解けるリー代数

数学において、リー代数は、 その導来級数が零部分代数で終わるとき、解ける。リー代数の導来リー代数は、 の部分代数であり、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

は、の元のペアのリー括弧のすべての線形結合からなる。導来級数は、部分代数の列である。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...}$

導来級数が最終的に零部分代数に到達する場合、リー代数は可解であると呼ばれる。^{[1]リー代数の導来級数は}群論における交換子部分群の導来級数に類似しており、可解リー代数は可解群の類似物である。

任意のべき零リー代数は当然ながら可解であるが、その逆は真ではない。可解リー代数と半単純リー代数は、レヴィ分解で示されるように、2つの大きく、一般的には相補的なクラスを形成する。可解リー代数は、0から始めて一度に1次元ずつ追加していく半直積から得られるものである。 ^[2]

最大可解な部分代数はボレル部分代数と呼ばれます。リー代数の最大の可解なイデアルは根基と呼ばれます。

を特性0の体上の有限次元リー代数とします。以下は同値です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• (i)は解ける。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• (ii)の随伴表現である は解ける。${\displaystyle {\rm {ad}}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• (iii)のイデアルの有限列が存在する: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0,\quad [{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}\,\,\forall i.}$

• （iv）は冪零である。^[3]${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$
• (v) 次元の場合、の部分代数の有限列が存在する。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{n}=0,\quad \operatorname {dim} {\mathfrak {a}}_{i}/{\mathfrak {a}}_{i+1}=1\,\,\forall i,}$

それぞれが のイデアルである。^[4]このタイプの列は基本列と呼ばれる。${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i+1}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$

• (vi)の部分代数の有限列が存在する。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset ...{\mathfrak {g}}_{r}=0,}$

はにおけるイデアルであり、アーベル的である。^[5]${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i+1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}/{\mathfrak {g}}_{i+1}}$

• (vii) のキリング形式 は、内のすべてのXと内のすべてのYに対して を満たす。^[6]これがカルタンの可解性の基準である。${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle B(X,Y)=0}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

リーの定理は、 が特性 0 の代数的に閉体上の有限次元ベクトル空間であり、 が可解なリー代数であり、 が上の表現である場合、すべての元 に対する自己準同型の同時固有ベクトルが存在することを述べています。^[7]${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle \pi (X)}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

• あらゆるリー部分代数と可解なリー代数の商は可解である。^[8]
• リー代数とその中のイデアルが与えられた場合、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$が解けるのは、 と が両方とも解ける場合のみである。 ^{[8] [2]}${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$

が中心に含まれている限り、同様のことがべき零リー代数にも当てはまります。したがって、べき零代数のべき零代数による拡張は解けますが、べき零代数のべき零代数による中心拡張はべき零です。${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• 解ける非零リー代数は、導出級数の最後の非零項である非零アーベルイデアルを持つ。^[2]
• が可解なイデアルであれば、 も可解です。^[1]したがって、 が有限次元であれば、内のすべての可解なイデアルを含む唯一の可解なイデアルが存在します。このイデアルは の根号です。^[2]${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {r}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• 可解なリー代数は、唯一の最大の冪零イデアルを持ち、これは冪零であるようなすべてのものの集合である冪基数と呼ばれる。Dがの任意の微分である場合、 となる。^[9]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle D({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {n}}}$

リー代数は、から までのイデアルの基本列 {(V) 上記の定義と同じ} を持つ場合、完全に解ける、または分割解けると呼ばれます。有限次元の冪零リー代数は完全に解け、完全に解けるリー代数は解けます。代数的に閉じた体上では、解けるリー代数は完全に解けますが、平面のユークリッド等長変換群の次元の実リー代数は解けますが、完全には解けません。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle 3}$

可解なリー代数が分割可解であるためには、 の固有値が内のすべての に対してとなる必要がある。^[2]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

あらゆるアーベルリー代数は 定義により解ける。なぜならその交換子は であるからである。これには の対角行列のリー代数も含まれ、これは次の形式である。${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}]=0}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&0&0\\0&*&0\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

に対して。任意の 2 つの行列に対して自明な括弧で与えられるベクトル空間上のリー代数構造は別の例を与えます。 ${\displaystyle n=3}$${\displaystyle V}$${\displaystyle [m,n]=0}$${\displaystyle m,n\in {\text{End}}(V)}$

もう一つの例は、随伴表現が解ける冪零リー代数から来ている。いくつかの例には、上対角行列、例えば次のような形式の行列のクラスが含まれる。

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}0&*&*\\0&0&*\\0&0&0\end{bmatrix}}\right\}}$

は、厳密に上三角行列のリー代数と呼ばれます。さらに、上対角行列のリー代数は、解けるリー代数を形成します。これには、次の形式の行列が含まれます。${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

と表記されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$

を次の形式の行列の集合と する。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X=\left({\begin{matrix}0&\theta &x\\-\theta &0&y\\0&0&0\end{matrix}}\right),\quad \theta ,x,y\in \mathbb {R} .}$

するとは解けるが、分割解けない。^[2]これは平面上の並進と回転の群のリー代数と同型である。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

半単純リー代数は 、その根号 （における最大の可解イデアル）が自明であるため、決して解くことができない。^{[1] 11ページ}${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$ ${\displaystyle {\text{Rad}}({\mathfrak {l}})}$${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$

「解ける」という用語は群論における解ける群にも使用されるため、解けるリー群には複数の定義が考えられます。リー群の場合、 ${\displaystyle G}$

• 群の通常の導来系列の終了（抽象群として）${\displaystyle G}$
• 導出級数の閉包の終了。
• 解けるリー代数を持つ

• カルタンの基準
• 殺害形態
• リー＝コルチンの定理
• ソルブマニフォールド
• ディクスミアマッピング

• フルトン、W.、ハリス、J.（1991）。表現理論。最初のコース。数学の大学院テキスト。第129巻。ニューヨーク：シュプリンガー出版社。ISBN 978-0-387-97527-6. MR  1153249。
• ハンフリーズ、ジェームズ E. (1972)。リー代数と表現論入門。数学大学院テキスト。第 9 巻。ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 0-387-90053-5。
• Knapp, AW (2002)。リー群の入門編。Progress in Mathematics。第 120 巻 (第 2 版)。ボストン、バーゼル、ベルリン: Birkhäuser。ISBN 0-8176-4259-5。。
• ジャン・ピエール・セール (2001)。複素半単純リー代数。ベルリン：シュプリンガー。ISBN 3-5406-7827-1。

• EoM 記事 リー代数、解ける
• EoM 記事 リー群、解ける