ビスピノール

物理学 、特に場の量子論において、ビスピノルはクォークや電子など、自然界の基本粒子のいくつかを記述するために使用される数学的構成である。これはスピノルの特定の実施形態であり、特殊相対性理論の要件と一致するように特別に構築されている。ビスピノルは、ミンコフスキー時空の対称性を記述するローレンツ群の作用下で、特定の「スピノル」形式で変換される。それらは、ディラック方程式の相対論的スピン⁠ 1 / 2 ⁠波動関数解に現れる。

ビスピノルは、2 つのより単純な成分スピノルであるワイルスピノルから構成されるため、このように呼ばれる。2 つの成分スピノルはそれぞれ、ローレンツ群の 2 つの異なる複素共役スピン 1/2表現の下では異なる変換を行う。この組み合わせは根本的に重要であり、表現される粒子が質量を持ち、電荷を運び、電荷の流れを電流として表現し、そしておそらく最も重要なことに、角運動量を運ぶことを可能にする。より正確には、質量はローレンツ群のカシミール不変量(エネルギーの固有状態) であり、ベクトルの組み合わせは運動量と電流を運び、ローレンツ群の作用の下で共変である。角運動量は、スピン場に対して適切に構築されたポインティング ベクトルによって運ばれる。 ^[1]

ビスピノルは、多かれ少なかれディラックスピノルと「同じもの」です。ここで使用される慣例は、ディラックスピノルに関する記事が、ガンマ行列のディラック規約を使用してディラック方程式の平面波解を提示することです。つまり、ディラックスピノルはディラック規約におけるビスピノルです。対照的に、以下の記事は主にワイルまたはカイラル表現に焦点を当てており、ディラック方程式にはあまり焦点を当てておらず、ローレンツ群の幾何学を含む幾何学的構造に重点を置いています。したがって、以下で述べることの多くは、マヨラナ方程式に適用できます。

ビスピノルはローレンツ群の4次元複素 ベクトル空間 ( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0)⊕(0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) 表現の要素である。^[2]

ワイル基底では、ビスピノル

${\displaystyle \psi =\left({\begin{array}{c}\psi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{array}}\right)}$

は2つの（2成分）ワイルスピノルとで構成され、それぞれ群の（ ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0）および（0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ）表現の下で変換されます（パリティ変換のないローレンツ群）。パリティ変換の下では、ワイルスピノルは互いに変換されます。 ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}}$${\displaystyle \psi _{\rm {R}}}$${\displaystyle \mathrm {SO} (1,3)}$

ディラックビスピノルはディラック基底へのユニタリ変換によってワイルビスピノルと結びついている 。

${\displaystyle \psi \rightarrow {1 \over {\sqrt {2}}}\left[{\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\end{array}}\right]\psi ={1 \over {\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{c}\psi _{\rm {R}}+\psi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}-\psi _{\rm {L}}\end{array}}\right).}$

ディラック基底は文献で最も広く使用されている基底です。

ビスピノル場は、次の規則に従って変換される。 ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \psi ^{a}(x)\to {\psi ^{\prime }}^{a}\left(x^{\prime }\right)=S[\Lambda ]_{b}^{a}\psi ^{b}\left(\Lambda ^{-1}x^{\prime }\right)=S[\Lambda ]_{b}^{a}\psi ^{b}(x)}$

ここで、はローレンツ変換です。ここで、物理的な点の座標は に従って変換され、 は行列であり、ローレンツ群の スピノル表現（スピン1/2の場合）の要素です。${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle x^{\prime }=\Lambda x}$${\displaystyle S}$

