SL 2 ( R )

数学において、特別な線形群SL(2, R)またはSL ₂ (R)は、行列式が1である2×2実数行列の群である。

${\displaystyle {\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon a,b,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{ かつ }}ad-bc=1\right\}.}$

これは、幾何学、位相幾何学、表現論、物理学に応用される、次元3の連結非コンパクト単純実リー群です。

SL(2, R ) は、複素上半平面に分数線形変換によって作用します。群作用は、商PSL(2, R) ( R上の2 × 2射影特殊線形群)を介して分解されます。より具体的には、

PSL(2, R ) = SL(2, R ) / {± I },  

ここで、I は2 × 2 の単位行列を表します。これはモジュラー群PSL(2, Z ) を含みます。

また、密接に関連しているのは、メタプレクティック群である2重被覆群Mp(2, R ) （SL(2, R )をシンプレクティック群と考える）である。

関連する別のグループは、行列式が±1である実数2×2行列のグループであるSL ^± (2, R )です。ただし、これはモジュラー群の文脈でより一般的に使用されます。

SL(2, R ) は、向き付けられた面積を保存するR ²のすべての線形変換の群です。これは、シンプレクティック群Sp(2, R ) および特殊ユニタリ群SU(1, 1)と同型です。また、単位長コ四元数の群とも同型です。群 SL ^± (2, R ) は向き付けられていない面積を保存します。つまり、向きを反転させることができます。

商空間PSL(2, R )には、リー群同型性まで含めて、いくつかの興味深い記述が存在する。

• これは、実射影直線R ∪ {∞}の向きを保存する射影変換の群です。
• これは単位円盤の共形自己同型群である。
• これは双曲平面の向きを保存する等長変換の群である。
• これは、 3 次元ミンコフスキー空間の制限ローレンツ群です。言い換えれば、これは不定直交群SO ⁺ (1,2)と同型です。したがって、SL(2, R ) はスピン群Spin(2,1) ⁺と同型です。

モジュラー群 PSL(2, Z ) の要素には追加の解釈があり、群 SL(2, Z ) の要素 (トーラスの線形変換として) にも追加の解釈があり、これらの解釈は SL(2, R )の一般理論の観点からも見ることができます。

要素A ∈ SL(2, R )の固有値は特性多項式を満たす。

${\displaystyle \lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr} (A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0}$

そのため

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathrm {tr} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} (A)^{2}-4}}}{2}}.}$

これにより、ユークリッド平面上での対応する作用とともに、要素を以下のように分類することができる。

• もし${\displaystyle |\mathrm {tr} (A)|<2}$すると、Aは楕円型と呼ばれ、回転と共役になります。
• もし${\displaystyle |\mathrm {tr} (A)|=2}$すると、Aは放物線状と呼ばれ、せん断写像となる。
• もし${\displaystyle |\mathrm {tr} (A)|>2}$すると、Aは双曲型と呼ばれ、スクイーズ写像となる。

これらの名称は、円錐曲線の偏心率による分類に対応しています。偏心率をトレースの絶対値の半分（ε = 1 / 2 | tr|、2で割ることで次元の影響を補正し、絶対値はPSL(2, R )で作業する場合のように全体的な係数±1を無視することに対応）と定義すると、次のようになります。${\displaystyle \epsilon <1}$、楕円形。${\displaystyle \epsilon =1}$放物線状。${\displaystyle \epsilon >1}$双曲線。

単位元 1 と負の単位元 −1 (PSL(2, R ) では同じ) はトレースが ±2 であり、したがってこの分類では放物線要素であるが、これらはしばしば別々に考えられている。

SL(2, C ) および PSL(2, C ) (メビウス変換) と PSL(2, R ) (実メビウス変換) に対しても同じ分類が用いられ、複素トレースに対応する「ロクソドロミック」変換が追加されます。同様の分類は他の箇所でも用いられています。

楕円（それぞれ放物型、双曲型）要素と単位元および負の単位元を含む部分群は、楕円部分群（それぞれ放物型部分群、双曲型部分群）と呼ばれます。

SL(2, R ) を楕円型、放物型、双曲型の3つの要素に分類することは、部分集合への分類であって、部分群への分類ではありません。これらの集合は乗法に関して閉じていません（2つの放物型要素の積が放物型であるとは限らないなど）。ただし、各要素は、以下に詳述するように、3つの標準的な1パラメータ部分群（場合によっては±1倍）のいずれかの要素と共役です。

位相的に見ると、トレースは連続写像であるため、楕円要素（±1を除く）は開集合を形成し、双曲要素（±1を除く）も同様に開集合を形成する。対照的に、放物線要素は±1とともに閉集合を形成するが、これは開集合ではない。

