数の点ごとの加算として解釈）を使用すると、SO(3; 1) ⁺は、 exp( X ) = exp( X ) からグループ表現のステートメントが導かれる結果 となります。したがって、 m = nの場合にのみ、既約表現( m , n )は実数行列表現を持ちます。形式( m , n ) ⊕ ( n , m )上の既約表現も実数行列を持ちます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\pi _{m,n}}}&={\overline {\pi _{m,n}^{+}+\pi _{m,n}^{-}}}={\overline {\pi _{m}^{\oplus _{2n+1}}}}+{\overline {{\overline {\pi _{n}}}^{\oplus _{2m+1}}}}\\&=\pi _{n}^{\oplus _{2m+1}}+{\overline {\pi _{m}}}^{\oplus _{2n+1}}=\pi _{n,m}^{+}+\pi _{n,m}^{-}=\pi _{n,m}\\&&&2m,2n\in \mathbb {N} \\{\overline {\Pi _{m,n}}}&=\Pi _{n,m}\end{aligned}}}$$

一般的な表現論では、( π ,  V )がリー代数の表現である場合、端( V )上の関連する表現が存在し、πとも表記され、次のように表される。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$

同様に、群Gの表現(Π,  V )はGのEnd( V )上の表現Π を生成し、これもΠと表記され、 ^[107]で与えられる。

πとΠ が上の標準表現であり、作用が に制限されている場合 、上記の 2 つの表現はそれぞれリー代数の随伴表現と群の随伴表現です。任意の行列リー群に対して、対応する表現 (一部または) が常に存在し、一般的な表現論の研究、特に任意の特定のリー群の研究にとって非常に重要です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\subset {\text{End}}(\mathbb {R} ^{4}),}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

これをローレンツ群に適用すると、(Π,  V )が射影表現である場合、(G5)を使用した直接計算により、 End( V )上の誘導表現が適切な表現、つまり位相因子のない表現であることが示されます。

量子力学では、( π ,  H )または(Π,  H )が何らかのヒルベルト空間Hに作用する表現である場合、対応する誘導表現はH上の線型作用素の集合に作用することを意味します。例として、射影スピン( ⁠1/2⁠ , 0) ⊕ (0,  ⁠1/2⁠ )のEnd( H )上の表現は、非射影 4 次元ベクトル ( ⁠1/2⁠、  ⁠1/2⁠）表現。^[108]

簡単にするために、 End( H )の「離散部分」 、つまりHの基底が与えられた場合の、さまざまな次元（無限次元も含む）の定数行列の集合のみを考えます。この簡略化されたEnd( H )上の上記の の誘導された 4 ベクトル表現には、4 つのガンマ行列が張る不変 4 次元部分空間があります。^[109]（リンクされた記事では、メトリックの規則が異なります。）同様に、ガンマ行列によって複素化が生成される時空の完全なクリフォード代数は、スカラー既約表現（irrep）である（0, 0）の表現空間の直和として分解されます。擬スカラーのirrepである（0, 0）ですが、パリティ反転固有値が−1です（次のセクションを参照）、すでに述べたベクトルirrep （⁠${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} ),}$${\displaystyle {\text{M}}(4,\mathbb {C} ),}$1/2⁠、⁠1/2⁠ )、擬似ベクトル不変表現、 ( ⁠1/2⁠、⁠1/2⁠）は、パリティ反転固有値が+1（-1ではない）で、テンソル不変表現（1, 0）⊕（0, 1）である。 ^{[110]次元は}1 + 1 + 4 + 4 + 6 = 16となる。言い換えれば、

ここで、慣例に従い、表現はその表現空間と混同されます。

テンソル(1, 0)⊕(0, 1)の6次元表現空間の内部には2つの役割がある。^[111]${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )}$

ここでガンマ行列、シグマはテンソル表現空間を張る。括弧の反対称性により、6つだけが非ゼロである。さらに、それらはローレンツ・リー代数の交換関係を持つ。 ^[112]${\displaystyle \gamma ^{0},\ldots ,\gamma ^{3}\in {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )}$

