リー代数表現

数学の表現論の分野において、リー代数表現またはリー代数の表現は、リー括弧が交換子によって与えられるような方法で、リー代数を行列の集合（またはベクトル空間の自己準同型）として記述する方法である。物理学の言語では、角運動量演算子によって満たされる関係など、いくつかの固定された交換関係の集合を満たす演算子の集合とともにベクトル空間を探します。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

この概念は、リー群の表現の概念と密接に関連しています。大まかに言えば、リー代数の表現はリー群の表現の微分形式であり、リー群の普遍被覆の表現はそのリー代数の表現の積分形式です。

リー代数の表現の研究では、リー代数に関連付けられた普遍包絡代数と呼ばれる特定の環が重要な役割を果たします。この環の普遍性は、リー代数の表現のカテゴリがその包絡代数上の加群のカテゴリと同じであることを意味します。

をリー代数、をベクトル空間とする。を の自己準同型空間、つまり のそれ自身へのすべての線型写像の空間と表記する。ここで、結合代数は、内のすべてのs,tに対して、交換子によって与えられる括弧付きのリー代数に変換される。すると、上のの表現は、リー代数準同型である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$${\displaystyle [s,t]=s\circ t-t\circ s}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$。

明示的には、これは線形写像であり、 ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho ([X,Y])=\rho (X)\rho (Y)-\rho (Y)\rho (X)}$

内のすべてのX、Yに対して成り立ちます。ベクトル空間Vは、表現ρとともに-モジュールと呼ばれます。(多くの著者は用語を乱用し、V自体を表現と呼んでいます)。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

表現が単射である場合、 その表現は忠実であると言われます。${\displaystyle \rho }$

同様に、ベクトル空間Vと双線型写像として -モジュールを定義することもできる。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times V\to V}$

${\displaystyle [X,Y]\cdot v=X\cdot (Y\cdot v)-Y\cdot (X\cdot v)}$

すべてのX,YおよびVのすべてのvに対して。これは、 X ⋅ v = ρ ( X )( v )と設定することにより、前の定義と関連しています。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

リー代数表現の最も基本的な例は、リー代数のそれ自身の 随伴表現です。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad X\mapsto \operatorname {ad} _{X},\quad \operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y].}$

実際、ヤコビ恒等式により、はリー代数準同型になります。 ${\displaystyle \operatorname {ad} }$

リー代数表現は自然界にも存在する。G → H が（実または複素）リー群の準同型であり、およびがそれぞれ G と H のリー代数である場合、恒等式における接空間上の微分はリー代数準同型である。特に、有限次元ベクトル空間Vに対して、リー群の表現${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle d_{e}\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \phi :G\to \operatorname {GL} (V)\,}$

リー代数準同型を決定する

${\displaystyle d\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$

から一般線型群GL( V )のリー代数、すなわちVの自己準同型代数へ。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

たとえば、 とします。すると、 の恒等微分はの元になります。これを で表すと、ベクトル空間 上のGの表現が得られます。これはGの随伴表現です。前述を適用すると、リー代数表現 が得られます。の随伴表現 であることが示されます。 ${\displaystyle c_{g}(x)=gxg^{-1}}$${\displaystyle c_{g}:G\to G}$${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \operatorname {Ad} (g)}$${\displaystyle \operatorname {Ad} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle d\operatorname {Ad} }$${\displaystyle d_{e}\operatorname {Ad} =\operatorname {ad} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

この命題の部分的な逆は、有限次元（実数または複素数）リー代数のあらゆる表現は、関連する単連結リー群の一意の表現に持ち上げられ、そのため単連結リー群の表現はそれらのリー代数の表現と一対一に対応するということを言う。^[1]

量子論では、ヒルベルト空間上の自己随伴演算子である「観測可能量」を考慮する。これらの演算子間の交換関係は重要なツールとなる。例えば、 角運動量演算子は交換関係を満たす。

