ハリシュ・チャンドラモジュール

数学、特にリー群の表現論において、インドの数学者で物理学者のハリシュ・チャンドラにちなんで名付けられたハリシュ・チャンドラ加群は、正則性および有限性条件を備えた一般表現に関連付けられた実リー群の表現です。関連付けられた表現が-加群である場合、そのハリシュ・チャンドラ加群は望ましい因数分解特性を備えた表現です。 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$

Gをリー群、K をGのコンパクト部分群とする。 がGの表現である場合、のハリシュ・チャンドラ加群はVのK 有限の滑らかなベクトルからなるVの部分空間Xである 。これは、X が、${\displaystyle (\pi,V)}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \varphi _{v}:G\longrightarrow V}$

${\displaystyle \varphi _{v}(g)=\pi (g)v}$

は滑らかであり、部分空間

${\displaystyle {\text{span}}\{\pi (k)v:k\in K\}}$

有限次元です。

1973 年に、レポウスキーは、任意の既約- 加群X は、ヒルベルト空間上のGの既約表現のハリシュ-チャンドラ加群と同型であることを示した。このような表現は許容可能であり、つまり、整数の素因数分解に類似した方法で分解できる。(もちろん、分解には無限個の異なる因数があるかもしれない!) さらに、ハリシュ-チャンドラの結果は、Gが最大コンパクト部分群Kを持つ簡約リー群であり、X が次を満たす正定値エルミート形式の 既約 - 加群である 場合、${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$

${\displaystyle \langle k\cdot v,w\rangle =\langle v,k^{-1}\cdot w\rangle }$

そして

${\displaystyle \langle Y\cdot v,w\rangle =-\langle v,Y\cdot w\rangle }$

すべてのおよびに対して、X はGの一意の既約ユニタリ表現のハリシュ・チャンドラ加群です 。 ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle k\in K}$

• Vogan, Jr., David A. (1987)、「Unitary Representations of Reductionive Lie Groups」、Annals of Mathematics Studies、vol. 118、プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-08482-4

• (g,K)モジュール
• 許容される表現
• 単一表現