平行線公理

幾何学において、平行線公理はユークリッドの『原論』の第 5 公理であることからユークリッドの第5 公理とも呼ばれ、ユークリッド幾何学における独特の公理です。平行線公理は、2 次元幾何学において次のことを述べています。

線分が2 本の直線と交差し、同じ側に 2 つの内角が形成され、その内角が 2直角未満である場合、その 2 本の線を無限に延長すると、角度の合計が 2 直角未満になる側でその 2 本の線は交わります。

この公理は特に平行線について述べているわけではありません。 ^[1]これは平行性に関する公理にすぎません。ユークリッドは平行線の定義を、 5つの公理の直前の『数学の書』第1巻、定義23 ^{[2]で与えました。 [3]}

ユークリッド幾何学は、平行線公理を含むユークリッドの公理をすべて満たす幾何学の研究です。

この公理は長い間、自明または必然であると考えられていたが、証明は難しかった。最終的に、公理を反転すると、異なるものの有効な幾何学が得られることがわかった。平行線公理が成り立たない幾何学は、非ユークリッド幾何学として知られている。ユークリッドの第 5 公理に依存しない幾何学 (つまり、最初の 4 つの公理の現代版のみを想定する幾何学) は、絶対幾何学(または「中立幾何学」と呼ばれることもある) として知られている。

ユークリッドの平行線公理に相当するものとして、おそらく他の公理と合わせて最もよく知られているのは、スコットランドの数学者ジョン・プレイフェアにちなんで名付けられたプレイフェアの公理であり、次のように述べている。

平面上では、直線とその上にない点が与えられた場合、その点を通る直線と平行な直線は最大で1本しか引くことができません。^[4]

この公理自体はユークリッド平行線公理と論理的に同等ではない。なぜなら、一方が真で他方が偽である幾何学が存在するからである。しかし、ユークリッド幾何学を与える残りの公理の存在下では、一方が他方を証明するために使用できるため、絶対幾何学の文脈ではそれらは同等である。^[5]

平行線公理と同等の主張は他にも数多く提案されているが、その中には平行線とは一見無関係と思われるものもあれば、ユークリッドの他の公理から平行線公理を証明したと主張する人々が無意識のうちに想定したほど自明と思われるものもある。これらの同等の主張には以下のものがある。

1. 外部の点を通るある直線と平行に引ける直線は最大で 1 本です。(プレイフェアの公理)
2. すべての三角形の角度の合計は180° です (三角形の公理)。
3. 角度の合計が 180° になる三角形が存在します。
4. どの三角形でも角度の合計は同じです。
5. 相似だが合同ではない三角形のペアが存在します。
6. すべての三角形は外接することができます。
7. 四辺形の 3 つの角が直角であれば、 4 番目の角も直角になります。
8. すべての角度が直角である四角形、つまり長方形が存在します。
9. 互いに一定の距離にある直線のペアが存在します。
10. 同じ直線に平行な 2 本の直線は、互いにも平行です。
11. 直角三角形では、斜辺の二乗は他の2辺の二乗の合計に等しい（ピタゴラスの定理）。^{[6] [7]}
12. 余弦定理はピタゴラスの定理を一般化したものだ。
13. 三角形の面積には上限がない。（ウォリスの公理）^[8]
14. サッケリ四辺形の頂点の角度は90° です。
15. ある直線が、その直線と同一平面上にある2本の平行線のうちの1本と交差する場合、その直線は他の直線とも交差する。（プロクロスの公理）^[9]

しかし、「平行」という言葉を使った代替案は、4 つの一般的な「平行」の定義 (一定の分離、決して交わらない、3 つ目の線が交差する角度が同じ、または任意の 3 つ目の線が交差する角度が同じ)のどれを意味するのかを説明しなければならない場合、それほど単純ではなくなります。なぜなら、これら 4 つの同値性は、ユークリッドの第 5 公準と同等の無意識のうちに明らかな仮定の 1 つだからです。上記のリストでは、常に交差しない線を指すものと解釈されています。たとえば、プレイフェアの公理の「平行」という言葉が「一定の分離」または「任意の 3 つ目の線が交差する角度が同じ」を意味すると解釈された場合、それはもはやユークリッドの第 5 公準と同等ではなく、最初の 4 つから証明できます (公理では「線は最大で 1 本ある...」と述べられており、これはそのような線が存在しないということと矛盾しません)。しかし、平行線が交差しない線、または同じ角度で交差する線であると定義すると、プレイフェアの公理は文脈的にユークリッドの第 5 公準と同等となり、最初の 4 つの公準とは論理的に独立します。後者の 2 つの定義は同等ではないことに注意してください。双曲幾何学では、2 番目の定義は超平行線にのみ当てはまるためです。