${\displaystyle [L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z},\;\;[L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x},\;\;[L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y},}$。

したがって、これら 3 つの演算子の範囲はリー代数を形成し、これは回転群 SO(3) のリー代数 so(3)と同型です。^[2]すると、角運動量演算子に対して不変な量子ヒルベルト空間の任意の部分空間が である場合、それはリー代数 so(3) の表現を構成します。 so(3) の表現論を理解することは、たとえば、水素原子などの回転対称性を持つハミルトニアンの解析に非常に役立ちます。量子物理学の他の分野では、他の多くの興味深いリー代数 (およびその表現) が発生します。実際、表現論の歴史は、数学と物理学の豊かな相互作用によって特徴付けられます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

リー代数 の表現が与えられたとき、の部分空間は、すべてのおよびに対して不変であると言えます。非ゼロ表現は、不変部分空間がそれ自体とゼロ空間のみである場合、既約であると言えます。単純モジュールという用語は、既約表現にも使用されます。 ${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow \operatorname {End} (V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho (X)w\in W}$${\displaystyle w\in W}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \{0\}}$

をリー代数とする。V 、Wを-加群とする。線型写像は、それが -同変である場合、つまり任意の に対して である場合、 -加群の準同型である。fが全単射である場合、は同値であると言われる。このような写像は、絡み合い写像または射とも呼ばれる。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle f:V\to W}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle f(X\cdot v)=X\cdot f(v)}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}},\,v\in V}$${\displaystyle V,W}$

同様に、サブモジュール、商、サブ商、直和、ジョルダン・ヘルダー級数など、抽象代数のモジュール理論からの他の多くの構成もこの設定に引き継がれます。

既約表現を研究するための単純だが便利なツールは、シューアの補題である。シューアの補題は2つの部分から構成される: ^[3]

• V、Wが既約- 加群であり、 が準同型である場合、 はゼロまたは同型のいずれかになります。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle f:V\to W}$${\displaystyle f}$
• V が代数的に閉じた体上の既約な - 加群であり準同型である場合、 は単位元 のスカラー倍です。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle f:V\to V}$${\displaystyle f}$

V をリー代数の表現とします。このとき、 Vが既約表現の直和に同型である場合、Vは完全約可能（または半単純）であると言われます（半単純モジュールを参照）。Vが有限次元の場合、Vが完全に約可能であるのは、 Vのすべての不変部分空間に不変補空間がある場合のみです。（つまり、Wが不変部分空間である場合、 V がWとPの直和となるような別の不変部分空間Pが存在します。） ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

が特性ゼロの体上の有限次元半単純リー代数であり、 Vが有限次元である場合、V は半単純である。これはワイルの完全還元定理である。^[4]したがって、半単純リー代数の場合、既約な（つまり単純な）表現の分類は、すべての表現の分類に直ちにつながる。この特別な性質を持たない他のリー代数の場合、既約な表現を分類しても、一般的な表現の分類にはあまり役立たない可能性がある。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

リー代数は、随伴表現が半単純である場合に簡約的であると言われます。確かに、すべての (有限次元) 半単純リー代数は簡約的です。なぜなら、先ほど述べたように、 のすべての表現は完全に簡約可能だからです。逆に言えば、簡約リー代数の定義は、非自明なサブイデアルを持たないイデアル (つまり、随伴表現の不変サブスペース) の直和として分解されることを意味します。これらのイデアルの一部は 1 次元で、残りは単純リー代数です。したがって、簡約リー代数は、可換代数と半単純代数の直和です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Vの元v は、すべての に対してである場合に -不変であるといわれます。すべての不変元の集合は と表されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle x\cdot v=0}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V^{\mathfrak {g}}}$

リー代数の2つの表現があり、その基礎ベクトル空間がV ₁とV ₂である場合、表現のテンソル積は基礎ベクトル空間としてV ₁ ⊗ V ₂を持ち、 の作用は次の仮定によって一意に決定される。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X\cdot (v_{1}\otimes v_{2})=(X\cdot v_{1})\otimes v_{2}+v_{1}\otimes (X\cdot v_{2}).}$

