カルタン接続

微分幾何学の数学の分野において、カルタン接続はアフィン接続の概念を柔軟に一般化したものである。また、主バンドルの幾何学がはんだ形式を使用して基本多様体の幾何学に結び付けられる主接続の一般概念の特殊化とみなすこともできる。カルタン接続は、同次空間上にモデル化された多様体の幾何学を記述する。

カルタン接続の理論は、エリー・カルタンによって、彼の移動フレーム法( repère mobile )の一部として (そして定式化する方法の一部として)開発されました。 ^[1]主なアイデアは、特定の幾何学的問題に適応した移動フレームを使用して、接続形式と曲率の適切な概念を開発することです。相対性理論やリーマン幾何学では、正規直交フレームを使用して、レヴィ-チヴィタ接続をカルタン接続として記述します。リー群の場合、マウラー-カルタンフレームを使用して、グループのマウラー-カルタン形式をカルタン接続として 表示します。

カルタンは、（擬）リーマン幾何学の微分幾何学、およびリー群や同次空間などの非計量構造を備えた多様体の微分幾何学を再定式化した。「カルタン接続」という用語は、ほとんどの場合、カルタンの（擬）リーマン接続、アフィン接続、射影接続、または共形接続の定式化を指す。これらは最も一般的に使用されるカルタン接続であるが、より一般的な概念の特殊なケースである。

カルタンのアプローチは、関係するフレームの選択のため、一見座標依存であるように見えます。しかし、そうではなく、その概念は主バンドルの言語を使用して正確に記述できます。カルタン接続は、特定の関連するバンドル上の共変微分やその他の微分演算子を誘導するため、平行移動の概念になります。カルタン接続は、幾何学や物理学で多くの用途があります。いくつかの例については、 移動フレーム法、カルタン形式、アインシュタイン-カルタン理論を参照してください。

幾何学は、その根底において、空間内の異なるオブジェクト間の合同性の概念から成ります。19 世紀後半、合同性の概念は、通常、空間に対するリー群の作用によって提供されました。リー群は一般に非常に厳密に作用するため、カルタン幾何学は、この合同性の概念を一般化して曲率の存在を許容するものです。平坦なカルタン幾何学 (曲率がゼロの幾何学) は、局所的には同次空間と同等であり、したがってクラインの意味で幾何学です。

クライン幾何学は、リー群GとGのリー部分群Hから構成されます。GとH は一緒に等質空間G / Hを決定し、群G は左平行移動によってその空間に作用します。クラインの目的は、Gの作用によって合同となる等質空間上にあるオブジェクトを研究することでした。 カルタン幾何学は、クライン幾何学の概念を拡張し、多様体の各点にクライン幾何学のコピーを添付し、このコピーを多様体に接するものと見なします。したがって、多様体の幾何学はクライン幾何学のものと無限小的には同一ですが、全体的にはかなり異なる場合があります。特に、カルタン幾何学には、もはや明確に定義されたGの作用はありません。ただし、カルタン接続は、平行移動によって多様体内の無限小モデル空間を接続する方法を提供します。

3 次元ユークリッド空間R ³内の滑らかな表面S を考えます。任意の点の近くでは、S はその点における接平面で近似でき、これはユークリッド空間のアフィン部分空間です。アフィン部分空間はモデル表面です。つまり、 R ³の最も単純な表面であり、平面のユークリッド群の下で同次であるため、フェリックス・クラインのエルランゲン・プログラムの意味でクライン幾何学です。すべての滑らかな表面S には、各点でそれに接する一意のアフィン平面があります。 R ³内のこのようなすべての平面の族 ( Sの各点に 1 つずつ接続される) は、接平面の合同と呼ばれます。接平面はSに沿って「転がる」ことができ、その際、接触点はS上に曲線を描きます。逆に、S上に曲線が与えられている場合、接平面はその曲線に沿って転がすことができます。これは、アフィン（実際にはユークリッド）変換によって曲線に沿ったさまざまなポイントでの接平面を識別する方法を提供し、アフィン接続と呼ばれるカルタン接続の例です。

もう 1 つの例は、平面をモデル面として、共形変換のメビウス群の下で同次である球に置き換えることによって得られます。球の半径は未定であるため、各点で滑らかな表面Sに接する唯一の球はもはや存在しません。これは、球が接触点でSと同じ平均曲率を持つと仮定することで解決できます。このような球は、 S上の曲線に沿って再び転がすことができ、これにより、S に共形接続と呼ばれる別の種類のカルタン接続が備わります。

