離散群

数学において、位相群 G は、その中に極限点が存在しない（つまり、 G内の各元に対して、その元だけを含む近傍が存在する）場合、離散群と呼ばれる。同様に、群G が離散的であるためには、その恒等元が孤立している必要がある。^[1]

位相群Gの部分群 Hは、H がGからの部分空間位相を与えられたときに離散的である場合に離散部分群と呼ばれます。言い換えると、 GにはHの他の要素を含まない単位元の近傍が存在します。たとえば、整数Zは実数Rの離散部分群を形成します(標準計量位相を持つ) が、有理数Qは離散部分群を形成しません。

どのような群も離散位相を付与することができ、離散位相群になります。離散空間からの写像はすべて連続 であるため、離散群間の位相準同型は、基礎群間の群準同型とまったく同じです。したがって、群のカテゴリと離散群のカテゴリの間には同型が存在します。したがって、離散群は、その基礎 (非位相的) 群と同一視できます。

位相群またはリー群に、自然に反して離散位相が備わっていることが便利な場合もあります。これは、たとえばボーアのコンパクト化の理論や、リー群の 群コホモロジー理論で発生します。

離散等長変換群は、距離空間のすべての点に対して、等長変換の下の点の像の集合が離散集合となるような等長変換群です。離散対称群は、離散等長変換群である対称群です。

位相群は同次なので、位相群が離散的かどうかを判断するには、1 つの点を見るだけで十分です。特に、位相群が離散的となるのは、単位元を含む単一点が開集合である場合のみです。

離散群は、ゼロ次元リー群と同じものです(非可算離散群は第二可算ではないため、リー群にこの特性を要求する著者は、これらの群をリー群とは見なしません)。離散群の恒等成分は単なる自明な部分群ですが、成分の群は群自体と同型です。

有限集合上の唯一のハウスドルフ位相は離散位相であるため、有限ハウスドルフ位相群は必然的に離散的になります。したがって、ハウスドルフ群のすべての有限部分群は離散的になります。

Gの離散部分群Hがココンパクトであるとは、 HK = GとなるGのコンパクト部分集合Kが存在する場合である。

離散正規部分群は被覆群と局所同型群の理論において重要な役割を果たします。連結群Gの離散正規部分群は必然的にGの中心にあり、したがって可換群です。

その他のプロパティ:

• それぞれのグループは完全に分離されている
• 離散群のすべての部分群は離散的である。
• 離散群の商はすべて離散的である。
• 有限個の離散群の積は離散的である。
• 離散群がコンパクトであるためには、それが有限である必要があります。
• すべての離散群は局所コンパクトです。
• ハウスドルフ群のすべての離散部分群は閉じている。
• コンパクトハウスドルフ群のすべての離散部分群は有限である。

• フリーズ群と壁紙群は、ユークリッド平面の等長群の離散部分群です。壁紙群はココンパクトですが、フリーズ群はココンパクトではありません。
• 結晶群は通常、あるユークリッド空間の等長写像のココンパクトで離散的な部分群を意味します。ただし、結晶群は、冪零または可解なリー群のココンパクトで離散的な部分群である場合もあります。
• すべての三角形群 Tは、球面 ( Tが有限の場合)、ユークリッド平面 ( T が有限の指数のZ  +  Z部分群を持つ場合)、または双曲平面の等長変換群の離散部分群です。
• フックス群は、定義により、双曲平面の等長群の離散部分群です。
  • 向きを保存し、双曲平面の上半平面モデルに作用するフックス群は、双曲平面の上半平面モデルの向きを保存する等長変換の群であるリー群 PSL(2, R ) の離散部分群です。
  • フックス群は、双曲平面を三次元双曲空間に等尺的に埋め込み、平面上の群作用を空間全体に拡張することによって、クライン群の特殊なケースとして考えられることがあります。
  • モジュラー群PSL(2, Z ) は PSL(2, R )の離散部分群として考えられます。モジュラー群は PSL(2, R ) 内の格子ですが、ココンパクトではありません。
• クライン群は、定義により、 3次元双曲空間の等長群の離散部分群です。これには、準フックス群が含まれます。
  • 向きを保存し、双曲3次元空間の上半空間モデルに作用するクライン群は、双曲3次元空間の上半空間モデルの向きを保存する等長変換の群であるリー群PSL(2, C )の離散部分群です。
• リー群の格子は、商空間のハール測度が有限であるような離散部分群です。

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