当初から、この公準は証明可能であり、したがって公準ではないとして攻撃を受け、2000年以上にわたって、ユークリッドの最初の4つの公準を使って平行線公準を証明（導出）する試みが数多くなされました。^[10]このような証明が非常に求められた主な理由は、最初の4つの公準とは異なり、平行線公準は自明ではないためです。公準が原論に列挙されている順序に意味があるとすれば、それはユークリッドがこの公準を証明できない、またはこれなしでは先に進めないと気づいたときにのみ、この公準を含めたことを示している。^[11] 他の4つの公準から第5公準を証明しようとする試みが数多くなされ、その多くは間違いが見つかるまで長い間証明として受け入れられていました。間違いは常に、第5公準（プレイフェアの公理）と同等であることが判明した「明白な」特性を仮定していたことです。これはプロクロスの時代から知られていましたが、1795 年にジョン プレイフェアがユークリッドに関する有名な解説書を執筆し、その中でユークリッドの第 5 公準を自身の公準に置き換えることを提案したことから、プレイフェアの公理として知られるようになりました。2,200 年以上経った今日でも、ユークリッドの第 5 公準は公準のままです。

プロクロス(410–485) は『原論』の注釈書の中で、他の 4 つの公準から第 5 公準を導き出すための証明の試みについてコメントしています。特に、プトレマイオスが誤った「証明」を提示したと述べています。その後、プロクロスは自らの誤った証明を提示します。しかし、彼は第 5 公準と同等の公準を提示しました。

アラブの数学者イブン・アル＝ハイサム（アルハゼン）（965–1039）は、背理法による証明を用いて平行線公理を証明しようと試み、^[12]その過程で幾何学に運動と変換の概念を導入した。 ^[13]彼はランバート四辺形を定式化し、ボリス・アブラモビッチ・ローゼンフェルドはこれを「イブン・アル＝ハイサム・ランバート四辺形」と名付けた。^{[14]彼の証明の試みには、}ランバート四辺形やプレイフェアの公理に見られるものと類似した要素が含まれている。^[15]

ペルシャの数学者、天文学者、哲学者、詩人であったオマール・ハイヤーム（1050–1123）は、別の明示的に与えられた公準（哲学者（アリストテレス）による5つの原理のうちの4番目、すなわち「2つの収束する直線は交差し、収束する2つの直線が収束する方向に発散することは不可能である」に基づく）から、第5公準を証明しようとした。 ^[16]彼は楕円幾何学と双曲幾何学に属するいくつかの初期の結果を導き出したが、彼の公準は後者の可能性を排除した。^[17]サッケリ四辺形も、11世紀後半にオマール・ハイヤームによってユークリッドの公準の難点の説明の第1巻で初めて考察された。^[14]ジョヴァンニ・ジローラモ・サッケリを含む彼の前後のユークリッドの多くの注釈者とは異なり、ハイヤームは平行線公準を証明しようとはしていなかった。ユークリッドの第 5 公準をそのまま導くのではなく、同等の公準から導くことを目指しました。ユークリッドは、ユークリッドの第 5 公準を省略すると 3 つの可能性が生じることを認識していました。1 つの直線に対する 2 本の垂線が別の直線と交わる場合、最後の直線を賢明に選択することで、2 本の垂線が交わる部分の内角を等しくすることができます (その場合、最初の直線と平行になります)。これらの等しい内角が直角であれば、ユークリッドの第 5 公準が得られますが、そうでない場合は、鋭角か鈍角のいずれかになります。彼は、鋭角と鈍角の場合に自分の公準を使用すると矛盾が生じることを示し、現在では彼の公準は第 5 公準と同等であることがわかっています。