ワイル基底では、ブーストと回転の明示的な変換行列は次のようになる。^[3]${\displaystyle \Lambda _{\rm {ブースト}}}$${\displaystyle \Lambda _{\rm {腐}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S[\Lambda _{\rm {boost}}]&=\left({\begin{array}{cc}e^{+\chi \cdot \sigma /2}&0\\0&e^{-\chi \cdot \sigma /2}\end{array}}\right)\\S[\Lambda _{\rm {rot}}]&=\left({\begin{array}{cc}e^{+i\phi \cdot \sigma /2}&0\\0&e^{+i\phi \cdot \sigma /2}\end{array}}\right)\end{aligned}}}$

ここではブーストパラメータであり、 は軸の周りの回転を表します。はパウリ行列です。 指数は指数マップであり、この場合、行列を指数関数の通常のべき級数に配置することによって定義される行列指数です。 ${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \phi ^{i}}$${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle \sigma _{i}}$

ビスピノルの双線形形式は、5 つの既約な (ローレンツ群の下で) オブジェクトに還元できます。

1. スカラー、;${\displaystyle {\bar {\psi }}\psi }$
2. 疑似スカラー、;${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{5}\psi }$
3. ベクトル、;${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$
4. 擬似ベクトル、;${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi }$
5. 反対称テンソル、、${\displaystyle {\bar {\psi }}\left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)\psi }$

ここで、 およびはガンマ行列です。これら 5 つの量は、 Fierz 恒等式によって相互に関連付けられています。これらの値は、さまざまな種類のスピノルの Lounesto スピノル場分類で使用されます。ビスピノルはそのうちの 1 つにすぎません。他のスピノルには、旗竿 (マヨラナ スピノルはその特殊なケース)、旗双極子、およびワイルスピノルがあります。旗竿、旗双極子、およびワイル スピノルはすべて、質量フィールドと擬似スカラー フィールドがゼロです。旗竿にはさらに擬似ベクトル フィールドがゼロであるのに対し、ワイル スピノルには反対称テンソル (「角運動量場」がゼロ) がゼロです。 ${\displaystyle {\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{5}\right\}}$

これらから 相対論的スピン⁠ 1 / 2 ⁠場に対する適切なラグランジアンを構築することができ、次のように表される。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={i \over 2}\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)-m{\bar {\psi }}\psi \;.}$

ディラック方程式は、オイラー・ラグランジュ方程式を使用してこのラグランジアンから導くことができます。

この概要では、ローレンツ群の( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) 表現の特定の表現空間の要素として、1 種類のビスピノルについて説明します。この表現空間は、記事「スピノル」で説明されているミンコフスキー時空上のクリフォード代数に含まれる( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ )表現空間と関連していますが、同一ではありません。言語と用語は、 「ローレンツ群の表現論」で使用されているものと同じです。説明に不可欠なクリフォード代数の唯一の特性は、以下のD1で与えられる定義特性です。so (3,1)の基底元はM ^μνとラベル付けされています。

ローレンツ群O(3,1)のリー代数so (3,1)の表現は、時空上の複素クリフォード代数の基底 (ベクトル空間として) として選択される行列の中に現れます。これらの4×4行列は次に累乗され、 SO(3,1) ⁺の表現が得られます。この表現は( ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ )表現であることが判明し、任意の 4 次元複素ベクトル空間に作用します。この空間は単にC ⁴として取られ、その要素はビスピノルになります。

参考までに、 so (3,1)の交換関係は

時空計量η = diag(−1, 1, 1, 1)とする。

γ ^{μ を}4つの4次元ガンマ行列の集合とし、これをディラック行列と呼ぶ。ディラック行列は次式を満たす。

ここで、{ , }は反交換子、I ₄は4×4単位行列、η ^{μν は}符号 (+,−,−,−) を持つ時空計量である。これはクリフォード代数の生成集合の定義条件である。クリフォード代数のさらなる基底元σ ^{μν は}次のように与えられる。

行列σ ^μνのうち 6 つだけが線形独立です。σ ^μν = − σ ^νμであるため、これはその定義から直接得られます。それらは、次のように、 受動的意味で部分空間V _γおよび γ μ^スパンに作用します。