19 世紀後半から 20 世紀初頭にかけての微分幾何学者は、平面や球などのモデル族を使用して曲面の幾何学を記述することに非常に興味を持っていました。曲面Sの各点に付随するモデル空間の族は合同と呼ばれます。前の例では、このような合同の標準的な選択があります。カルタン接続は、Sの任意の曲線に沿った合同内のモデル空間間の同一視を提供します。これらの同一の重要な特徴は、モデル空間とS の接点が常に曲線とともに移動するということです。この一般的な条件は、カルタン接続の特徴です。

アフィン接続の現代的な扱いでは、接触点は接平面（ベクトル空間）の原点とみなされ、原点の動きは平行移動によって修正されるため、カルタン接続は必要ありません。ただし、一般にこれを行う標準的な方法はありません。特に球面合同の共形接続の場合、接触点の動きを残りの動きから自然に分離することはできません。

どちらの例でも、モデル空間は同次空間G / Hです。

• 最初のケースでは、G / Hはアフィン平面であり、G = Aff( R ² )は平面のアフィン群であり、 H = GL(2)は対応する一般線型群です。
• 2番目のケースでは、G / Hは共形（または天体）球面であり、G = O ⁺ (3,1)は（直交）ローレンツ群であり、HはR ^3,1のヌルラインの安定化群です。

Sのカルタン幾何学は、Sの各点（マークされた接点を含む）におけるモデル空間G / Hのコピーと、 Gの要素を使用してこれらのコピーを識別する曲線に沿った「平行移動」の概念で構成されます。この平行移動の概念は、接触点が常に曲線に沿って移動するという直感的な意味で一般的です。

一般に、G を部分群Hを持つ群とし、M をG / Hと同じ次元の多様体とします。大まかに言えば、 M上のカルタン接続は、 Hへの簡約に関してジェネリックなG接続です。

多様体M上のアフィン接続は、 Mのフレームバンドル (主バンドル)上の接続(または、Mの接バンドル (ベクトルバンドル) 上の接続と同等)です。カルタン接続の観点の重要な側面は、主バンドルのコンテキストでこの概念を詳しく説明することです(これは「フレームの一般理論または抽象理論」と呼ぶことができます)。

H をリー群、そのリー代数とする。このとき主Hバンドルは、ファイバー上で自由かつ推移的なHのPへの滑らかな作用を持つM上のファイバーバンドルPである。したがって、 Pは滑らかな写像π : P → M を持つ滑らかな多様体であり、これは局所的には自明バンドルM × H → Mのように見える。Mのフレームバンドルは主 GL( n ) バンドルであり、 Mがリーマン多様体である場合、正規直交フレームバンドルは主 O( n ) バンドルである。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

R _{h を}h ∈ HのPへの（右）作用とします。この作用の導関数は、の各元ξに対してP上の垂直ベクトル場を定義します。h ( t ) がh (0)= e (単位元) およびh ' ( 0 )= ξの1パラメータ部分群である場合、対応する垂直ベクトル場は ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle X_{\xi }={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}R_{h(t)}{\biggr |}_{t=0}.\,}$

P上の主H接続はP 上の1 形式であり、その 値はHのリー代数に含まれ、 ${\displaystyle \omega \colon TP\to {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

1. ${\displaystyle {\hbox{Ad}}(h)(R_{h}^{*}\omega )=\omega }$
2. 任意の について、ω ( X _ξ ) = ξ ( Pについても同様)。${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {h}}}$

直感的な考え方は、ω ( X ) がXの垂直成分を提供し、 πのファイバーとHの同型性を使用して、 の要素を持つ垂直ベクトルを識別するというものです。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

フレームバンドルには、はんだ形式と呼ばれる追加の構造があり、これを使用して、 P上の主接続を、絶対平行性と呼ばれるPの接線バンドルの自明化に拡張できます。

一般に、Mがn次元を持ち、H がR ⁿ（任意のn次元実ベクトル空間）に作用すると仮定する。 M上の主HバンドルP上のはんだ形式は、水平かつ同変であるR ⁿ値 1 形式θ : T P → R ⁿであり、T Mから関連するバンドルP × _H R ⁿへのバンドル準同型を誘導する。これはさらに、バンドル同型であることが要求される。 フレームバンドルには、フレームpに関して、接ベクトルX ∈ T _p Pを d π _p ( X ) ∈ T _{π ( p )} Mの座標に送信する（標準またはトートロジーの）はんだ形式がある。