ナスィルッディーン・トゥースィー（1201-1274）は、著書『平行線についての疑問を解消する議論』（1250）の中で、平行線公理と、1世紀前にハイヤームが試みた証明について詳細な批判を記している。ナスィルッディーン氏は、平行線公理の背理法による証明を試みている。^[18]彼は、現在楕円幾何学や双曲幾何学として知られているケースも検討したが、その両方を除外した。^[17]

ナシル・アッディーン（偽トゥーシとも呼ばれる）の息子サドル・アッディーン（1298年）は、父の晩年の考えに基づいて、このテーマに関する本を著した。この本は、平行線公準に相当する非ユークリッド仮説の最も初期の議論の一つを提示した。「彼は、ユークリッドの公理と公準の体系と『原論』の多くの命題の証明の両方を本質的に改訂した。」^{[18] [19]彼の著作は1594年に}ローマで出版され、ヨーロッパの幾何学者によって研究された。この著作は、サドル・アッディーンとウォリスの著作に対する批判から始まった、このテーマに関するサッケリの著作の出発点となった^[18]。^[20]

ジョルダーノ・ヴィターレ(1633–1711) は、著書『ユークリッドの復元』 (1680, 1686) の中で、カヤム・サッケリ四辺形を用いて、底辺 AB と頂点 CD 上で 3 点が等距離にある場合、AB と CD はどこでも等距離にあることを証明した。ジローラモ・サッケリ(1667–1733) は同じ推論をより徹底的に追求し、鈍角の場合の不合理性を正しく導き出した (ユークリッドのように、線は無限に延長でき、無限の長さを持つという暗黙の仮定から進めた) が、鋭角の場合を反駁することはできなかった (ただし、反駁できたと誤って自分に言い聞かせることはできた)。

1766年、ヨハン・ランベルトは『平行線の理論』を執筆したが出版はしなかった。その中で彼は、サッケリと同様に第5公準を証明しようとした。彼は今日ランベルト四辺形と呼ばれる図形、すなわち3つの直角を持つ四辺形（サッケリ四辺形の半分と考えることができる）を扱った。彼はサッケリやカヤームと同様に、4番目の角が鈍角である可能性をすぐに排除し、その後鋭角を仮定して多くの定理を証明した。サッケリとは異なり、彼はこの仮定に矛盾があるとは感じなかった。彼は三角形の面積が減少するにつれて三角形の角の合計が増加するという非ユークリッド的結果を証明し、これが彼を、虚半径の球面上の鋭角の場合のモデルの可能性について推測するに至った。彼はこの考えをそれ以上推し進めなかった。^[21]

ハイヤームとサッケリは、唯一の可能な代替法を反証することでユークリッドの五乗法を証明しようとしたが、19世紀にはついに数学者がそれらの代替法を研究し、その結果として得られる論理的に一貫した幾何学を発見した。1829年、ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキーは、無名のロシアの雑誌に鋭角幾何学に関する記事を発表した（後に1840年にドイツ語で再出版された）。1831年、ヤーノシュ・ボヤイは、父親の著書に、ロバチェフスキーとは独立して開発したであろう鋭角幾何学に関する付録を載せた。カール・フリードリヒ・ガウスもこの問題を研究したが、その結果を公表しなかった。ガウスは、ボヤイの父ファルカス・ボヤイからの手紙でボヤイの結果を聞いたとき、次のように述べた。

私がこの作品を賞賛することはできないと言い始めたら、あなたはきっと一瞬驚くでしょう。しかし、私はそうは言いません。この作品を賞賛することは、私自身を賞賛することになるでしょう。実際、この作品の全内容、あなたの息子が辿った道、彼が導かれた結果は、私の過去30年から35年の間、部分的に私の心を占めてきた瞑想とほぼ完全に一致しています。^[22]

結果として得られた幾何学は、後にロバチェフスキー、リーマン、ポアンカレによって双曲幾何学（鋭角の場合）と楕円幾何学（鈍角の場合）に発展しました。平行線公理がユークリッドの他の公理から独立していることは、1868年に エウジェニオ・ベルトラミによって最終的に実証されました。

