ヒルベルトモジュラー形式

数学において、ヒルベルト モジュラー形式は、モジュラー形式を2 つ以上の変数の関数に一般化したものです。これは、ある種の関数方程式を満たす上半平面のm重積上の(複素)解析関数です。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

F を有理体上の次数mの実数体とする。Fの実埋め込みをとする。それらを通して写像が得られる。 ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{m}}$

${\displaystyle GL_{2}(F)\to GL_{2}(\mathbb {R} )^{m}.}$

をFの整数環とする。この群は完全ヒルベルトモジュラー群と呼ばれる。すべての元に対して、次のように定義される群作用が存在する。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$${\displaystyle GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{m})\in {\mathcal {H}}^{m}}$${\displaystyle GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$${\displaystyle \gamma \cdot z=(\sigma _{1}(\gamma )z_{1},\ldots ,\sigma _{m}(\gamma )z_{m})}$

のために

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in GL_{2}(\mathbb {R} ),}$

定義する：

${\displaystyle j(g,z)=\det(g)^{-1/2}(cz+d)}$

ヒルベルトの重みのモジュラー形式は、任意の${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{m})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$${\displaystyle \gamma \in GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$

${\displaystyle f(\gamma z)=\prod _{i=1}^{m}j(\sigma _{i}(\gamma ),z_{i})^{k_{i}}f(z).}$

モジュラー形式の場合とは異なり、ケッチャーの原理により、尖点には追加の条件は必要ありません。^{[疑わしい–議論する]}

実二次体に対するこれらのモジュラー形式は、1901 年にオットー ブルーメンタールがゲッティンゲン大学の 学位論文で初めて扱われました。そこで彼は、ダヴィド ヒルベルトが1893 年から 1894 年にかけての未発表の研究で最初にこれらを検討していたと述べています。ブルーメンタールの研究は 1903 年に発表されました。このため、ヒルベルト モジュラー形式は現在ではヒルベルト-ブルーメンタール モジュラー形式と呼ばれることがよくあります。

この理論は数十年間眠ったままだった。エーリヒ・ヘッケは初期の研究でこの理論を取り上げていたが、ヒルベルト・モジュラー形式への大きな関心は複素多様体理論の発展を待っていた。

• シーゲルモジュラー形式
• ヒルベルトモジュラー面

• Jan H. Bruinier:ヒルベルトモジュラー形式とその応用。
• ポール・B・ギャレット：正則ヒルベルト・モジュラー形式。ワズワース＆ブルックス/コール・アドバンスト・ブックス＆ソフトウェア、パシフィック・グローブ、カリフォルニア州、1990年。ISBN 0-534-10344-8 
• Eberhard Freitag :ヒルベルトのモジュラー形式。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-50586-5