シーゲルモジュラー形式

数学において、シーゲル・モジュラー形式は保型形式の主要なタイプである。これらは、楕円曲線と密接に関連している従来の楕円 モジュラー形式を一般化する。シーゲル・モジュラー形式の理論で構築される複素多様体は、シーゲル・モジュラー多様体であり、アーベル多様体（何らかの追加レベル構造を持つ）のモジュライ空間がどうあるべきかの基本モデルであり、離散群による上半平面ではなくシーゲル上半空間の商として構築される。

シーゲル・モジュラー形式は、正定虚数部を持つ対称n × n行列の集合上の正則関数です。この形式は自己同型条件を満たす必要があります。シーゲル・モジュラー形式は、多変数モジュラー形式、つまり複数の複素変数の特殊関数として考えることができます。

シーゲル・モジュラー形式は、カール・ルートヴィヒ・シーゲル（1939）が、2次形式を解析的に 研究する目的で初めて研究した。これらは主に、数論幾何学や楕円コホモロジーなど、数論のさまざまな分野で登場する。シーゲル・モジュラー形式は、共形場理論や弦理論におけるブラックホール熱力学など、物理学のいくつかの分野でも使用されている。

と定義する ${\displaystyle g,N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}=\left\{\tau \in M_{g\times g}(\mathbb {C} )\ {\big |}\ \tau ^{\mathrm {T} }=\tau ,{\textrm {Im}}(\tau ){\text{ 正定値}}\right\},}$

シーゲル上半空間。レベルのシンプレクティック群を次のよう に定義する。${\displaystyle N}$${\displaystyle \Gamma _{g}(N),}$

${\displaystyle \Gamma _{g}(N)=\left\{\gamma \in GL_{2g}(\mathbb {Z} )\ {\big |}\ \gamma ^{\mathrm {T} }{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}},\ \gamma \equiv I_{2g}\mod N\right\},}$

ここで は単位行列です。最後に、 ${\displaystyle I_{g}}$${\displaystyle g\times g}$

${\displaystyle \rho :{\textrm {GL}}_{g}(\mathbb {C} )\rightarrow {\textrm {GL}}(V)}$

は有理数表現であり、有限次元複素ベクトル空間です。 ${\displaystyle V}$

与えられた

${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

そして

${\displaystyle \gamma \in \Gamma _{g}(N),}$

表記法を定義する

${\displaystyle (f{\big |}\gamma )(\tau )=(\rho (C\tau +D))^{-1}f(\gamma \tau ).}$

すると、正則関数

${\displaystyle f:{\mathcal {H}}_{g}\rightarrow V}$

は、次数（種数と呼ばれることもある）、重み、およびレベルのシーゲルモジュラー形式である。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle (f{\big |}\gamma )=f}$

すべての に対して が成り立ちます。 の場合、さらに が「無限遠で」正則であることが必要です。 この仮定は、以下で説明するケッチャー原理により には不要です。 重み、次数、レベル のシーゲルモジュラー形式の空間を で 表します。${\displaystyle \gamma \in \Gamma _{g}(N)}$${\displaystyle g=1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g>1}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle g}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle M_{\rho }(\Gamma _{g}(N)).}$

シーゲルモジュラー形式を構築する方法には次のようなものがあります。

• エイゼンシュタインシリーズ
• 格子のシータ関数とシーゲルシータ級数
• 2次方程式の斎藤・黒川リフト
• 池田リフト
• 宮脇リフト
• シーゲルモジュラーフォームの製品。

次数 1 の場合、レベル 1 の Siegel モジュラー形式はレベル 1 のモジュラー形式と同じです。このような形式の環は、(次数 1) アイゼンシュタイン級数E ₄とE _{6の多項式環}C [ E ₄ , E ₆ ] です。

