数理ファイナンス

デリバティブ価格設定の目的は、需要と供給の法則によって価格が決定される、より流動性の高い証券を用いて、特定の証券の公正価格を決定することです。「公正」の意味は、もちろん、その証券の売買を検討しているかどうかによって異なります。価格設定の対象となる証券の例としては、プレーンバニラオプションやエキゾチックオプション、転換社債などが挙げられます。

公正な価格が決定されると、売り手側のトレーダーは証券のマーケットメイクを行うことができます。したがって、デリバティブの価格設定は、証券の現在の市場価値を定義するための複雑な「外挿」作業であり、その後、売り手側のコミュニティによって使用されます。定量的なデリバティブの価格設定は、ルイ・バシェリエが『投機の理論』（「Théorie de la spéculation」、1900年出版）で、最も基本的かつ最も影響力のあるプロセスであるブラウン運動とそのオプションの価格設定への応用を導​​入したことから始まりました。^{[ 4 ] [ 5 ]}ブラウン運動は、ランジュバン方程式と離散ランダムウォークを使用して導出されます。^{[ 6 ]}バシェリエは、株価の対数の変化の時系列を、短期的な変化が有限の分散を持つランダムウォークとしてモデル化しました。これにより、長期的な変化はガウス分布に従います。^{[ 7 ]}

この理論は、フィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズが、ロバート・C・マートンによる基礎的な貢献とともに、2番目に影響力のあるプロセスである幾何ブラウン運動をオプション価格に適用するまで、休眠状態にあった。この功績により、M・ショールズとR・マートンは1997年のノーベル経済学賞を受賞した。ブラックは1995年に亡くなったため、受賞資格がなかった。^{[ 8 ]}

次の重要なステップは、ハリソンとプリスカ（1981）による資産価格決定の基本定理であり、それによると、適切に正規化された証券の現在の価格P ₀は、将来の変動を記述する一定の期待値を持つ確率過程P _{t が}存在する場合にのみ、裁定なしであり、したがって真に公正である: ^{[ 9 ]}

（ 1 ）を満たすプロセスを「マルチンゲール」と呼びます。マルチンゲールはリスクに報酬を与えません。したがって、正規化された証券価格プロセスの確率は「リスク中立」と呼ばれ、通常は黒板フォントの文字「」で表されます。${\displaystyle \mathbb {Q} }$「。

関係式（1）はすべての時刻tに対して成り立たなければならない。したがって、デリバティブ価格設定に使用されるプロセスは当然連続時間で設定される。

「Qワールド」と呼ばれる分野における定量アナリスト（クオンツ）は、デリバティブ商品の価格設定に特化しています。彼らの役割には、特定の金融商品に使用される数理モデルに関する詳細な理解が求められます。

証券は個別に価格が付けられるため、Q ワールドの問題は本質的に低次元です。キャリブレーションは Q ワールドの主な課題の 1 つです。連続時間パラメトリック プロセスが ( 1 ) のような関係を通じて取引されている証券のセットにキャリブレーションされると、同様の関係を使用して新しいデリバティブの価格が定義されます。

連続時間Q過程を扱うために必要な主な定量的ツールは、伊藤の確率微分法、シミュレーション、偏微分方程式（PDE）である。^{[ 10 ]}

リスクおよびポートフォリオ管理は、特定の将来の投資期間におけるすべての証券の市場価格の統計的に導出された確率分布をモデル化することを目的としています。この市場価格の「実際の」確率分布は、通常、黒板フォントの文字「${\displaystyle \mathbb {P} }$「リスク中立的な」確率とは対照的に${\displaystyle \mathbb {Q} }$デリバティブ価格設定に用いられる。P分布に基づき、バイサイドの投資家は、ポートフォリオとして想定される保有ポジションの将来的な損益プロファイルを改善するために、どの証券を購入するかを決定する。このプロセスの一部は自動化が進んでいる。関連記事の一覧については、 「金融の概要」§  「定量投資」を参照のこと。

マーコウィッツとシャープは、その先駆的な業績により、マートン・ミラーとともに1990年のノーベル経済学賞を共同受賞した。これは、金融分野の業績に対してノーベル経済学賞が授与された史上初の事例である。

マーコウィッツとシャープのポートフォリオ選択に関する研究は、投資管理に数学を導入しました。時が経つにつれ、数学はより高度化しました。ロバート・マートンとポール・サミュエルソンのおかげで、1期間モデルは連続時間ブラウン運動モデルに置き換えられ、平均分散最適化に暗黙的に含まれる二次効用関数は、より一般的な増加凹効用関数に置き換えられました。^{[ 11 ]}さらに、近年では、推定リスク、つまり高度な時系列分析だけで市場パラメータの完全な正確な推定値が得られると誤って仮定することの危険性に焦点が移っています。^{[ 12 ]}金融リスク管理§投資管理を 参照してください。 

金融市場とその価格が時間とともにどのように変化するかについての研究には多大な努力が注がれてきました。 ダウ・ジョーンズ社とウォール・ストリート・ジャーナルの創設者の一人であるチャールズ・ダウは、このテーマに関する一連の考え方を提唱し、現在ではダウ理論と呼ばれています。これは、将来の変化を予測しようとするいわゆるテクニカル分析手法の基礎となっています。「テクニカル分析」の原則の一つは、市場のトレンドが少なくとも短期的には将来の兆候を示すというものです。テクニカルアナリストの主張は多くの学者によって異議を唱えられています。テクニカル分析の有効性を検証した実証研究は数多くありますが、金融市場の予測におけるその有用性については決定的な合意が得られていません。^{[ 13 ]}