順序（群論）

数学では、有限群の位数はその元の数です。群が有限でない場合、その位数は無限であるといいます。群の元の位数（周期長または周期とも呼ばれる）は、元によって生成される部分群の位数です。群演算が乗算として表される場合、群の元aの位数は、 a ^m = eとなる最小の正の整数mです。ここで、eは群の単位元、 a ^{m は}aのm個のコピーの積を表します。そのようなm が存在しない場合、 aの位数は無限です。

グループGの順序はord( G )または| G |で表され、要素aの順序はord( a )または| a |で表されます。ここで、括弧は生成されたグループを表します。 ${\displaystyle \operatorname {ord} (\langle a\rangle ),}$

ラグランジュの定理は、有限群Gの任意の部分群Hについて、部分群の位数が群の位数を割り切る、つまり、| H | は| G |の約数であると述べています。特に、任意の要素の位数| a |は| G |の約数です。

対称群S 3_には次の乗算表があります。

この群には 6 つの要素があるため、ord(S ₃ ) = 6です。定義により、単位元eの位数は 1 です。これは、 e ¹ = eだからです。s、t、wはそれぞれeの平方なので、これらの群の要素の位数は 2 です: | s | = | t | = | w | = 2。最後に、uとvの位数は 3 です。これは、 u ³  = vu  = e、およびv ³  = uv  = eだからです。

群Gの順序とその要素の順序は、群の構造に関する多くの情報を与えます。大まかに言えば、| G | の因数分解が複雑になるほど、 Gの構造は複雑になります。

| G | = 1 の場合、群は自明です。どの群でも、単位元a = eのみがord( a) = 1 を持ちます。Gのすべての非単位元がその逆元に等しい場合 (つまり、a ² = eの場合)、ord( a ) = 2 です。これは、よりGがアーベル群である ことを意味します。逆は真ではありません。たとえば、6 を法とする整数の (加法)巡回群Z ₆はアーベル群ですが、数 2 の位数は 3 です。 ${\displaystyle ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba}$

${\displaystyle 2+2+2=6\equiv 0{\pmod {6}}}$。

2つの順序の概念の関係は次のようになります。

${\displaystyle \langle a\rangle =\{a^{k}\colon k\in \mathbb {Z} \}}$

によって生成される部分群 に対して、

${\displaystyle \operatorname {ord} (a)=\operatorname {ord} (\langle a\rangle ).}$

任意の整数kに対して、

ord( a )がkを割り切る   場合のみ、a ^k = eとなる。

一般に、Gの任意の部分群の位数はGの位数を割り切る。より正確には、H がGの部分群である場合、

ord( G ) / ord( H ) = [ G  : H ]、ここで [ G  : H ] はGにおけるHのインデックスと呼ばれる整数です。これがラグランジュの定理です。(ただし、これは G が有限の位数を持つ場合にのみ当てはまります。ord( G ) = ∞ の場合、商 ord( G ) / ord( H ) は意味をなさない。)

上記の直接的な結果として、群のあらゆる要素の順序は群の順序を割り切ることがわかります。たとえば、上に示した対称群では、ord(S ₃ ) = 6 であり、要素の可能な順序は 1、2、3、または 6 です。

有限群については、次の部分的な逆が成り立つ。すなわち、d が群Gの位数を割り切り、かつd が素数である場合、 Gには位数dの元が存在する(これはコーシーの定理と呼ばれることもある)。この命題は合成位数には当てはまらない。たとえば、クラインの 4 元群には位数 4 の元はない。これは帰納的証明によって示すことができる。^[1]この定理の帰結として、群Gの位数が素数pのべき乗であるための必要十分条件は、 Gの任意のaに対して ord( a ) がpの何らかのべき乗である場合である。^[2]

a が無限の位数を持つ場合、 aのゼロ以外のすべての累乗も無限の位数を持ちます。aが有限の位数を持つ場合、 aの累乗の位数について次の式が得られます。

ord( a ^k ) = ord( a ) / gcd (ord( a ), k ) ^[3]

あらゆる整数kに対して。特に、aとその逆数a ^{−1 は}同じ位数を持ちます。

どのグループでも、

${\displaystyle \operatorname {ord} (ab)=\operatorname {ord} (ba)}$

積abの位数を、 aおよびbの位数に関連付ける一般的な公式はありません。実際、aとb の両方が有限位数を持ち、ab が無限位数を持つことや、aとb の両方が無限位数を持ち、abが有限位数を持つことは可能です。前者の例は、群 においてab ( x ) = x −1であるa ( x ) = 2− x、b ( x ) = 1− xです。後者の例は、 ab ( x ) = x +1 、b ( x ) = x −1 であるa ( x ) = xです。ab = baの場合、少なくとも ord( ab ) はlcm (ord( a )、 ord( b ))を割り切ると言えます。結果として、有限アーベル群では、m が群の要素のすべての位数の最大値を表す場合、すべての要素の位数がm を割り切ることを証明できます。 ${\displaystyle Sym(\mathbb {Z} )}$

Gがn位数の有限群で、d がnの約数であるとする。 Gのd位数の元の数はφ( d )の倍数（ゼロの場合もある）である。ここで φ はオイラーのトーシェント関数であり、 d 以下でdと互いに素な正の整数の数を与える。たとえば、 S ₃の場合、 φ(3) = 2 であり、 3 位数の元はちょうど 2 つある。 φ(2) = 1 であるため、この定理は 2 位数の元について有用な情報を提供しない。また、 φ (6) = 2 であるため、 d = 6などの合成数dに対しては限られた有用性しかなく、 S ₃には 6 位数の元が 0 個ある。

群準同型は、元の順序を減らす傾向があります。つまり、f :  G  →  Hが準同型で、a が有限順序のGの元である場合、 ord( f ( a )) は ord( a ) を割り切ります。fが単射である場合、 ord( f ( a )) = ord( a ) です。これは、明示的に与えられた 2 つの群の間に準同型または単射準同型が存在しないことを証明するためによく使用されます。 (たとえば、非自明な準同型h : S ₃  →  Z _{5は存在しません。なぜなら、} Z ₅の 0 以外のすべての数は順序 5 を持ち、これは S ₃の元の順序 1、2、および 3 を割り切れないからです。) さらに、共役元の順序は同じになります。

順序に関する重要な結果は類方程式である。これは有限群Gの順序をその中心Z( G )の順序と非自明な共役類の大きさに関連付けるものである。

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i}d_{i}\;}$

ここで、d _{i は}非自明共役類のサイズです。これらは、| G | の 1 より大きい真約数であり、非自明共役類の代表のGにおける中心化子のインデックスにも等しくなります。たとえば、S _{3の中心は、単一の元}e を持つ自明な群であり、方程式は |S ₃ | = 1+2+3 となります。

• ねじれサブグループ

• ダミット、デイビッド、フット、リチャード。抽象代数、ISBN 978-0471433347、pp. 20、54–59、90 
• アーティン、マイケル。代数、ISBN 0-13-004763-5、46–47ページ