すべておよびについて。 ${\displaystyle v_{1}\in V_{1}}$${\displaystyle v_{2}\in V_{2}}$

準同型の言語では、これは次の式で 定義されることを意味する。${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V_{1}\otimes V_{2})}$

${\displaystyle (\rho _{1}\otimes \rho _{2})(X)=\rho _{1}(X)\otimes \mathrm {I} +\mathrm {I} \otimes \rho _{2}(X)}$^[5]これはとのクロネッカー和と呼ばれ、行列の加算#クロネッカー和とクロネッカー積#特性、より具体的には表現のテンソル積で定義されています。${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle \rho _{2}}$

物理学の文献では、テンソル積と恒等演算子はしばしば表記法で省略され、次のように表される。

${\displaystyle (\rho _{1}\otimes \rho _{2})(X)=\rho _{1}(X)+\rho _{2}(X)}$、

ここで、 はテンソル積の最初の因子に作用し、 はテンソル積の 2 番目の因子に作用することが理解されます。リー代数 su(2) の表現のコンテキストでは、表現のテンソル積は「角運動量の加算」と呼ばれます。このコンテキストでは、たとえば は軌道角運動量であり、 はスピン角運動量です。 ${\displaystyle \rho _{1}(x)}$${\displaystyle \rho _{2}(x)}$${\displaystyle \rho _{1}(X)}$${\displaystyle \rho _{2}(X)}$

をリー代数とし、をの表現とする。を の双対空間、つまり 上の線型関数の空間とする。すると、表現を次の式で 定義できる。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho ^{*}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V^{*})}$

${\displaystyle \rho ^{*}(X)=-(\rho (X))^{\operatorname {tr} },}$

ここで、任意の演算子 に対して、転置演算子 は「演算子との合成」として定義されます。 ${\displaystyle A:V\rightarrow V}$${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle (A^{\operatorname {tr} }\phi )(v)=\phi (Av)}$

の定義におけるマイナス記号は、恒等式に照らして、が実際に の表現であることを保証するために必要である。${\displaystyle \rho ^{*}}$${\displaystyle \rho ^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle (AB)^{\operatorname {tr} }=B^{\operatorname {tr} }A^{\operatorname {tr} }.}$

基底で作業する場合、上記の定義の転置は通常の行列転置として解釈できます。

を - 加群、リー代数とします。すると はと設定することにより - 加群になります。特に 、つまり からへの - 加群準同型は、への先ほど定義された の作用の下で不変である の要素に過ぎません。 を基本体とすると、前の節で示したへの の作用が復元されます。 ${\displaystyle V,W}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle (X\cdot f)(v)=Xf(v)-f(Xv)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(V,W)=\operatorname {Hom} (V,W)^{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V^{*}}$

半単純リー代数の表現論を参照してください。

体k上の各リー代数に、の普遍包絡代数と呼ばれる特定の環を関連付けることができ、 と表記されます。普遍包絡代数の普遍的性質により、 のあらゆる表現がの表現を生み出すことが保証されます。逆に、PBW 定理によれば、 は の内部にあるため、 のあらゆる表現はに制限できます。したがって、 の表現と の表現の間には 1 対 1 の対応があります。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

普遍包絡代数は、上で述べた半単純リー代数の表現論において重要な役割を果たしている。具体的には、有限次元既約表現はバーマ加群の商として構成され、バーマ加群は普遍包絡代数の商として構成される。^[6]

の構成は次の通りである。^[7] T をベクトル空間 のテンソル代数とする。したがって、定義により、 となり、その乗法は で与えられる。を、形式の元によって生成されるイデアルによる Tの商環とする。${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle T=\oplus _{n=0}^{\infty }\otimes _{1}^{n}{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle [X,Y]-(X\otimes Y-Y\otimes X)}$。