そして、それゆえ、表現空間を張るだけでなく、（⁠${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} ),}$1/2⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠1/2⁠）スピン表現。詳細については、ビスピノルとディラック代数を参照してください。

結論としては、End( H )の複素化されたすべての要素(つまり、すべての複素4 × 4行列) には、明確に定義されたローレンツ変換特性があります。さらに、ローレンツ リー代数のスピン表現があり、指数化によってグループのスピン表現になり、ビスピノルの空間を作成するように作用します。 ${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{4},}$

既約表現から演繹できる表現は他にも多数あり、たとえば既約表現の直和、テンソル積、商を取ることによって得られる表現などがあります。表現を得る他の方法には、ローレンツ群を含むより大きな群、たとえばポアンカレ群の表現を制限することなどがあります。これらの表現は一般に既約ではありません。 ${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {R} )}$

ローレンツ群とそのリー代数は完全な還元可能性を持ちます。これは、すべての表現が既約表現の直和に還元されることを意味します。したがって、還元表現については説明しません。

( m ,  n )表現(おそらく射影的)は、表現SO(3;1) ⁺、つまりローレンツ群の恒等成分、物理学用語では適切な正時ローレンツ群として既約である。m = nの場合には、空間パリティ反転と時間反転を含む完全なローレンツ群O(3;1)全体の表現に拡張できる。表現( m , n )⊕( n , m )も同様に拡張できる。^[113]

空間パリティ反転については、P ∈ SO(3; 1)の随伴作用 Ad _Pが考慮される。ここでP は空間パリティ反転の標準表現であり、P = diag(1, −1, −1, −1)であり、次のように与えられる。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

Pの下でのKとJのこれらの性質が、KのベクトルとJの擬似ベクトルまたは軸ベクトルという用語の根拠となっている。同様に、πが の任意の表現でΠがその関連群表現である場合、Π(SO(3; 1) ⁺ )はπの表現に随伴作用π ( X ) ↦ Π( g )  π ( X ) Π( g ) ⁻¹ ( g ∈ SO(3; 1) ⁺に対して作用する。PがΠに含まれる場合、(F1)との整合性から次の式が成立する必要がある。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {so}}(3;1),}$

が成り立ちます。ここで、AとB は最初のセクションで定義されています。これは、A _iとB _{i が}同じ次元を持つ場合、つまりm = nの場合にのみ成り立ちます。m ≠ nの場合、( m ,  n ) ⊕ ( n ,  m )は、 SO(3; 1) ⁺の既約表現、つまり直交ローレンツ群に拡張できます。パリティ反転表現Π( P ) は、 ( m ,  n )表現の一般的な構成では自動的には現れません。これは別途指定する必要があります。行列β = i γ ⁰ (またはそれを法 −1 倍した倍数) は、 ( ⁠ 1/2⁠ , 0) ⊕ (0,  ⁠1/2⁠）^[114]表現。

(0,0)表現にマイナス符号（1×1行列[−1] ）を伴うパリティが含まれる場合、それは擬似スカラー表現と呼ばれます。

時間反転 T = diag(−1, 1, 1, 1)は^[115]によって同様に作用する。${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

Tの代表とPの代表を明示的に含めることで、完全なローレンツ群O(3; 1)の表現が得られる。しかし、物理学、特に量子力学への応用では微妙な問題が現れる。完全なポアンカレ群を考えると、 J ⁱとK ⁱに加えて、さらに 4 つの生成元P ^μが群を生成する。これらは、並進運動の生成元として解釈される。時間成分P ⁰はハミルトニアンHである。演算子T は、関係式^{[116]を満たす。}

完全なポアンカレ代数に置き換えた上記の関係と同様に、 となる。 iを単に消去するだけで、 THT ⁻¹ = − Hという結果から、時間反転不変性を持つ量子状態のヒルベルト空間における正のエネルギーEを持つすべての状態Ψに対して、負のエネルギー− Eを持つ状態Π( T ⁻¹ )Ψ が存在することになる。このような状態は存在しない。したがって、演算子Π( T )は反線型かつ反ユニタリが選択され、iと反交換してTHT ⁻¹ = Hとなり、ヒルベルト空間に対するその作用も同様に反線型かつ反ユニタリになる。^{[117]これは、}複素共役とユニタリ行列の乗算の合成として表現できる。 ^[118]これは数学的には正しい（ウィグナーの定理を参照）が、用語に関する非常に厳格な要件により、Π は表現ではない。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

