タンナキアン形式主義

数学において、タンナキアン圏は、与えられた体Kに対する追加の構造を備えた、特別な種類のモノイド圏 Cである。このような圏Cの役割は、 K上で定義された代数群Gの線型表現の圏を一般化することである。この理論の主要な応用は数多くなされており、現代の代数幾何学と数論の中心的な予想のいくつかを追求する中でなされる可能性がある。

この名前は、コンパクト群Gとその表現論に関する理論である、田中忠雄と田中-クラインの双対性から取られています。この理論は、アレクサンダー・グロタンディークの学派で最初に開発されました。後にピエール・ドリーニュによって再考され、いくつかの簡略化が行われました。理論のパターンは、グロタンディークのガロア理論のパターンであり、これは、親有限群である群Gの有限置換表現に関する理論です。

理論の要点は、ガロア理論のファイバー関手Φ が、 CからK上の有限次元ベクトル空間のカテゴリへの正確で忠実なテンソル関手 Fに置き換えられることです。 Φ からそれ自身への自然変換の群はガロア理論では原始有限群であることが判明していますが、これはテンソル構造を尊重するFからそれ自身への自然変換の群Gに置き換えられています。 これは一般に代数群ではなく、代数群の逆極限（原始代数群）であるより一般的な群スキームであり、 C はGの有限次元線型表現のカテゴリと同値であることがわかります。

より一般的には、上記のようなファイバー関手F は、非自明な拡大体L/K上の有限次元ベクトル空間のカテゴリにのみ存在する可能性がある。そのような場合、群スキームGはSpec( K ) のfpqc サイト上のゲルベ に置き換えられ、Cは の (有限次元) 表現のカテゴリと同値になる。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

K を体とし、C をK線型アーベル 剛体テンソル （すなわち、対称モノイド）カテゴリとして とする。このとき、CがTannakian カテゴリ（ K上）であるとは、 Kの拡大体L が存在し、 Cから有限次元Lベクトル空間のカテゴリへのK線型正確かつ忠実なテンソル関手（すなわち、強モノイド関手）Fが存在する場合である。 K上の Tannakian カテゴリが中立であるとは、そのような正確かつ忠実なテンソル関手F が存在し、 L=Kであるときである。^[1]${\displaystyle \mathrm {終了} (\mathbf {1} )\cong K}$

タンナキアン構成は、ホッジ構造とl 進表現の関係で使用されます。道徳的に、モチーフの哲学は、ホッジ構造と代数多様体に関連付けられたガロア表現は互いに関連していることを示しています。密接に関連した代数群のマンフォード-テイト群とモチーフガロア群は、タンナキアンカテゴリを介して、ホッジ構造のカテゴリ、ガロア表現のカテゴリ、およびモチーフから生じます。マンフォード-テイト予想は、タンナキアンカテゴリによるホッジ構造とガロア表現から生じる代数群は、連結成分まで互いに同型であると提案しています。

これらの応用分野は、動機理論と密接に関係しています。タンナキアン カテゴリが使用されているもう 1 つの分野は、グロタンディーク - カッツの p 曲率予想、つまり境界モノドロミー群に関連しています。

幾何佐竹同値は、簡約群Gのラングランズ双対群の表現と、Gに関連付けられたアフィン グラスマン多様体上の特定の同変倒錯層との間の同値を確立します。この同値は、ラングランズ双対群の非組合せ的構成を提供します。これは、倒錯層の前述のカテゴリがタンナキアン カテゴリであることを示し、そのタンナカ双対群を と同一視することによって証明されます。 ${\displaystyle {}^{L}G}$ ${\displaystyle {}^{L}G}$

Wedhorn (2004) は、カテゴリがR線型である状況で部分的な Tannaka 双対性の結果を確立しました。ここで、R はもはや体ではなく (古典的な Tannakian 双対性のように)、特定の付値環です。Iwanari (2018) は、無限カテゴリのコンテキストで Tannaka 双対性を発案し、発展させました。

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