次数 2 については、(Igusa 1962、1967) は、レベル 1 の Siegel モジュラー形式の環が、(次数 2) アイゼンシュタイン級数E ₄とE ₆および重み 10、12、35 の 3 つの形式によって生成されることを示した。それらの間の関係のイデアルは、重み 35 形式の平方から他の形式の特定の多項式を引いたものによって生成される。

3 次については、Tsuyumine (1986) がレベル 1 の Siegel モジュラー形式の環を記述し、34 個の生成元のセットを与えました。

次数 4 では、小さな重みのレベル 1 シーゲル モジュラー形式が見つかりました。重み 2、4、6 のカスプ形式はありません。重み 8 のカスプ形式の空間は 1 次元で、ショットキー形式によって張られます。重み 10 のカスプ形式の空間は次元 1、重み 12 のカスプ形式の空間は次元 2、重み 14 のカスプ形式の空間は次元 3、重み 16 のカスプ形式の空間は次元 7 です (Poor & Yuen 2007) 。 harv エラー: ターゲットがありません: CITEREFPoorYuen2007 (ヘルプ)

次数 5 の場合、カスプ形式の空間は、重み 10 では次元 0、重み 12 では次元 2 になります。重み 12 の形式の空間は次元 5 になります。

次数 6 の場合、重み 0、2、4、6、8 のカスプ形式は存在しません。重み 2 のシーゲル モジュラー形式の空間は次元 0 を持ち、重み 4 または 6 の空間は両方とも次元 1 を持ちます。

小さな重みとレベル 1 の場合、Duke & Imamoḡlu (1998) は次の結果を示しています (任意の正の次数について)。

• 重み 0: フォームの空間は 1 次元で、1 で広がります。
• 重み 1: 唯一のシーゲルモジュラー形式は 0 です。
• 重み 2: 唯一のシーゲルモジュラー形式は 0 です。
• 重み 3: 唯一のシーゲルモジュラー形式は 0 です。
• _{重み 4: 任意の次数に対して、重み 4 の形式の空間は 1 次元であり、E 8}格子 (適切な次数)のシータ関数によって張られます。唯一のカスプ形式は 0 です。
• 重み 5: 唯一のシーゲルモジュラー形式は 0 です。
• 重み 6: 重み 6 の形式の空間は、次数が最大 8 の場合は次元 1 を持ち、次数が最小 9 の場合は次元 0 を持ちます。唯一のカスプ形式は 0 です。
• 重み 7: 次数が 4 または 7 の場合、尖端形式の空間は消滅します。
• 重み 8: 種数 4 では、カスプ形式の空間は 1 次元で、ショットキー形式によって張られ、形式の空間は 2 次元です。種数が 8 の場合、カスプ形式は存在しません。
• 属が重量の 2 倍を超える場合、尖頭形は存在しません。

次の表は、上記の結果と、Poor & Yuen (2006) 、Chenevier & Lannes (2014)、Taïbi (2014) の情報を組み合わせたものです。 harvtxt エラー: ターゲットがありません: CITEREFPoorYuen2006 (ヘルプ)

ケッチャー原理として知られる定理は、が重み、レベル 1、次数のシーゲルモジュラー形式である場合、 は形式の の 部分集合に有界であることを述べています。${\displaystyle f}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle g>1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$

${\displaystyle \left\{\tau \in {\mathcal {H}}_{g}\ |{\textrm {Im}}(\tau )>\epsilon I_{g}\right\},}$

ここで、この定理の系は、次数のシーゲルモジュラー形式がフーリエ展開を持ち、したがって無限遠で正則であるという事実である。 ^[1]${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle g>1}$

弦理論における超対称ブラックホールのD1D5P系では、ブラックホールのエントロピーのミクロ状態を自然に捉える関数はシーゲルモジュラー形式である。^[2]一般的に、シーゲルモジュラー形式はブラックホールや他の重力系を記述する可能性があると説明されている。^[2]

シーゲルモジュラー形式は共形場理論、特に仮想的なAdS/CFT対応において中心電荷が増加するCFT2族の生成関数としても用いられる。^[3]

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