QEDのように空間パリティと時間反転に対して不変な理論を構築する場合、ディラックスピノルを使用できますが、電弱力などの空間パリティと時間反転に対して不変でない理論は、ワイルスピノルで定式化する必要があります。ディラック表現( ⁠1/2⁠ , 0) ⊕ (0,  ⁠1/2⁠）は、通常、空間パリティ反転と時間反転の両方を含むものと見なされます。空間パリティ反転がなければ、それは既約表現ではありません。

PとTとともにCPT定理に登場する3番目の離散対称性である電荷共役対称性Cは、ローレンツ不変性とは直接関係がありません。^[119]

Vが有限個の変数nの関数のベクトル空間である場合、スカラー関数への作用は次のように与えられる。 ${\displaystyle f\in V}$

は別の関数Π f ∈ Vを生成する。ここでΠ _xはn次元表現であり、Π はおそらく無限次元表現である。この構成の特別なケースは、V が線型群G自体で定義された関数の空間であり、 n次元多様体として埋め込まれた( mは行列の次元) 場合である。^{[120]これは、}ピーター・ワイルの定理とボレル・ワイルの定理が定式化される設定である。前者は、コンパクト群上の関数の有限次元表現の指標へのフーリエ分解の存在を示している。 ^{[61]後者の定理は、より明示的な表現を提供し、}ユニタリアントリックを使用して、例えば、複雑な非コンパクト群の表現を生成する。${\displaystyle \mathbb {R} ^{m^{2}}}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$

以下は、いくつかの関数空間におけるローレンツ群と回転部分群の作用の例です。

3次元ユークリッド回転の 部分群SO(3)はヒルベルト空間上に無限次元表現を持つ。$${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {S} ^{2}\right)=\operatorname {span} \left\{Y_{m}^{l},l\in \mathbb {N} ^{+},-l\leqslant m\leqslant l\right\},}$$

ここで、は球面調和関数である。単位球面上の任意の2乗積分関数fは次のように表される^[121]。${\displaystyle Y_{m}^{l}}$

ここで、f _{lm は}一般化フーリエ係数です。

ローレンツ群の作用はSO(3)の作用に制限され、次のように表される。

ここで、D ^{l は}回転の生成元の奇数次元の代表値から得られます。

ローレンツ群の恒等成分は、メビウス群 Mと同型です。この群は、複素平面、または立体射影を介してリーマン球面の共形写像として考えることができます。このように、ローレンツ群自体は、複素平面またはリーマン球面上で共形に作用すると考えることができます。

平面上では、複素数a、  b、  c、  d^{によって特徴付けられるメビウス変換が平面上で[122]}に従って作用する。

複素行列で表現できる

非ゼロの複素スカラーによる乗算はf を変化させないからである。これらは の元であり、符号を除いて一意である（±Π _{f は}同じf を与えるため）ため、${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}\cong {\text{SO}}(3;1)^{+}.}$

リーマンP関数は、リーマンの微分方程式の解であり、ローレンツ群の作用の下で相互に変換する関数の集合の例である。リーマンP関数は次のように表現される^[123]。

ここで、a、   b、   c、   α、   β、   γ、   α′、   β′、   γ′は複素定数である。右辺のP関数は標準的な超幾何関数を使って表すことができる。その関係は^{[124]である。}

左上段の定数0, ∞, 1は、ガウスの超幾何方程式の正規特異点である。^[125]指数、すなわち指数方程式の解は、特異点0 の周りの展開では0と1 − cであり、2 つの線形独立な解に対応している。^{[注 34]また、特異点}1の周りの展開では0とc − a − bである。^{[126]同様に、} ∞の指数は2 つの解に対してaとbである。 ^[127]

このように

ここで、リーマン微分方程式の解の指数に対する条件（リーマン恒等式と呼ばれることもある）^[128]は γ ′を定義するために使われている。 $${\displaystyle \alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1}$$