(C2)において、2番目の等式はクリフォード代数の 性質(D1)から導かれる。

ここで、 σ ^μνに対するso (3,1)の作用と、それらが 張るCl ₄ ( C ) ≈ M ⁿ _Cの線型部分空間V _σ ⊂ Cl ₄ ( C )を定義すると、

(C4)の最後の等式は、 (C2)とガンマ行列の性質(D1)から導かれ、 (C4)の交換関係がまさにso ( 3,1)の交換関係と同じなので、 σ ^{μν が}so (3,1 )の表現を構成することを示している。 π(M ^μν )の作用は、M _n ( C )内のσ ^μνが張る空間が 6 次元なので、6 次元行列Σ ^μνに基底ベクトルσ ^{μνを掛け合わせたものと考えることも、} σ ^ρσ上の交換による作用と考えることもできる。以下では、π ( M ^μν ) = σ ^μν

γ ^μとσ ^{μν は}_{両方とも Cl 4} ( C )の基底要素の（互いに素な）部分集合であり、4次元時空における4次元ディラック行列γ ^μによって生成される。したがって、 so (3,1)のリー代数は、 σ ^μνによって張られるCl ₄ ( C )の実部分空間としてπによってCl ₄ ( C )に埋め込まれる。クリフォード代数のγ ^μとσ ^μν以外の残りの基底要素の完全な説明については、ディラック代数の記事を参照のこと。

ここで、 γ ^μが行列の乗算として作用する任意の4次元複素ベクトル空間Uを導入する。ここではU = C 4で十分である^。Λ = e ^{ω _μν M μν}をローレンツ変換とし、ローレンツ群のUへの作用を次のように 定義する。

${\displaystyle u\rightarrow S(\Lambda )u=e^{i\pi (\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu })}u;\quad u^{\alpha }\rightarrow [e^{\omega _{\mu \nu }\sigma ^{\mu \nu }}]^{\alpha }{}_{\beta }u^{\beta }.}$

(C4)によるσ ^μνは( 3,1 )の表現を構成するので、誘導写像

一般理論によれば、はSO(3,1) ⁺の表現または射影表現のいずれかです。射影表現であることがわかります。Sによって与えられた変換規則が与えられた場合、 Uの要素はビスピノルまたは単にスピノルと呼ばれます。

^{スピン表現S}を得るためには、ディラック行列γμの集合を選択する必要がある。超相対論的極限に適したそのような選択の1つは、

ここでσ _{i は}パウリ行列である。クリフォード代数生成子のこの表現では、σ ^μνは

この表現は明らかに既約ではない。なぜなら行列はすべてブロック対角だからである。しかし、パウリ行列の既約性により、表現はそれ以上簡約できない。これは4次元なので、唯一の可能性は、( ⁠ 1 / 2 ⁠ ,0)⊕(0, ⁠ 1 / 2 ⁠ )表現、すなわちビスピノル表現である。ここで、リー代数表現の累乗のレシピを使用してSO(3,1) ⁺の表現を得る。

射影的な2値表現が得られる。ここでφ は0 ≤ φ ⁱ ≤ 2 πの回転パラメータのベクトルであり、χ はブーストパラメータのベクトルである。ここで使用される規則では、次のように書くことができる。

はビスピノル場のものである。ここで、上側の成分は右 ワイルスピノルに対応する。この形式論に 空間パリティ反転を含めるには、

P = diag(1, −1, −1, −1)の代表として。空間パリティ反転を含めると表現が既約であることがわかる。

X = 2 πM ¹²とすると、X はz軸を中心に角度2 πだけ回転します。このとき、Λ = e ^iX = I ∈ SO(3,1) ⁺ですが、e ^{iπ ( X )} = − I ∈ GL( U )となります。ここで、I は単位元を表します。代わりにX = 0を選択した場合でも、Λ = e ^iX = I ∈ SO(3,1) ⁺ですが、e ^{iπ ( X )} = I ∈ GL( U )となります。