ユークリッドは第五公準の逆を公準としていませんでしたが、これはユークリッド幾何学を楕円幾何学と区別する方法の 1 つです。『原論』には同等の命題 (第 1 巻、命題 27) の証明が含まれています。つまり、1 本の直線が 2 本の直線に接し、交互の角度が互いに等しくなる場合、その直線は互いに平行になります。ド・モルガン^[23]が指摘した ように、これは (第 1 巻、命題 16) と論理的に同等です。これらの結果は第五公準に​​依存しませんが、楕円幾何学では違反されている第 2 公準^[24]を必要とします。

第8公理ではなく平行公理を論理的に証明しようとする試み^{[25]は、アーサー}・ショーペンハウアーによって『意志とイデアとしての世界』の中で批判された。しかし、ショーペンハウアーが用いた議論は、この公理は知覚によって明らかであるというものであって、他の公理の論理的帰結ではないというものではないというものであった。^[26]

平行線公理は、ロッチニタクシオムとアリストテレスの公理の結合に等しい。^{[27] [28]} 前者は直角の辺に対する垂線が交差することを述べ、後者は角の一辺から他の一辺までの距離の長さに上限はないと述べている。^{[29]に示すように、平行線公理は、}ロッチニタクシオムとアリストテレスの公理の次の接続幾何形式の結合に等しい。

3 本の平行線がある場合、その 3 本すべてと交差する線が存在します。

直線aと、それぞれaとは異なる2 つの異なる交差する直線mとnが与えられた場合、 aとmとは交差するがnとは交差しない直線g が存在します。

平行線公理をこれらの入射幾何学公理の結合に分割することは、絶対幾何学が存在する場合にのみ可能である。^[30]

• 無限遠の線
• 非ユークリッド幾何学

• キャロル、ルイス『ユークリッドとその現代のライバルたち』ドーバー、ISBN 0-486-22968-8 
• フェイバー、リチャード L. (1983)、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の基礎、ニューヨーク：マルセル・デッカー社、ISBN 0-8247-1748-1
• ヘンダーソン、デイビッド・W.、タイミナ、ダイナ（2005年）、経験幾何学：ユークリッドと非ユークリッドの歴史（第3版）、アッパーサドルリバー、ニュージャージー：ピアソン・プレンティス・ホール、ISBN 0-13-143748-8
• カッツ、ビクター J. (1998)、数学の歴史：入門、アディソン・ウェズリー、ISBN 0-321-01618-1、OCLC  38199387
• ロゼンフェルド、ボリス A. (1988)、「非ユークリッド幾何学の歴史：幾何学空間の概念の進化」、Springer Science+Business Media、ISBN 0-387-96458-4、OCLC  15550634
• スミス、ジョン D. (1992)、「注目すべきイブン・アル・ハイサム」、数学ガゼット、76 (475)、数学協会: 189–198、doi :10.2307/3620392、JSTOR  3620392、S2CID  118597450
• Boutry, Pierre; Gries, Charly; Narboux, Julien; Schreck, Pascal (2019)、「平行公理と連続性公理: Coq を使用した直観論理の機械化研究」(PDF)、Journal of Automated Reasoning、62 : 1–68、doi :10.1007/s10817-017-9422-8、S2CID  25900234
• パンブッチアン、ビクター; シャハト、セリア (2021)、「ユビキタス公理」、Results in Mathematics、76 (3): 1–39、doi :10.1007/s00025-021-01424-3、S2CID  236236967
• パムブッチアン、ビクター（2022）、「平行線公準の分割について」、Journal of Geometry、113（1）：1–13、doi：10.1007/s00022-022-00626-6、S2CID  246281748
• パンブッシアン、ビクター (2025)、「平行公準」、アナリ・デッラーラ・セツィオーニ大学 VII - 科学マテマティケ、71 (1): 1–26、doi :10.1007/s11565-024-00572-y、S2CID  274497557

• ガウスの山々

エダー、ミシェル（2000）、古代ギリシャと中世イスラムにおけるユークリッドの平行線公準の見解、ラトガース大学、 2008年1月23日取得