ユニタリー群と反ユニタリー群の共表現

量子力学では、対称性操作はシステムの解に関する情報を与える上で重要です。通常、これらの操作は、球対称ポテンシャルの回転群SO(3)などの数学的なグループを形成します。これらのグループの表現論は、SO(3) に対してシステムの角運動量ケットベクトルを与える既約表現につながります。

標準的な表現理論では線型演算子を使用します。ただし、時間反転などの物理的に重要な演算子の中には反線型のものもあり、これらを対称群に含めると、ユニタリ演算子と反ユニタリ演算子の両方を含む群になります。

この記事は、これらのグループの表現理論に相当する共表現理論について説明しています。これは主に磁気構造の理論的研究に使用されますが、 CPT 対称性により素粒子物理学にも関連しています。基本的な結果、通常の表現理論との関係、およびアプリケーションに関する参考文献を示します。

ユージン・ウィグナー^[1]は、ハミルトニアンの対称操作Sが量子力学ではユニタリー演算子S = U、または反ユニタリー演算子S = UK（Uはユニタリー、Kは複素共役を表す）のいずれかで表されることを示した。反ユニタリー演算子は、量子力学では時間反転演算子

対称操作の集合（ユニタリーと反ユニタリーの両方）が群を形成する場合、それは一般に磁気群として知られており、これらの多くは磁気空間群で記述されます。

ユニタリ演算子のグループは、グループ表現によって表すことができます。反ユニタリ演算子が存在するため、これはウィグナーの共表現理論に置き換える必要があります。^[1]

G を、指数 2 の部分群 H を持つ群とします。共表現は、複素数上のベクトル空間上の作用素の群への準同型であり、H 内のすべてのuに対してuの像は線型作用素であり、剰余類 GH 内のすべてのaに対してaの像は反線型です (ただし、'*' は複素共役を意味します)。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall u\in H,D(u)(a{\bf {x}}+b{\bf {y}})=a\times D(u){\bf {x}}+b\times D(u){\bf {y}}\\&\forall a\in GH,D(a)(a{\bf {x}}+b{\bf {y}})=a^{*}\times D(a){\bf {x}}+b^{*}\times D(a){\bf {y}}\end{aligned}}}$

これは準同型なので

${\displaystyle {\begin{aligned}&D(u_{1}u_{2})=D(u_{1})D(u_{2})\\&D(ua)=D(u)D(a)\\&D(au)=D(a)D(u)^{*}\\&D(a_{1}a_{2})=D(a_{1})D(a_{2})^{*}\end{aligned}}}$

2つの共表現は、行列Vが存在する場合、同等である。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall u,D'(u)=VD(u)V^{-}1\\&\forall a,D'(a)=VD(a)V^{*-1}\end{aligned}}}$

表現と同様に、コア表現は、コア表現の演算に対して適切な部分空間不変量がある場合に、簡約可能です。コア表現が行列で与えられる場合、各行列がブロック対角形式のコア表現と同等であれば、簡約可能です。

共表現が簡約可能でない場合、それは既約不可能です。

複素数上の既約表現に対するシュアーの補題は、行列が表現のすべての行列と可換である場合、その行列は単位行列の（複素）倍数である、つまり、可換行列の集合は複素数 と同型である、ということを述べています。既約共表現に対するシュアーの補題に相当するのは、可換行列の集合が、または四元数と同型であるということです。^[2]実数上の絡み合い数 [1] を使用すると、これは 1、2、または 4 の絡み合い数として表すことができます。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

典型的には、既約共表現は線型部分群 H の既約表現と関連している。 ^{[1] [2] [3] [4] を線型部分群}Hの既約（通常）表現とする。これらの各演算子の指標の2乗のすべての反線型演算子の和を形成する。 ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle S=\sum _{a}\chi _{\Delta }(a^{2})}$

任意の要素に対して設定します。 ${\displaystyle P=D(a_{0})}$${\displaystyle a_{0}}$

クラックネルとブラッドリーの性格テスト7.3.51によって区別される3つのケースがあります。^[5]

タイプ(a)

S = | H | （絡み合う数が1）の場合、 Dは、${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&D(u)=\Delta (u)\\&D(a)=D(aa_{0}^{-1}a_{0})=\Delta (aa_{0})P\end{aligned}}}$

タイプ(b)

S = -| H | （絡み合う数は4）の場合、Dは2つの「コピー」から形成される既約表現である。${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&D(u)={\begin{pmatrix}\Delta (u)&0\\0&\Delta (u)\end{pmatrix}}\\&D(a)={\begin{pmatrix}0&\Delta (aa_{0}^{-1})P\\-\Delta (aa_{0}^{-1})P&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

タイプ(c)

S = 0（絡み合う数が2）の場合、 Dは2つの同値でない表現から形成される既約なコア表現であり、${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta '}$${\displaystyle \Delta '(u)=\Delta (a_{0}^{-1}ua_{0})^{*}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&D(u)={\begin{pmatrix}\Delta (u)&0\\0&\Delta (a_{0}^{-1}ua_{0})^{*}\end{pmatrix}}\\&D(a)={\begin{pmatrix}0&\Delta (aa_{0})\\\Delta (a_{0}^{-1}a)^{*}&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

CracknellとBradley ^[5]は、これらを使用して磁気点群のコア表現を構築する方法を示しており、一方CracknellとWong ^[6]は、二重磁気群のより明確な表を示しています。

有限群の標準的な表現理論には、行と列の直交性を持つ正方特性表がある。共役類の定義と絡み合い数の使用が若干異なるが、有限磁気群のコア表現にも同様の直交性を持つ正方特性表が存在する。^[2]

この文字表に基づいて、表現理論を反映した文字理論が開発されました。^[7]

• Mock, A. (2016). 「Heesh-Shubnikov 群理論を用いたフォトニック格子のパリティ時間対称性の特性評価」. Optics Express . 24 (20): 22693–22707. arXiv : 1606.05044 . Bibcode :2016OExpr..2422693M. doi :10.1364/OE.24.022693. PMID  27828339. S2CID  24476384.
• Schweiser, J. (2005). 「磁気構造理論の表現解析における時間反転」CR Physique 6 : 375–384. doi :10.1016/j.crhy.2005.01.009.
• Angeloval, MN; Boyle, LL (2005). 「磁気空間群の既約共表現の分類と列挙について」. Journal of Physics A: Mathematical and General . 29 (5): 993–1010. doi :10.1088/0305-4470/29/5/014.
• Scurek, R. (2004). 「素粒子物理学における CPT グループの理解: 標準的および非標準的表現」Am. J. Phys . 75 (5): 638–643. Bibcode :2004AmJPh..72..638S. doi :10.1119/1.1629087.