これはスピン表現の二重値の性質を示しています。SO (3,1) ⁺の恒等式は、それを表現するリー代数要素の選択に応じて、− I ∈ GL( U )またはI ∈ GL( U )のいずれかにマッピングされます。最初のケースでは、角度2 πの回転によりビスピノルが打ち消され、ビスピノルを回転させて元に戻すには4 π の回転が必要であると推測できます。実際に起こるのは、 SO(3,1) ⁺の恒等式が、 Xの不幸な選択によりGL( U )の− I にマッピングされることです。

すべてのg ∈ SO(3,1) ⁺に対してX を連続的に選択してS が連続表現となるようにすることは不可能です。 SO(3,1)のループに沿ってS を定義し、 X ( t ) = 2 πtM ¹² , 0 ≤ t ≤ 1となるとします。これはSO(3,1)の閉ループ、つまり指数写像の下でz軸の周りの0 から2 πまでの回転ですが、 GL( U )のループの「半分」にすぎず、 − Iで終わります。さらに、t = 0とt = 2 π ではI ∈ SO(3,1)に異なる値が得られるため、I ∈ SO(3,1)の値はあいまいです。

ビスピノル上の表現S は、 End( U )上のSO(3,1) ⁺の表現、つまりU上の線型作用素の集合を誘導します。この空間はクリフォード代数自体に対応するため、U上のすべての線型作用素は後者の要素になります。この表現と、それが既約なSO(3,1) ⁺表現の直和として分解する方法については、ディラック代数に関する記事で説明されています。その結果の 1 つは、 U × U上の双線型形式の分解です。この分解は、ラグランジアン内の任意のビスピノル場を他の場と結合してローレンツ スカラーを生成する方法を示唆しています。

ディラック行列は、ディラック代数を形成する4 つの 4×4行列のセットであり、スピン方向をローカル参照フレーム(時空のローカル座標フレーム)と絡み合わせるために、また電荷( C 対称性)、パリティ、および時間反転演算子を定義するために使用されます。

物理学の文献で一般的に使用されているシグネチャと表現には、いくつかの選択肢があります。ディラック行列は通常、 と表記され、 は 0 から 3 までの範囲になります。この表記では、 0 は時間に対応し、 1 から 3 はx、y、zに対応します。 ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$${\displaystyle \mu }$

+ − − − 署名は西海岸メトリックと呼ばれることもあり、− + + +は東海岸メトリックと呼ばれます。現時点では、+ − − −署名の方が一般的に使用されており、この例ではこの署名を使用します。1 つの例から別の例に切り替えるには、すべてにを掛けます。 ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$${\displaystyle i}$

署名を選択した後、4×4 行列で表現を構築する方法は多数あり、その多くは一般的に使用されています。この例をできるだけ一般的なものにするために、最後のステップまで表現を指定しません。その時点で、「カイラル」またはWeyl 表現を代入します。

まず、電子または陽電子のスピン方向を選択します。上で説明したパウリ代数の例と同様に、スピン方向は3次元の単位ベクトル(a, b, c)で定義されます。ペスキンとシュローダーの慣例に従って、(a, b, c)方向のスピンのスピン演算子は、(a , b, c)とベクトルの ドット積として定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(i\gamma ^{2}\gamma ^{3},\;\;i\gamma ^{3}\gamma ^{1},\;\;i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)&=-\left(\gamma ^{1},\;\gamma ^{2},\;\gamma ^{3}\right)i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\\\sigma _{(a,b,c)}&=ia\gamma ^{2}\gamma ^{3}+ib\gamma ^{3}\gamma ^{1}+ic\gamma ^{1}\gamma ^{2}\end{aligned}}}$

上記は1 の根、つまり 2 乗すると 1 になることに注意してください。したがって、 (a, b, c) 方向にスピンが向けられたディラック代数の部分代数を射影する射影演算子を作成できます。