(T1)の左側にある最初の定数セット、a、b、cは、リーマンの微分方程式の正規特異点を表します。2番目のセット、α、  β、  γは、2つの線形独立な解の1つに対するa、b、cでの対応する指数であり、したがって、α′、  β′、  γ′は、 2番目の解に対する a、b、cでの指数です。

まず、すべてのリーマンP関数の集合に対するローレンツ群の作用を定義する。

ここで、A、   B、   C、  Dは、

Λ = p ( λ ) ∈ SO(3; 1) ⁺ローレンツ変換 の場合。

定義する

ここで、Pはリーマン P 関数です。結果として得られる関数もリーマン P 関数です。引数のメビウス変換の効果は、極が新しい位置に移動し、臨界点が変わることですが、新しい関数が満たす微分方程式の指数は変わりません。新しい関数は次のように表されます。

どこ

ローレンツ群SO(3; 1) ⁺とその二重被覆も無限次元ユニタリ表現を持ち、ポール・ディラックの唆しにより、バーグマン (1947)、ゲルファント & ナイマーク (1947)、ハリシュ・チャンドラ (1947) によって独立に研究された。^{[129] [130]}この発展の道はディラック (1936) から始まり、彼は高次スピンの記述に必要な行列UとB を考案し (ディラック行列と比較)、フィエツ (1939) によって詳しく述べられ、フィエツ & パウリ (1939) も参照、バーグマン-ウィグナー方程式の前身を提案した。^{[131]ディラック (1945) では、テンソルの一般化として、要素が}エクスパンサーと呼ばれる具体的な無限次元表現空間を提案した。^{[nb 35]}これらのアイデアはハリシュ・チャンドラによって取り入れられ、1947年の論文でスピノルの無限次元一般化として エクスピノルで拡張されました。${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

これらの群のプランシュレル公式は、複雑な計算によってゲルファンドとナイマークによって初めて得られました。その後、この処理は、コンパクトリー群に対するヘルマン・ワイルの積分公式の類似物に基づいて、ハリシュ・チャンドラ（1951年）とゲルファンドとグラエフ（1953年）によって大幅に簡略化されました。^[132]このアプローチの基本的な説明は、Rühl（1970年）とKnapp（2001年）にあります。 ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

ミンコフスキー空間にある3 次元双曲面空間の双曲面モデル上の調和解析に必要な、ローレンツ群の球面関数の理論は、一般理論よりもかなり簡単です。これは、球面主級数の表現のみを含み、直接扱うことができます。これは、ラジアル座標では、双曲面上のラプラシアンが 上のラプラシアンと等価であるためです。この理論は、Takahashi (1963)、Helgason (1968)、Helgason (2000)、および Jorgenson と Lang (2008) の遺稿で説明されています。 ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

主級数、またはユニタリ主級数は、 の下三角部分群Bの 1 次元表現から 誘導されるユニタリ表現です。Bの 1 次元表現は、非ゼロの複素要素zおよびz ⁻¹を持つ対角行列の表現に対応するため、kが整数、ν が実数で、z = re ^iθで ある形式になります 。表現は既約です。表現の同型性、つまり繰り返しは、k が− kに置き換えられたときにのみ発生します。定義により、表現は、 がリーマン球面と同型である直線束のL ²セクション上で実現されます。k = 0のとき、これらの表現はいわゆる球面主級数を構成します。 ${\displaystyle G={\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$$${\displaystyle \chi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}z&0\\c&z^{-1}\end{pmatrix}}=r^{i\nu }e^{ik\theta },}$$${\displaystyle G/B=\mathbb {S} ^{2},}$

Gの 最大コンパクト部分群K = SU(2)への主級数の制限は、同一視G / B = K / T を用いたKの誘導表現としても実現できる 。ここで、T = B ∩ Kは、 |  z  | = 1である対角行列からなるKの 最大トーラスである。これは 1 次元表現z ^k Tから誘導される表現であり、  νとは独立である。フロベニウスの相互性により、  K上でそれらは、  mが負でない整数である次元| k | + 2 m + 1のKの既約表現の直和として分解される。