ペア ( ω , θ ) (主接続とはんだ形式)は、 HとR ⁿの半直積Gのリー代数に値を持つP上の1 形式η を定義し、各接空間 T _p Pとの同型性を提供します。これは、関連する主GバンドルP × _H G上に主接続α を誘導します。これはカルタン接続です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

カルタン接続は、アフィン接続を 2 つの方法で一般化します。

• HのR ⁿへの作用は有効である必要はありません。これにより、たとえば、スピン接続を理論に含めることができ、H は直交群O( n )ではなくスピン群Spin( n ) になります。
• 群G はHとR ⁿの半直積である必要はありません。

クラインのエアランゲン計画は、幾何学は等質空間の研究とみなせることを示唆した。特に、それは 19 世紀 (およびそれ以前) の幾何学者が興味を持った多くの幾何学の研究である。クライン幾何学は、空間と、その空間内の運動の法則 (古典的ユークリッド幾何学のユークリッド変換に類似)で構成され、変換のリー群として表現される。これらの一般化された空間は、リー群をリー部分群で割った商空間に微分同相な等質滑らかな多様体であることが判明した。これらの等質空間が持つ追加の微分構造により、微積分を使用してその幾何学を研究し、一般化することができる。

カルタンの一般的なアプローチは、リー群Gとリー部分群Hによって与えられ、それぞれリー代数とを伴う滑らかなクライン幾何学から始めることです。PをGの基底主同次空間とします。クライン幾何学は、 Pの商P / HとHの右作用によって与えられる同次空間です。正準射影の繊維には 右H作用があります。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

π : P → P / H

R _h g = ghで与えられる。さらに、 πの各ファイバーはHのコピーである。PはP / H上の主Hバンドルの構造を持つ。^[2]

P上のベクトル場X が垂直であるとは、d π ( X ) = 0 のときである。任意のξ ∈ は、 ξに関連付けられたHの 1 パラメータ部分群の右作用の導関数をとることによって、標準垂直ベクトル場X _ξを生じる。Pのマウラー・カルタン形式η は、各接空間をリー代数と同一視する P上の- 値 1 形式である。これは次の特性を持つ。${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

1. Ad( h ) R _h ^* η = η （Hのすべてのhについて）
2. η ( X _ξ ) = ξ (すべてのξについて)${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
3. すべてのg ∈ Pに対して、η はT _g Pの線型同型を制限します（ η はP上の絶対平行性です）。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

これらの特性に加えて、ηは構造（または構造）方程式を満たす。

${\displaystyle d\eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta ,\eta ]=0.}$

逆に、多様体MとM上の主HバンドルP 、およびこれらの特性を持つ1 形式ηが与えられたとき、 P は主同次バンドルG → G / Hに対するHバンドルとして局所同型であることを示すことができます。構造方程式は、このような局所同型性が存在するための積分可能条件です。

カルタン幾何学は滑らかなクライン幾何学の一般化であり、構造方程式は仮定されず、代わりに曲率の概念を定義するために使用されます。したがって、クライン幾何学はカルタン幾何学の平坦モデルであると言われています。^[3]

カルタン接続は、多様体上の擬似群構造と密接に関連しています。それぞれは、リーマン幾何学がユークリッド空間上でモデル化されるのと同様に、クライン幾何学G / H 上でモデル化されると考えられています。多様体 M 上では、 M の各点にモデル空間 G / Hのコピーを添付することを想像します。次に、モデル空間の対称性が、近くの点のモデル空間がGの変換によって関連付けられると仮定することにより、カルタン幾何学または擬似群構造に組み込まれます。カルタン幾何学と擬似群幾何学の基本的な違いは、カルタン幾何学の対称性が、無限小に近い点をGの無限小変換（つまり、 Gのリー代数の要素）によって関連付けるのに対し、擬似群構造の対称性の類似の概念は、多様体内で物理的に分離されている点に適用されることです。

点に空間を関連付けるプロセスとそれに伴う対称性は、特殊な座標系を使用することで具体的に実現できます。^[4]各点p ∈ M に対して、pの近傍 U _{p が、 φ p}  : U _p → G / Hのマッピングとともに与えられます。このようにして、各点でM をG / Hの開集合として局所的に実現することにより、モデル空間がMの各点に関連付けられます。これを、 Mの点によってパラメータ化されたM上の座標系の族と考えます。このようなパラメータ化された 2 つの座標系 φ と φ′ は、 pによってパラメータ化された要素h _p ∈ Hがあり、

φ′ _p = h _p φ _p . ^[5]