${\displaystyle P_{(a,b,c)}={\frac {1}{2}}\left(1+\sigma _{(a,b,c)}\right)}$

ここで、電荷 +1 (陽電子) または -1 (電子) を選択する必要があります。Peskin と Schroeder の慣例に従うと、電荷の演算子は、つまり、この演算子に関して電子状態は固有値 -1 を取り、陽電子状態は固有値 +1 を取ります。 ${\displaystyle Q=-\gamma ^{0}}$

は 1 の平方根でもあることに注意してください。さらに、 はと可換です。これらは、ディラック代数の可換演算子の完全なセットを形成します。例を続けると、 ( a , b , c )方向のスピンを持つ電子の表現を探します。電荷 = −1 の射影演算子に変換すると、次のようになります。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \sigma _{(a,b,c)}}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle P_{-Q}={\frac {1}{2}}\left(1-Q\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{0}\right)}$

したがって、私たちが求めるスピノルの射影演算子は、私たちが見つけた 2 つの射影演算子の積になります。

${\displaystyle P_{(a,b,c)}\;P_{-Q}}$

上記の射影演算子を任意のスピノルに適用すると、求めている電子状態に対応するスピノルの部分が得られます。したがって、これを、成分の1つに1、他の成分に0の値を持つスピノルに適用すると、行列の列が得られます。例を続けると、( a , b , c ) = (0, 0, 1) とすると、

${\displaystyle P_{(0,0,1)}={\frac {1}{2}}\left(1+i\gamma _{1}\gamma _{2}\right)}$

そして、私たちが望む射影演算子は

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}\left(1+i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)\cdot {\frac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{0}\right)={\frac {1}{4}}\left(1+\gamma ^{0}+i\gamma ^{1}\gamma ^{2}+i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)}$

ワイル表現で使用される4×4ガンマ行列は

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{0}&={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\\gamma _{k}&={\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

k = 1, 2, 3で、これらは通常の 2×2パウリ行列です。これらをPに代入すると、 ${\displaystyle \sigma ^{i}}$

${\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1+\sigma ^{3}&1+\sigma ^{3}\\1+\sigma ^{3}&1+\sigma ^{3}\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

答えは、上記の行列のゼロ以外の列です。2 で割るのは単なる正規化です。1 列目と 3 列目は同じ結果になります。

${\displaystyle \left|e^{-},\,+{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\\1\\0\end{bmatrix}}}$

より一般的には、スピンが（ a、b、c ）方向に向いている電子と陽電子の場合、射影演算子は

${\displaystyle {\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1+c&a-ib&\pm (1+c)&\pm (a-ib)\\a+ib&1-c&\pm (a+ib)&\pm (1-c)\\\pm (1+c)&\pm (a-ib)&1+c&a-ib\\\pm (a+ib)&\pm (1-c)&a+ib&1-c\end{bmatrix}}}$

ここで、上の符号は電子、下の符号は陽電子を表します。対応するスピノルは、ゼロ以外の任意の列として取得できます。異なる列は同じスピノルの倍数であるためです。結果として得られるスピノルのディラック基底での表現は、ビスピノルの記事で与えられた規則を使用して取得できます。 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1}$

• ディラックスピノル
• Spin(3,1)、スピン群によるSO(3,1)の二重被覆
• ラリタ・シュウィンガー方程式

• Caban, Paweł; Rembieliński, Jakub (2005 年 7 月 5 日). 「ローレンツ共変縮小スピン密度行列とアインシュタイン-ポドルスキー-ローゼン–ボーム相関」. Physical Review A. 72 ( 1): 012103. arXiv : quant-ph/0507056v1 . Bibcode :2005PhRvA..72a2103C. doi :10.1103/physreva.72.012103. S2CID  119105796.
• ワインバーグ、S (2002)、場の量子論、第1巻、ISBN 0-521-55001-7。