群の岩澤分解は、群を3つのリー部分群K、A、Nの積として構成する方法である。${\displaystyle {\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}$これら３つのサブグループは

${\displaystyle \mathbf {K} =\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ \theta \in \mathbf {R} \right\}\cong SO(2),}$

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\{{\begin{pmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ r>0\right\},}$

${\displaystyle \mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ x\in \mathbf {R} \right\}.}$

これら３つの要素は、それぞれ楕円型、双曲型、放物型サブセットの生成元である。

位相空間として、PSL(2, R )は双曲平面の単位接束として記述できます。これは円束であり、双曲平面上のシンプレクティック構造によって誘導される自然な接触構造を持っています。SL(2, R ) は PSL(2, R )の 2 重被覆であり、双曲平面上のスピノルの束と考えることができます。

SL(2, R )の基本群は無限巡回群Zである。普遍被覆群は、${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$は、行列群ではない有限次元リー群の一例です。つまり、${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$忠実な有限次元表現は存在しない。

位相空間として、${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$は双曲平面上の線束である。左不変計量を導入すると、3次元多様体は${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$8 つのサーストン幾何学の 1 つになります。たとえば、${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$は、任意の双曲面への単位接束の普遍被覆です。 をモデルとした任意の多様体は、${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$は向き付け可能であり、ある2次元双曲オービフォールド（ザイフェルトファイバー空間）上の円束である。

この被覆の下では、モジュラー群 PSL(2, Z )の逆像は、3 つの生成元B _3上のブレイド群であり、これはモジュラー群の普遍的中心拡大です。これらは関連する代数群内の格子であり、これは位相幾何学における普遍被覆群に代数的に対応します。

2重被覆群はメタプレクティック群Mp(2, R )として識別でき、SL(2, R )をシンプレクティック群Sp(2, R )と考えることができる。

前述のグループを合わせると、一連のシーケンスが形成される。

$\displaystyle {\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )}}\to \cdots \to \mathrm {Mp} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ).}$

しかし、n Z < Z ≅ π ₁ (PSL(2 , R ))のように、すべてのnに対応する PSL(2, R ) の他の被覆群が存在し、これらは可除性によって被覆群の格子を形成します。これらの被覆群は、 nが偶数の場合に限りSL(2, R )を覆います。

SL(2, R ) の中心は2 要素群 {±1} であり、商群PSL(2, R ) は単純である。

PSL(2, R ) の離散部分群はフックス群と呼ばれます。これらは、ユークリッドの壁紙群やフリーズ群の双曲版です。最も有名なのはモジュラー群PSL(2, Z ) で、これは双曲平面を理想三角形で敷き詰めた空間に作用します。

円群SO(2)はSL(2, R ) の極大コンパクト部分群であり、円 SO(2) / {±1} は PSL(2, R )の極大コンパクト部分群である。

離散群PSL(2, R )のシュール乗数はZよりはるかに大きく、普遍中心拡大は普遍被覆群よりはるかに大きい。しかし、これらの大きな中心拡大は位相を考慮しておらず、やや異常である。

SL(2, R ) は、実数で非コンパクトな単純リー群であり、複素リー群SL(2, C )の実数分割形式です。SL (2, R )のリー代数(sl(2, R )と表記) は、実数でトレースがゼロの2 × 2 行列の代数です。これは、タイプ VIII のビアンキ代数です。

SL(2, R )の有限次元表現論は、SL(2, C )のコンパクト実形式であるSU(2) の表現論と等価である。特に、SL(2, R ) は非自明な有限次元ユニタリ表現を持たない。これは、連結な単純非コンパクトリー群すべてに共通する特徴である。証明の概要については、「表現の非ユニタリ性」を参照のこと。

SL(2, R )の無限次元表現論は非常に興味深い。この群はいくつかのユニタリ表現の族を持ち、それらはゲルファントとナイマーク(1946)、V. バーグマン(1947)、ハリシュ・チャンドラ(1952) によって詳細に研究された。

• Bargmann, Valentine (1947). 「ローレンツ群の既約ユニタリ表現」. Annals of Mathematics . 48 (3): 568–640 . doi : 10.2307/1969129 . JSTOR 1969129. MR 0021942 .  
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• Harish-Chandra (1952). "2×2 実ユニモジュラー群のプランシュレル公式" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 38 (4): 337– 342. Bibcode : 1952PNAS ... 38..337H . doi : 10.1073 / pnas.38.4.337 . MR 0047055. PMC 1063558. PMID 16589101 .   
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• サーストン、ウィリアム（1997）。シルヴィオ・レヴィ（編）。三次元幾何学とトポロジー。第1巻。プリンストン数学シリーズ。第 35巻。プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-08304-5MR 1435975 .​