この自由は、物理学者のゲージの概念にほぼ相当します。

近傍点同士は曲線で結ばれることによって関係付けられる。pとp ′ が曲線p _{tで結ばれた}M内の2点であるとする。するとp _{t は}曲線に沿ったモデル空間の移動の概念を与える。 ^[6] τ _t  : G / H → G / Hを（局所的に定義された）合成写像と する。

τ _t = φ _{p t} o φ _{p 0} ⁻¹です。

直感的には、 τ _{t は}輸送写像です。擬群構造では、 τ _{t が}各tに対してモデル空間の対称性、すなわち τ _t ∈ Gである必要があります。カルタン接続では、 τ _tの導関数がモデル空間の対称性、すなわち τ′ ₀ ∈ g 、つまりGのリー代数である必要があります。

カルタンに典型的なことですが、カルタン接続の概念を導入した動機の 1 つは、擬似群の特性を無限小の観点から研究することでした。カルタン接続は、輸送マップ τ′ の導関数を積分できるときに擬似群を正確に定義し、座標系間の真の ( G値の) 輸送マップを復元します。したがって、積分可能条件が働いており、積分可能条件を実現するためのカルタンの方法は、微分形式を導入することでした。

この場合、τ′ _{0 は点}pにおける微分形式を次のように定義する。pから始まるMの曲線 γ( t ) = p _{tに対して、}接線ベクトルXと輸送写像 τ _t ^γを関連付けることができる。導関数をとると線型写像が決定される。

${\displaystyle X\mapsto \left.{\frac {d}{dt}}\tau _{t}^{\gamma }\right|_{t=0}=\theta (X)\in {\mathfrak {g}}.}$

したがって、 θ はM上のg値微分 1 形式を定義します。

しかし、この形式はパラメータ化された座標系の選択に依存します。h  : U → H が2つのパラメータ化された座標系 φ と φ′ の間のH関係である場合、対応する θ の値も次のように関係付けられます。

${\displaystyle \theta _{p}^{\prime }=Ad(h_{p}^{-1})\theta _{p}+h_{p}^{*}\omega _{H},}$

ここで_ωHはHのマウラー・カルタン形式である。

等質空間G / H上にモデル化されたカルタン幾何学は、曲率の存在を許容するこの幾何学の変形として見ることができます。例:

• リーマン多様体はユークリッド空間の変形として見ることができる。
• ローレンツ多様体はミンコフスキー空間の変形として見ることができる。
• 共形多様体は共形球面の変形として見ることができる。
• アフィン接続を備えた多様体は、アフィン空間の変形として見ることができます。

定義には主に 2 つのアプローチがあります。どちらのアプローチでも、Mはn次元の滑らかな多様体、Hはリー代数を持つm次元のリー群、Gはリー代数を持つn + m次元のリー群で、H を部分群として含みます。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

カルタン接続は^、Mの開集合Uの座標アトラスと、各チャート上で定義される -^値1形式θ _Uから構成され、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

1. θ _U  : T U → .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
2. θ _U mod  : T _u U → は任意のu ∈ Uに対する線型同型である。${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$
3. アトラス内の任意のチャートUとVのペアに対して、滑らかな写像h  : U ∩ V → Hが存在し、

${\displaystyle \theta _{V}=Ad(h^{-1})\theta _{U}+h^{*}\omega _{H},\,}$

ここで_ωHはHのマウラー・カルタン形式である。

_{θ U が}座標系から来ている場合と同様に、条件3は φ _Uが φ _Vとhによって関連していることを意味します。

カルタン接続の曲率は、チャート上で定義される2次元形式のシステムで構成され、次のように表されます。

${\displaystyle \Omega _{U}=d\theta _{U}+{\tfrac {1}{2}}[\theta _{U},\theta _{U}].}$

Ω _{U は}適合条件を満たす:

θ _Uと θ _{Vが上記のように関数}h  : U ∩ V → Hによって関連付けられている場合、 Ω _V = Ad( h ⁻¹ ) Ω _U

商空間を形成することによって、定義を座標系から独立させることができる。

${\displaystyle P=(\coprod _{U}U\times H)/\sim }$

アトラス内の全U上の非結合和集合の同値関係~ は、ペア ( x , h ₁ ) ∈ U ₁ × Hと ( x , h ₂ ) ∈ U ₂ × H上で次のように定義されます。

( x , h ₁ ) ~ ( x , h _{2 ) は、} x ∈ U ₁ ∩ U ₂のときに限り、 θ _{U 1 はθ U 2}とhによって関連しており、h ₂ = h ( x ) ⁻¹ h ₁です。