リーマン球面から点を引いたものと主級数との同一性を用いると、次の式で直接定義できる^[133]${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle \pi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-i\nu }\left({cz+d \over |cz+d|}\right)^{-k}f\left({az+b \over cz+d}\right).}$$

還元不可能性はさまざまな方法で確認できます。

• この表現はB上ですでに既約である 。これは直接見ることができるが、フランソワ・ブリュアとジョージ・マッキーによる誘導表現の既約性に関する一般的な結果の特別な場合でもあり、ブリュア分解 G = B ∪ BsB（sはワイル群の元^[134]） に依存している。$${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$$
• Gの リー代数の作用はKの既約部分空間の代数的直和上で計算することが でき、最低次元の部分空間がこの直和を-加群として生成することが直接検証できる。^{[8] [135]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

0 < t < 2の場合、補数級数は内積^[136]に対して定義され 、作用は^{[137] [138]で与えられる。}${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle (f,g)_{t}=\iint {\frac {f(z){\overline {g(w)}}}{|z-w|^{2-t}}}\,dz\,dw,}$$ $${\displaystyle \pi _{t}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-t}f\left({az+b \over cz+d}\right).}$$

補級数における表現は既約で、対ごとに非同型である。  Kの表現として、それぞれはK = SU(2)の奇数次元既約表現すべてのヒルベルト空間直和に同型である。既約性は、これらの部分空間の代数和に対するの作用を解析することによって証明できる^{[8] [135]}か、リー代数を使わずに直接証明できる。^{[139] [140]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

の唯一の既約なユニタリ表現は、主級数、補級数、および自明な表現です。− I は主級数に対して(−1) ^kとして作用し、剰余に対しては自明に作用するため、 kが偶数であるとすれば、これらはローレンツ群の既約なユニタリ表現すべてを与えます。 ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Gの左正規表現を 主級数のみに分解する必要があります。これにより、ローレンツ群の左正規表現と3 次元双曲空間の正規表現の部分表現への分解が直ちに得られます。(前者はkが偶数の主級数表現のみを含み、後者はk = 0の主級数表現のみを含みます。) ${\displaystyle L^{2}(G)}$${\displaystyle L^{2}(G/\{\pm I\}),}$${\displaystyle L^{2}(G/K),}$

左と右の正規表現λとρは次のように 定義される。${\displaystyle L^{2}(G)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}(\lambda (g)f)(x)&=f\left(g^{-1}x\right)\\(\rho (g)f)(x)&=f(xg)\end{aligned}}}$$

ここでf がC _c ( G )の元であれば、によって定義される 演算子はヒルベルト・シュミット です。によって ヒルベルト空間 H を定義します。 ここで 、 は^{[nb 36]}上のヒルベルト・シュミット演算子のヒルベルト空間を表します。すると、によって C _c ( G )上に定義された 写像 U はH上 の のユニタリに拡張されます。 ${\displaystyle \pi _{\nu ,k}(f)}$$${\displaystyle \pi _{\nu ,k}(f)=\int _{G}f(g)\pi (g)\,dg}$$$${\displaystyle H=\bigoplus _{k\geqslant 0}{\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)\otimes L^{2}\left(\mathbb {R} ,c_{k}{\sqrt {\nu ^{2}+k^{2}}}d\nu \right),}$$$${\displaystyle c_{k}={\begin{cases}{\frac {1}{4\pi ^{3/2}}}&k=0\\{\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}&k\neq 0\end{cases}}}$$${\displaystyle {\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} ).}$$${\displaystyle U(f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(f)}$$${\displaystyle L^{2}(G)}$

マップ Uは絡み合い特性を満たす $${\displaystyle U(\lambda (x)\rho (y)f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(x)^{-1}\pi _{\nu ,k}(f)\pi _{\nu ,k}(y).}$$

f ₁、f _{2 が}C _c ( G )に属する場合、ユニタリ性により $${\displaystyle (f_{1},f_{2})=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f_{1})\pi _{\nu ,k}(f_{2})^{*}\right)\left(\nu ^{2}+k^{2}\right)\,d\nu .}$$