の商写像を1 次に制限することで、 から への自然な線型写像が得られます。PBW定理は、標準写像が実際には単射であることを意味します。したがって、すべてのリー代数は、の括弧がで与えられるような方法で結合代数に埋め込むことができます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle T\to U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle A=U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$${\displaystyle A}$

がアーベルである場合、 はベクトル空間 の対称代数です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

は随伴表現を介して自分自身の加群となるため、包絡代数は随伴表現を拡張することで -加群になります。しかし、左と右の正規表現を使用して包絡代数を-加群にすることもできます。つまり、 という表記を使用すると、マッピングは上の の表現を定義します。右の正規表現も同様に定義されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle l_{X}(Y)=XY,X\in {\mathfrak {g}},Y\in U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle X\mapsto l_{X}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

を特性ゼロの体と部分代数上の有限次元リー代数とする。は右から作用するため、任意の- 加群Wに対して左- 加群を形成することができる。 これは、 で表され、Wによって誘導される - 加群と呼ばれる - 加群である。 これは、任意の- 加群Eに対して、次の普遍的性質を満たす（そして実際にそれによって特徴付けられる）。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {h}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {h}})}W}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W,E)\simeq \operatorname {Hom} _{\mathfrak {h}}(W,\operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}E)}$。

さらに、は - 加群のカテゴリから- 加群のカテゴリへの正確な関手です。これらは、が 上の自由右加群であるという事実を利用しています。特に、が単純 (または絶対的に単純) である場合、W は単純 (または絶対的に単純) です。ここで、加群Vが絶対的に単純であるのは、が任意の体拡大 に対して単純である場合です。 ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {h}})}$${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V\otimes _{k}F}$${\displaystyle F/k}$

帰納法は推移的です: 任意のリー部分代数および任意のリー部分代数に対して。帰納法は制限付きで可換です:を部分代数 とし、のイデアルがに含まれるものとします。および と設定します。すると となります。 ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\simeq \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h'}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {h'}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h'}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {h}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {n}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}={\mathfrak {h}}/{\mathfrak {n}}}$${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}\simeq \operatorname {Res} _{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h_{1}}}^{\mathfrak {g_{1}}}}$

を特性 0 の体上の有限次元半単純リー代数とします。(可解または冪零の場合、包絡代数の 原始イデアルを研究します。決定的な説明については Dixmier を参照してください。)${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

上の（おそらく無限次元の）加群のカテゴリは、特にホモロジー代数の手法にとって有用であるには大きすぎることが判明しました。より小さなサブカテゴリO が、特性が 0 の半単純なケースの表現論にとってより適していることが認識されました。たとえば、カテゴリ O は、有名な BGG 相互性を定式化するのに適切なサイズであることが判明しました。^[要出典]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

リー代数表現の最も重要な応用の 1 つは、実簡約リー群の表現論への応用です。この応用は、 が、たとえば連結した実半単純線型リー群Gのヒルベルト空間表現である場合、複素化と連結した最大コンパクト部分群Kという 2 つの自然な作用を持つという考えに基づいています。の -モジュール構造により、代数的、特にホモロジー的手法を適用することができ、-モジュール構造により、連結したコンパクト半単純リー群の場合と同様の方法で調和解析を実行できます。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle K}$

リー超代数Lがある場合、代数上のLの表現は(必ずしも結合的ではない) Z ₂次数 代数 Aであり、これはLをZ ₂ 次数ベクトル空間として表現したもので、さらにLの要素はA上の微分/反微分として機能します。

より具体的には、HがLの純粋元であり、xとyがAの純粋元である場合、

H [ xy ] = ( H [ x ]) y + (−1) ^xH x ( H [ y ])