するとP はM上の主Hバンドルとなり、接続形式 θ _{U上の適合条件はそれらが}P上で定義された -値1形式 ηに持ち上げられることを意味する（下記参照）。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

P をM上の主Hバンドルとする。このとき、カルタン接続^[9]はP上の-値 1-形式ηであって、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

1. H内の任意のhに対して、 Ad( h ) R _h ^* η = η
2. 内のすべてのξに対して、η ( X _ξ ) = ξ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
3. P内のすべてのpに対して、 ηの制限により接空間 T _p Pからへの線型同型が定義されます。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

最後の条件はカルタン条件と呼ばれることもあります。これは、η がP上で絶対平行性を定義することを意味します。2 番目の条件は、ηがすでに垂直ベクトル上で単射であり、内の値を持つ1 形式η modが水平であることを意味します。ベクトル空間は、上のHの随伴表現を使用したHの表現であり、最初の条件はη modが同変であることを意味します。したがって、これは T Mから関連するバンドル へのバンドル準同型を定義します。カルタン条件は、このバンドル準同型が同型であることと同等であり、η mod ははんだ形式になります。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

カルタン接続の曲率は、次のように定義される -値2形式Ωである。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Omega =d\eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta \wedge \eta ].}$

カルタン接続のこの定義は、主接続の定義と非常によく似ていることに注意してください。ただし、いくつかの重要な違いがあります。まず、1 形式 η は の値を取りますが、Hの作用の下でのみ同変です。実際、 GバンドルとG作用がないため、完全なグループGの下では同変ではありません。次に、1 形式は絶対平行性であり、これは直感的に、 η が主バンドルの追加方向の挙動に関する情報をもたらすことを意味します (単に垂直空間への射影演算子であるのではなく)。具体的には、はんだ形式の存在により、カルタン接続が多様体の 基になる微分位相にバインド (またははんだ付け) されます。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

この形式でのカルタン接続の直感的な解釈は、それがクライン幾何学に関連付けられたトートロジー主バンドルの破壊を決定するというものです。したがって、カルタン幾何学はクライン幾何学の変形類似体です。この変形は、大まかに言えば、モデル空間G / HのコピーをMの各点に添付し、そのモデル空間が接点で多様体に接する(そして無限小的に同一である)と考えるための処方箋です。すると、接点でのクライン幾何学のトートロジーバンドルG → G / Hの繊維は、バンドルPの繊維と同一視されます。そのような各繊維 ( G内) はGに対してマウラー・カルタン形式を持ち、カルタン接続は、接点から集められたこれらのマウラー・カルタン形式をバンドル全体で定義された一貫した 1 形式 η に組み立てる方法です。Hの要素のみがマウラー・カルタン方程式 Ad( h ) R _h ^* η = ηに寄与するという事実は、 Gの他の要素はモデル空間を接触点から遠ざけ、多様体に接しなくなるという直感的な解釈をもたらします。

これらの用語で定義されたカルタン接続から、セクションs _U  : U → P として与えられたPの局所自明化のコレクションを取り、セクションに沿ったカルタン接続のプルバックをθ _U = s ^* η とすることで、多様体上の 1 形式のシステムとしてカルタン接続を復元できます (ゲージ定義の場合と同様) 。

カルタン接続を定義する別の方法は、ある主Gバンドル上の主接続として定義する。この観点から、カルタン接続は以下で構成される。

• M上の主GバンドルQ
• Q上の主G接続α (カルタン接続)
• Qの主HサブバンドルP (つまり、構造群の縮小)

αからPへの引き戻し ηがカルタン条件を満たすよう なもの。

Q上の主接続α は、 Q を関連するバンドルP × _H Gとすることで、形式ηから復元できます。逆に、形式 η は、包含P ⊂ Qに沿って引き戻すことで α から復元できます。

α は主接続なので、任意の付随バンドル上でQへの接続を誘導します。特に、ファイバーがモデル空間G / HのコピーであるM上の同次空間のバンドルQ × _G G / Hは接続を持ちます。構造群のHへの縮小は、 E = Q × _G G / Hの切断sによって同等に与えられます。 Mのx上のファイバーは、 x上のQ × _G G / Hのファイバーに対するs ( x )での接空間と見なすことができます。したがって、カルタン条件は、モデル空間がセクションsに沿ってMに接するという直感的な解釈を持ちます。この接空間の同一視は接続によって誘導されるため、sによって与えられたマークされた点は常に平行移動の下で移動します。 ${\displaystyle P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$