したがって、 がととの畳み込み を表す場合、^[141]${\displaystyle f=f_{1}*f_{2}^{*}}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}^{*},}$${\displaystyle f_{2}^{*}(g)={\overline {f_{2}(g^{-1})}},}$ $${\displaystyle f(1)=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f)\right)\left(\nu ^{2}+k^{2}\right)\,d\nu .}$$

最後に表示される 2 つの式は、通常、それぞれプランシュレルの式とフーリエ反転式と呼ばれます。

プランシュレルの公式は、すべてに拡張されます。ジャック・ディクスミアとポール・マリアヴァンの定理によれば、 上の滑らかでコンパクトに支えられた関数はすべて、類似の関数の畳み込みの有限和であるため、そのようなfに対して逆関数公式が成り立ちます。これは、緩やかな微分可能条件を満たす、はるかに広いクラスの関数に拡張できます。^[61]${\displaystyle f_{i}\in L^{2}(G).}$${\displaystyle G}$

無限次元の既約表現の分類で採用される戦略は、有限次元の場合と同様に、それらが存在すると仮定し、その特性を調べることである。したがって、まず、SO(3; 1) ⁺のヒルベルト空間H上の既約な強連続無限次元表現Π _{H が}手元にあると仮定する。^[142] SO(3)は部分群なので、 Π _{H も}その表現である。SO ( 3)の各既約部分表現は有限次元であり、SO(3)表現は、 Π _Hがユニタリである場合、 SO(3)の既約な有限次元ユニタリ表現の直和に簡約可能である。^[143]

手順は以下のとおりです。^[144]

1. J ²とJ ₃の共通固有ベクトルの適切な基底を選択します。
2. J ₁、J ₂、J ₃およびK ₁、K ₂、K ₃の行列要素を計算します。
3. リー代数の交換関係を強制します。
4. 基底のユニタリー性と正規直交性を要求する。^{[nb 37]}

適切な基底とラベルの選択肢として、 $${\displaystyle \left|j_{0}\,j_{1};j\,m\right\rangle .}$$

これが有限次元表現であれば、j _{0 は}表現内のJ ²の最低固有値j ( j + 1)に対応し、 | m − n |に等しくなり、j _{1 は}最高固有値に対応し、m + nに等しくなります。無限次元の場合、j ₀ ≥ 0 はこの意味を保持しますが、j _{1 は}保持しません。^{[66]簡単にするために、与えられた}j は与えられた表現で最大で 1 回出現すると仮定します(これは有限次元表現の場合です)。また、^[145]では、この仮定を回避しても同じ結果が得られることが示されています (少し複雑な計算を使用)。

次のステップは、リー代数の基底を形成する演算子J ₁、J ₂、J ₃およびK ₁、K ₂、K ₃の行列要素を計算することです。および（複素化リー代数が理解されている）の行列要素は、回転群の表現論からわかっており、 ^{[146] [147]}で与えられます。 ここで、ラベルj ₀およびj _{1 は、}表現内のすべての基底ベクトルに対して同じであるため省略されています。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$${\displaystyle J_{\pm }=J_{1}\pm iJ_{2}}$${\displaystyle J_{3}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j\,m\right|J_{+}\left|j\,m-1\right\rangle =\left\langle j\,m-1\right|J_{-}\left|j\,m\right\rangle &={\sqrt {(j+m)(j-m+1)}},\\\left\langle j\,m\right|J_{3}\left|j\,m\right\rangle &=m,\end{aligned}}}$$

交換関係により、三つ組（K ₁、K ₂、K ₃）≡Kはベクトル演算子^[148]であり、ウィグナー・エッカート定理^[149]は選択された基底によって表される状態間の行列要素の計算に適用される。[ ^150]$${\displaystyle [J_{i},K_{j}]=i\epsilon _{ijk}K_{k},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}K_{0}^{(1)}&=K_{3},\\K_{\pm 1}^{(1)}&=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}(K_{1}\pm iK_{2}),\end{aligned}}}$$

