表現定理

数学において、表現定理とは、特定の特性を持つあらゆる抽象構造は別の（抽象的または具体的な）構造と同型であるという定理です。

• ケーリーの定理は、すべての群は置換群と同型であることを述べている。^[1]
• 表現論は、ベクトル空間の線型変換としての表現を通じて抽象群の性質を研究します。
• ストーンのブール代数の表現定理は、すべてのブール代数は集合体に同型であることを述べている。^[2]

  分散格子に対するストーンの表現定理という変形では、すべての分散格子は、ある集合の冪集合格子の部分格子と同型であると述べられています。

  別の変種であるストーンの双対性は、ブール代数のカテゴリとストーン空間のカテゴリの間に双対性（矢印を反転する同値性の意味で）が存在することを述べています。

• ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理は、すべてのリー代数がその普遍包絡代数の交換子リー代数に埋め込まれることを述べています。
• アドーの定理は、特性が 0 の体上のすべての有限次元リー代数は、ある有限次元ベクトル空間の自己準同型のリー代数に埋め込まれることを述べています。
• バーコフのHSP定理は、代数Aのあらゆるモデルは、 Aのコピーの直積の部分代数の準同型像であることを述べている。^[3]
• 半群の研究において、ワグナー・プレストンの定理は、逆半群 Sの表現をS上の部分全単射の準同型像として与え、半群演算は合成によって与えられる。

• 米田の補題は、任意のカテゴリを前層のカテゴリに完全に忠実に 極限保存して埋め込むことを提供します。
• ミッチェルのアーベル圏に対する埋め込み定理は、あらゆる小さなアーベル圏を、ある環上の加群の圏の完全な（そして正確に埋め込まれた）部分圏として実現する。^[4]
• モストフスキーの崩壊定理は、すべての well-founded 外延構造は ∈ 関係を持つ推移集合に同型であることを述べています。
• 層理論における基本定理の 1 つは、位相空間上のすべての層は、その空間上のある (エターレ) バンドルの切断の層として考えることができるというものです。つまり、位相空間上の層のカテゴリとその上のエターレ空間のカテゴリは同値であり、この同値性はバンドルをその (局所) 切断の層に送る関数によって与えられます。

• ゲルファント・ナイマーク・シーガル構成は、任意のC*-代数をあるヒルベルト空間上の有界演算子の代数に埋め込みます。
• ゲルファント表現（可換ゲルファント・ナイマルク定理とも呼ばれる）は、任意の可換C*-代数はそのゲルファントスペクトル上の連続関数の代数に同型であることを述べている。これは、可換C*-代数のカテゴリとコンパクト ハウスドルフ空間のカテゴリとの間の双対性としての構成と見ることもできる。
• リースの表現定理は、多様体X上の平方可積分関数空間L ² ( X )などのヒルベルト空間では、任意の線型関数F は固定された要素との内積に等しく、つまりすべての に対して等しいことを述べています。より一般的なリース・マルコフ・角谷表現定理にはいくつかのバージョンがあり、その 1 つはC ₀ ( X )の双対空間をX上の正則測度の集合と同一視するものです。${\displaystyle a\in H}$${\displaystyle F(v)=\langle a,v\rangle }$${\displaystyle v\in H}$

• ホイットニーの埋め込み定理は、任意の抽象多様体を何らかのユークリッド空間に埋め込みます。
• ナッシュ埋め込み定理は抽象的なリーマン多様体をユークリッド空間に等長的に埋め込む。^[5]

• 選好表現定理は、選好関係を表現する効用関数の存在条件を述べる。例としては、フォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの効用定理やドブリューの表現定理などがある。

• 分類定理