カルタン接続を定義するもう一つの方法は、前節のバンドルE = Q × _G G / H上のエーレスマン接続を使うことである。 ^[10] カルタン接続は、

• ファイバーG / Hと垂直空間V E ⊂ T Eを持つファイバー束π : E → M。
• セクションs  : M → E。
• G接続θ:T E → V Eであって、

s ^* θ _x  : T _x M → V _{s ( x )} E はすべてのx ∈ Mに対してベクトル空間の線型同型です。

この定義は、序論で提示した直感的なアイデアを厳密なものにします。まず、優先断面s は、多様体と接空間の接点を識別するものと考えることができます。特に最後の条件は、xにおけるMの接空間が、接点におけるモデル空間の接空間と同型であることを意味します。したがって、モデル空間は、このようにして多様体に接します。

この定義は、発展の考え方にも顕著に焦点を当てています。x _tがM内の曲線である場合、 E上のエーレスマン接続は、曲線の終点上のファイバーから始点上のファイバーへの関連する平行移動マップ τ _t  : E _{x t} → E _{x 0}を提供します。特に、 E は優先断面sを備えているため、点s ( x _{t ) は}x ₀上のファイバーに戻り、 E _{x 0}内の曲線を描きます。この曲線は、曲線x _tの発展と呼ばれます。

この定義が上記の定義と同等であることを示すには、バンドルEの適切な移動フレームの概念を導入する必要があります。一般に、これは構造群Gを持つファイバーバンドル上の任意のG接続に対して可能です。詳細については、 Ehresmann 接続#関連バンドルを参照してください。

P をM上の主Hバンドルとし、カルタン接続 η : T P →を備えるものとする。 がHの簡約加群である場合、つまりベクトル空間 のAd ( H ) 不変分割を許容する場合、 η の -成分はアフィン接続のソルダー形式を一般化する。^[11]詳細には、 η はおよび成分 に分割される。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

η = η + η です。_{${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}

1-形式 η は元のカルタンバンドルP上の主H接続であることに注意する。さらに、1-形式 η は次を満たす: _{${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}

すべての垂直ベクトルX ∈ T Pについてη ( X ) = 0 です。(η は水平です。)_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}

R _h ^* η = Ad ( h ⁻¹ )η任意のh ∈ Hについて。(η は右H作用に対して同変である。)_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}

言い換えれば、ηは束Pのはんだ形式です。

したがって、形式 η を備えたPは、 M上の(1 次) H構造を定義します。形式 η は、H構造上の接続を定義します。 _{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$}

が放物型部分代数を持つ半単純リー代数（つまり、の最大可解部分代数を含む）であり、 GとP が関連リー群である場合、 ( G , P , , )をモデルにしたカルタン接続は放物型カルタン幾何学、または単に放物型幾何学と呼ばれます。放物型幾何学の際立った特徴は、その余接空間上のリー代数構造です。これは、のキリング形式に関する の垂直部分空間 ⊥ が の部分代数であり、^キリング形式が⊥ と の間に自然な双対性を誘導するため^に生じます。したがって、 ^⊥に関連付けられたバンドルは、余接バンドルと同型です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

放物線幾何学には、次の例のように、カルタン接続の研究と応用において興味深いものが多数含まれています。

• 共形接続: ここでG = SO ( p +1, q +1) であり、P はR ⁿ⁺²のヌル光線の安定子です。
• 射影接続: ここでG = PGL (n+1) であり、P はRP ⁿ内の点の安定子です。
• CR構造とCartan-Chern-Tanaka接続: G = PSU ( p +1, q +1)、P = 射影的ヌル超二次曲面上の点の安定子。
• 接触射影接続: ^[12]ここでG = SP (2n+2)であり、PはR ⁿ⁺²の最初の標準基底ベクトルによって生成される光線の安定化因子である。
• 5次元多様体上の一般的な階数2の超関数: ここでG = Aut ( O _{s )は}SO (3,4)の閉じた部分群である分割八元数の代数O _sの自己同型群であり、PはGとR ⁷の最初の標準基底ベクトルが張る等方直線の安定線を純虚分割八元数( O _sの単位元の直交補数)として見たときの交点である。^[13]

M がG / Hをモデルにしたカルタン幾何学であるとし、 ( Q , α ) を接続を持つ主Gバンドル、 ( P , η ) をηがαの引き戻しに等しいHへの対応する縮約とします。V をG の表現とし、 M上のベクトルバンドルV = Q × _G Vを形成します。すると、 Q上の主G接続α は、 V上の共変微分を誘導します。これは、1階の線型微分演算子です。