ここで、上付き文字(1)は、定義された量がランクk = 1の球面テンソル演算子の成分であることを示し（これは係数√2も説明する）、下付き文字0、±1は、以下の式でqと呼ばれ、次のように与えられる^[151]。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j'm'\left|K_{0}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k=1\,q=0|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle ,\\\left\langle j'm'\left|K_{\pm 1}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k=1\,q=\pm 1|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle .\end{aligned}}}$$

ここで、右辺の最初の因子は、j ′とkを結合してj を得るためのClebsch–Gordan 係数です。2 番目の因子は、簡約された行列要素です。これらはm、m′、qには依存しませんが、 j、j′、そしてもちろんKには依存します。ゼロでない方程式の完全なリストについては、Harish-Chandra (1947、p. 375) を参照してください。

次のステップは、リー代数関係が成り立つことを要求することである。つまり、 $${\displaystyle [K_{\pm },K_{3}]=\pm J_{\pm },\quad [K_{+},K_{-}]=-2J_{3}.}$$

この結果、方程式の集合^[152]が得られ、その解は^[153] となる 。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &=i{\frac {j_{1}j_{0}}{\sqrt {j(j+1)}}},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-B_{j}\xi _{j}{\sqrt {j(2j-1)}},\\\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &=B_{j}\xi _{j}^{-1}{\sqrt {j(2j+1)}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}-j_{1}^{2})}{j^{2}(4j^{2}-1)}}},\quad j_{0}=0,{\tfrac {1}{2}},1,\ldots \quad {\text{and}}\quad j_{1},\xi _{j}\in \mathbb {C} .}$$

群の対応する表現のユニタリー性の要件を課すことで、任意の複素数j ₀とξ _jの可能な値が制限される。群の表現のユニタリー性は、リー代数の表現がエルミートであるという要件に変換され、これは $${\displaystyle K_{\pm }^{\dagger }=K_{\mp },\quad K_{3}^{\dagger }=K_{3}.}$$

_これは^[154] に翻訳され、^[155] につながります。 ここでβj_はBjの_極座標での角度です。| Bj |≠0の場合、慣例により選択されます。2つのケースが考えられます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &={\overline {\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-{\overline {\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}\left(j_{1}+{\overline {j_{1}}}\right)&=0,\\\left|B_{j}\right|\left(\left|\xi _{j}\right|^{2}-e^{-2i\beta _{j}}\right)&=0,\end{aligned}}}$$${\displaystyle \left|\xi _{j}\right|^{2}=1}$${\displaystyle \xi _{j}=1}$

• ${\displaystyle {\underline {j_{1}+{\overline {j_{1}}}=0.}}}$この場合、j ₁ = − iν、ν実数、^[156] これは主級数である。その要素は$${\displaystyle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle ={\frac {\nu j_{0}}{j(j+1)}}\quad {\text{and}}\quad B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}+\nu ^{2})}{4j^{2}-1}}}}$$${\displaystyle (j_{0},\nu ),2j_{0}\in \mathbb {N} ,\nu \in \mathbb {R} .}$
• ${\displaystyle {\underline {j_{0}=0.}}}$従う：^[157] B ₀ = B _{j 0}なので、B$${\displaystyle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle =0\quad {\text{and}}\quad B_{j}={\sqrt {\frac {j^{2}-\nu ^{2}}{4j^{2}-1}}}}$$²
  _時間は、 j = 1, 2, ...に対して実数かつ正であり、 −1 ≤ ν ≤ 1となる。これは補数級数である。その要素は(0, ν )、−1 ≤ ν ≤ 1と表記される。

これは、上記の表現がすべて無限次元の既約ユニタリ表現であることを示しています。

選択する計量はη = diag(−1, 1, 1, 1)で与えられ、リー代数と指数写像の物理的慣例が用いられる。これらの選択は任意であるが、一度行われると固定される。リー代数の基底の1つの可能な選択肢は、4ベクトル表現では次のように与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}=J^{23}=-J^{32}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}},&K_{1}=J^{01}=-J^{10}&=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\\[8pt]J_{2}=J^{31}=-J^{13}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}},&K_{2}=J^{02}=-J^{20}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\\[8pt]J_{3}=J^{12}=-J^{21}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},&K_{3}=J^{03}=-J^{30}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.\\[8pt]\end{aligned}}}$$

