二乗積分可能関数

数学において、二乗可積分関数（にじゅうかくかくりつかんすう）は、二乗積分関数、関数、二乗和可能関数とも呼ばれ、^[1]絶対値の二乗の積分が有限である実数値または複素数値の測定可能な関数である。したがって、実数直線上の二乗可積分性は次のように定義される。 ${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

のような有界区間上の二次積分可能性についても言及することができる。^[2]${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a\leq b}$

同等の定義は、関数自体の二乗（絶対値の二乗ではなく）がルベーグ積分可能であると言うことです。これが真であるためには、実部の正の部分と負の部分の積分が両方とも有限であり、虚部の積分も有限である必要があります。

二乗可積分関数（の同値類）（ルベーグ測度に関して）のベクトル空間は、を持つ空間を形成します。 空間の中で、二乗可積分関数のクラスは、内積 と互換性があるという点で独特であり、これにより角度や直交性などの概念を定義できます。 この内積とともに、二乗可積分関数はヒルベルト空間を形成します。これは、すべての空間がそれぞれの-ノルムの下で完備であるためです。 ${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p=2.}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$

この用語は、特定の関数を指すのではなく、ほぼすべての点で等しい関数の同値クラスを指すために使用されることがよくあります。

平方積分可能関数（前述の意味での「関数」は実際にはほぼどこでも等しい関数の同値類を意味する）は、内積が 次 のように与えられる 内積空間を形成する。$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{A}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x,}$$

• ${\displaystyle f}$およびは平方積分可能な関数であり、${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle {\overline {f(x)}}}$は複素共役である${\displaystyle f(x),}$
• ${\displaystyle A}$は積分する集合です。最初の定義（上記の導入部で示した）では であり、2 番目の定義では です。${\displaystyle A}$${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle [a,b]}$

なので、平方積分可能性は、 ${\displaystyle |a|^{2}=a\cdot {\overline {a}}}$$${\displaystyle \langle f,f\rangle <\infty .\,}$$

二乗可積分関数は、上で定義した内積によって誘導される計量の下で完全な計量空間を形成することが示されます。完全な計量空間はコーシー空間とも呼ばれます。これは、そのような計量空間内のシーケンスが収束するためには、それらがコーシーである必要があります。ノルムによって誘導される計量の下で完全な空間はバナッハ空間です。したがって、二乗可積分関数の空間は、内積によって誘導されるノルムによって誘導される計量の下でのバナッハ空間です。内積という追加の特性があるため、これは特にヒルベルト空間です。なぜなら、空間は内積によって誘導される計量の下で完全だからです。

この内積空間は慣例的に と表記され、多くの場合 と省略されます 。は平方積分可能な関数の集合を表しますが、この表記ではメトリック、ノルム、または内積の選択は指定されません。 この集合は、特定の内積とともに内積空間を指定します。 ${\displaystyle \left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)}$${\displaystyle L_{2}.}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}}$

平方積分可能関数の空間は、${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p=2.}$

上で定義された関数はでは であるが では ではない^[1]上で定義された 関数は二乗積分可能である^[3]${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{n}}},}$${\displaystyle (0,1),}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle n<{\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}.}$${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$${\displaystyle [1,\infty ),}$

で定義される有界関数は平方積分可能である。これらの関数は、^[3]の任意の値に対しても${\displaystyle [0,1],}$${\displaystyle L^{p},}$${\displaystyle p.}$

関数は で定義され、 の値は任意である。さらに、この関数はの任意の値に対してでは定義されない^[3]${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$${\displaystyle [0,1],}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle [1,\infty ).}$

• 内積空間
• ${\displaystyle L^{p}}$空間 – 有限次元 p ノルム空間を一般化する関数空間