${\displaystyle \nabla \colon \Omega _{M}^{0}(\mathbf {V} )\to \Omega _{M}^{1}(\mathbf {V} ),}$

ここで、はVに値を持つM上のk形式の空間を表し、はVの切断の空間であり、 はHom(T M , V )の切断の空間です。Vの任意の切断vについて、共変微分 ∇ vとM上のベクトル場Xの縮約は ∇ _X vと表され、次のライプニッツ規則を満たします。 ${\displaystyle \Omega _{M}^{k}(\mathbf {V} )}$${\displaystyle \Omega _{M}^{0}(\mathbf {V} )}$${\displaystyle \Omega _{M}^{1}(\mathbf {V} )}$

${\displaystyle \nabla _{X}(fv)=df(X)v+f\nabla _{X}v}$

M上の任意の滑らかな関数fに対して。

共変微分はP上のカルタン接続ηから構成することもできる。実際、この方法で構成すると、V がGの完全な表現である必要がない点で、やや一般的になる。^[14]代わりに、Vが ( , H ) 加群、すなわちリー代数の互換性のある表現を持つ群Hの表現であると仮定する。 M上の誘導ベクトル束Vの切断vは、 H同変写像P → Vとして考えることができることを思い出す。これが、ここで採用する観点である。X をM上のベクトル場とする。 Pの接束への任意の右不変リフトを選択する。定義する ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\bar {X}}}$

${\displaystyle \nabla _{X}v=dv({\bar {X}})+\eta ({\bar {X}})\cdot v}$。

∇ vが適切に定義されていることを示すには、次のことが必要です。

1. 選択したリフトに依存しない${\displaystyle {\bar {X}}}$
2. 同変であり、バンドルVのセクションに降りる。

（１）について、 Xの右不変リフトを選択する際の曖昧さは、から誘導される右不変垂直ベクトル場である形式の変換である。したがって、新しいリフト に関して共変微分を計算すると、 ${\displaystyle X\mapsto X+X_{\xi }}$${\displaystyle X_{\xi }}$${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\bar {X}}+X_{\xi }}$

${\displaystyle \nabla _{X}v=dv({\bar {X}}+X_{\xi })+\eta ({\bar {X}}+X_{\xi }))\cdot v}$

${\displaystyle =dv({\bar {X}})+dv(X_{\xi })+\eta ({\bar {X}})\cdot v+\xi \cdot v}$

${\displaystyle =dv({\bar {X}})+\eta ({\bar {X}})\cdot v}$

なぜなら、hにおける同値性の微分は単位元に等しいからです。 ${\displaystyle \xi \cdot v+dv(X_{\xi })=0}$${\displaystyle h\cdot R_{h}^{*}v=v}$

(2)については、vは同変であり右不変なので、は同変であることに注意してください。一方、ηも同変なので、も同変です。 ${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle dv({\bar {X}})}$${\displaystyle \eta ({\bar {X}})\cdot v}$

V は部分群Hの表現にすぎず、より大きな群G の表現であるとは限らないと仮定する。をP上のV値微分k形式の空間とする。カルタン接続が存在する場合、標準同型が存在する。 ${\displaystyle \Omega ^{k}(P,V)}$

${\displaystyle \varphi \colon \Omega ^{k}(P,V)\cong \Omega ^{0}(P,V\otimes \bigwedge \nolimits ^{k}{\mathfrak {g}}^{*})}$

によって与えられ 、です。 ${\displaystyle \varphi (\beta )(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{k})=\beta (\eta ^{-1}(\xi _{1}),\dots ,\eta ^{-1}(\xi _{k}))}$${\displaystyle \beta \in \Omega ^{k}(P,V)}$${\displaystyle \xi _{j}\in {\mathfrak {g}}}$

各kに対して、外微分は1階の演算子微分演算子である

${\displaystyle d\colon \Omega ^{k}(P,V)\rightarrow \Omega ^{k+1}(P,V)\,}$

そしてk =0の場合には微分演算子を定義する。

${\displaystyle \varphi \circ d\colon \Omega ^{0}(P,V)\rightarrow \Omega ^{0}(P,V\otimes {\mathfrak {g}}^{*}).\,}$