また、Aが単位である場合、

H [1] = 0

さて、リー代数の表現の場合、すべての次数と (−1) をいくつかのべき乗係数に単純に削除します。

リー（超）代数は代数であり、それ自身の随伴表現を持ちます。これは代数上の表現です。（反）微分特性は超ヤコビ恒等式です。

ベクトル空間が結合代数とリー代数の両方であり、リー代数のそれ自身の上の随伴表現が代数上の表現である（つまり、結合代数構造に微分によって作用する）場合、それはポアソン代数である。リー超代数に対する同様の観察は、ポアソン超代数の概念を与える。

• リー群の表現
• 重み（表現理論）
• 完全還元性に関するワイルの定理
• ルートシステム
• ワイル指標式
• 連結コンパクトリー群の表現論
• ホワイトヘッドの補題（リー代数）
• カジダン・ルスティグ予想
• キレンの補題- シューアの補題の類似

• Bernstein IN、Gelfand IM、Gelfand SI、「最高重みのベクトルによって生成される表現の構造」、Functional. Anal. Appl. 5 (1971)
• ディクスミア、J. (1977)、Enveloping Algebras、アムステルダム、ニューヨーク、オックスフォード：ノースホランド、ISBN 0-444-11077-1。
• A. Beilinson および J. Bernstein、「Localisation de g-modules」、Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、Série I、vol. 292、iss。 1、15-18ページ、1981年。
• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA (1990)。A. van Groesen; EM de Jager (編)。有限次元および無限次元リー代数と物理学への応用。数理物理学の研究。第 1 巻。北ホラント。ISBN 0-444-88776-8。
• バウアーレ、GGA;デ・カーフ、EA;テン・クルード、APE (1997)。 A.ファン・グローセン。 EM デ・イェーガー (編)。有限次元および無限次元のリー代数とその物理学への応用。数理物理学の研究。 Vol. 7. 北オランダ。ISBN 978-0-444-82836-1– ScienceDirect経由。
• フルトン、W.、ハリス、J.（1991）。表現理論。最初のコース。数学の大学院テキスト。第129巻。ニューヨーク：シュプリンガー出版社。ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249。
• D. ゲイツゴリー、幾何学的表現理論、数学 267y、2005 年秋
• ホール、ブライアン C. (2013)、「数学者のための量子理論」、Graduate Texts in Mathematics、第 267 巻、Springer、ISBN 978-1461471158
• ホール、ブライアン C. (2015)、リー群、リー代数、および表現: 初等入門、Graduate Texts in Mathematics、第 222 巻 (第 2 版)、Springer、ISBN 978-3319134666
• ロスマン、ウルフ（2002）、リー群 - 線型群による入門、オックスフォード大学院数学テキスト、オックスフォードサイエンス出版、ISBN 0-19-859683-9
• 堀田良史、竹内清、谷崎俊之、Dモジュール、倒錯層、表現理論;武内清訳
• ハンフリーズ、ジェームズ（1972）、リー代数と表現論入門、Graduate Texts in Mathematics、第9巻、Springer、ISBN 9781461263982
• ジェイコブソン、ネイサン（1979）[1962]。リー代数。ドーバー。ISBN 978-0-486-63832-4。
• ギャレット・バーコフ、フィリップ・M・ホイットマン(1949)。「ジョーダン代数とリー代数の表現」(PDF)。アメリカ数学会誌 65 :116–136。doi : 10.1090/ s0002-9947-1949-0029366-6。
• Kirillov, A. (2008). リー群とリー代数入門. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 第 113 巻. Cambridge University Press. ISBN 978-0521889698。
• ナップ、アンソニー W. (2001)、半単純群の表現理論。例に基づく概要。プリンストン数学ランドマーク、プリンストン大学出版、ISBN 0-691-09089-0（SL(2, C )の基本的な扱い）
• ナップ、アンソニー W. (2002)、リー群の超越と入門（第 2 版）、バークハウザー

• Ben-Zvi, David; Nadler, David (2012). 「Harish-Chandra 中心上の Beilinson-Bernstein 局在」. arXiv : 1209.0188v1 [math.RT].