リー代数の交換関係は以下の通りである: ^[158]${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ $${\displaystyle \left[J^{\mu \nu },J^{\rho \sigma }\right]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }J^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \sigma }J^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }J^{\sigma \nu }-\eta ^{\nu \rho }J^{\mu \sigma }\right).}$$

3次元表記では、これらは^[159] $${\displaystyle \left[J_{i},J_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}J_{k},\quad \left[J_{i},K_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}K_{k},\quad \left[K_{i},K_{j}\right]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}.}$$

上記の基底の選択は関係を満たしますが、他の選択も可能です。上記および後続の 記号Jの複数の使用に注意する必要があります。

たとえば、典型的なブーストと典型的な回転は、 それぞれ対称と直交として指数関数的に増加します。 $${\displaystyle \exp(-i\xi K_{1})={\begin{pmatrix}\cosh \xi &\sinh \xi &0&0\\\sinh \xi &\cosh \xi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad \exp(-i\theta J_{1})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},}$$

順番に、m = ⁠1/2⁠、n = 0かつm = 0、n = ⁠1/2⁠そして 一般式(G1)を設定し 、自明な関係1 ₁ = 1およびJ ⁽⁰⁾ = 0を用いると、 $${\displaystyle J_{i}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\frac {1}{2}}\sigma _{i}}$$

これらは左手系と右手系のワイルスピノル表現である。これらは2次元複素ベクトル空間（基底は任意）V _LとV _R上の行列乗算によって作用し、その要素Ψ _LとΨ _{R は}それぞれ左手系と右手系のワイルスピノルと呼ばれる。 それらの直和が表現として形成されるとすると、^[160]$${\displaystyle \left(\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)},V_{\text{L}}\right)\quad {\text{and}}\quad \left(\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)},V_{\text{R}}\right)}$$

これは、相似変換を除けば、（⁠1/2⁠ ,0) ⊕ (0, ⁠1/2⁠ )の ディラックスピノル表現は、行列の乗算によって、 ( V _L ⊕ V _R )の4 成分元(Ψ _L、 Ψ _R )、いわゆるビスピノルに作用します。表現は、クリフォード代数を使用して、より一般的で基底に依存しない方法で取得できます。ビスピノルとワイルスピノルのこれらの表現はすべて、リー代数の線型性と表現によって のすべてのものに拡張されます。群表現の表現は、累乗によって得られます。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$

ローレンツ群の表現論の分類と特徴付けは 1947 年に完了しました。しかし、バーグマン - ウィグナー計画に関連して、無限次元ユニタリ表現に関連する純粋に数学的な未解決の問題がまだ残っています。

既約無限次元ユニタリー表現は、現代の思索的理論における物理的現実と間接的な関連性を持つ可能性がある。なぜなら、（一般化された）ローレンツ群は、高時空次元における空間的ベクトルのポアンカレ群の小群として現れるからである。（一般化された）ポアンカレ群の対応する無限次元ユニタリー表現は、いわゆるタキオン表現である。タキオンはボソン弦のスペクトルに現れ、真空の不安定性と関連している。^{[161] [162]}タキオンは自然界では実現されないかもしれないが、弦理論を理解するためにはこれらの表現を数学的に理解する必要がある。これは、現実的なモデルを作成する試みにおいて、タキオン状態が超弦理論にも現れることが判明しているためである。 ^[163]

未解決の問題の一つは、ド・ジッター時空dS _{D −2}の等長群SO( D − 2, 1)に対するバーグマン・ウィグナー計画の完成である。理想的には、波動関数の物理的成分は、半径μ > 0の双曲面dS _{D −2}に埋め込まれ、対応する無限次元ユニタリー表現のO( D −2, 1)共変波動方程式が知られるはずである。^[162] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{D-2,1}}$

• バーグマン・ウィグナー方程式
• ディラック代数
• ガンマ行列
• ローレンツ群
• メビウス変換
• ポアンカレ群
• ポアンカレ群の表現論
• 量子力学における対称性
• ウィグナーの分類

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