η は同変なので、vが同変であれば、Dv  := φ (d v ) も同変です。したがって、この合成は、V = P × _H Vのセクションからバンドルのセクションまでの1 階微分演算子Dに降下します。これは、基本微分または普遍微分、あるいは基本 D 演算子と呼ばれます。 ${\displaystyle P\times _{H}(\mathbf {V} \otimes {\mathfrak {g}}^{*})}$

• Čap, Andreas; Gover, A. Rod (2002)、「放物線形状のトラクター計算」、アメリカ数学会誌、354 (4): 1511–1548、doi : 10.1090/S0002-9947-01-02909-9。
• Čap, A.; Sagerschnig, K. (2009)、「次元 5 の一般的なランク 2 分布に関連する Nurowski の共形構造について」、Journal of Geometry and Physics、59 (7): 901–912、arXiv : 0710.2208、Bibcode :2007arXiv0710.2208C、doi :10.1016/j.geomphys.2009.04.001、S2CID  12850650。
• Cartan、Élie (1910)、「Les systèmes de Pfaff à cinq variables et les équations aux dérivées Partielles du Second ordre」、Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure、27 : 109–192、doi : 10.24033/asens.618。
• Cartan、Élie (1923)、「Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (première party)」、Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure、40 : 325–412、doi : 10.24033/asens.751。
• Cartan、Élie (1924)、「Sur les variétés à connexion projective」、Bulletin de la Société Mathématique de France、52 : 205–241、doi : 10.24033/bsmf.1053。
• Cartan、Élie (1926)、「Les groupes d'holonomie des espaces généralisés」、Acta Mathematica、48 (1–2): 1–42、doi : 10.1007/BF02629755。
• Cartan、Élie (1951)、Robert Hermann (編) による付録付き、リーマン空間の幾何学 ( Leçons sur la géométrie des espaces de Riemannの James Glazebrook による翻訳、第 2 版)、Math Sci Press、マサチューセッツ州 (1983 年出版) 、ISBN 978-0-915692-34-7。
• シュヴァレー、C. (1946)、リー群の理論、プリンストン大学出版、ISBN 0-691-08052-6。
• Ehresmann, C. (1950)、「宇宙繊維の違いによる無限の接続」、Colloque de Topologie、ブリュッセル: 29–55、MR  0042768。
• Fox, DJF (2005)、「接触射影構造」、インディアナ大学数学ジャーナル、54 (6): 1547–1598、arXiv : math/0402332、doi :10.1512/iumj.2005.54.2603、S2CID  17061926。
• グリフィス、フィリップ（1974）、「微分幾何学における一意性と存在性の問題に適用されるカルタンのリー群と移動フレームの方法について」デューク数学ジャーナル、41（4）：775–814、doi：10.1215 / S0012-7094-74-04180-5、S2CID  12966544。
• 小林昭七、野水勝美（1996）、微分幾何学の基礎、第1巻と第2巻（新版）、Wiley-Interscience、ISBN 0-471-15733-3。
• 小林昭七（1970）『微分幾何学における変換群』（第1版）、Springer、ISBN 3-540-05848-6。
• 小林庄七 (1957)、「接続理論」、Annali di Matematica Pura ed Applicata、シリーズ 4、43 : 119–194、doi : 10.1007/BF02411907、S2CID  120972987。
• ルミステ、Ü. (2001a) [1994]、「Conformal connection」、Hazewinkel、Michiel (編)、Encyclopedia of Mathematics、Kluwer Academic Publishers、ISBN 978-1-55608-010-4。
• Lumiste, Ü. (2001b) [1994]、「多様体上の接続」、Hazewinkel, Michiel (編)、Encyclopedia of Mathematics、Kluwer Academic Publishers、ISBN 978-1-55608-010-4。
• Sagerschnig, K. (2006)、「5 次元の分割八元数と一般的なランク 2 分布」、Archivum Mathematicum、42 (Suppl): 329–339。
• Sharpe、RW (1997)、Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program、Springer-Verlag、ニューヨーク、ISBN 0-387-94732-9。
• スロバキア、ヤン（1997）、放物線幾何学（PDF） 、研究講義ノート、博士論文の一部、マサリク大学、 2022年3月30日にオリジナル（PDF）からアーカイブ。

• 小林昭七（1972）『微分幾何学における変換群』（古典数学1995年版）、シュプリンガー・フェアラーク、ベルリン、ISBN 978-3-540-58659-3。

セクション3. カルタン接続[127〜130ページ]では、共形接続と射影接続を統一的に扱います。

• Ü. ルミステ(2001) [1994]、「アフィン接続」、数学百科事典、EMS プレス