数学芸術に関する9つの章

『数学の技法に関する九章』の完全なタイトルは、西暦179年のものとされる2つの青銅製標準尺度に記されているが、同じ本がそれ以前に別のタイトルで存在していたという憶測もある。^{[ 1 ]}

この書名は『後漢書』第24巻にも、馬續が研究した書物の一つとして記載されている。彼の弟である馬融の生没年から判断すると、この書物の成立時期は西暦93年以前であると考えられる。^{[ 2 ]}

ほとんどの学者は、中国の数学と古代地中海世界の数学は、『九章』が最終形に達するまで多かれ少なかれ独立して発展してきたと考えている。第 7 章の方法は 13 世紀までヨーロッパでは見つからず、第 8 章の方法はカール・フリードリヒ・ガウス(1777–1855)より前にガウス消去法を使用している。 ^{[ 3 ]}また、この論文にはピタゴラスの定理の数学的証明も記載されている。^{[ 4 ]}『九章』の影響は朝鮮半島と日本の地域の古代数学の発展に大きく貢献した。中国の数学思想に対するその影響は清朝時代まで続いた。

劉徽は263年に詳細な注釈を書いた。彼は『九章』の手順を段階的に分析しており、ユークリッド的な形式的な証明を提供することには関心がないものの、読者にその信頼性を確信させることを明らかに意図している。劉の注釈はそれ自体で数学的に非常に興味深い。劉は、初期の数学者である張蒼（紀元前165年頃活躍 - 紀元前142年没）と耿寿昌（紀元前75年頃活躍 - 紀元前49年没）（天球儀を参照）が本書の最初の構成と注釈を行ったとしているが、漢王朝の記録には注釈の著者の名前は示されておらず、3世紀まで言及されていない^{[ 5 ]。}

『九章』は作者不明の作品であり、その起源は不明である。近年まで、荊方（紀元前78～37年）、劉信（没年23年）、張衡（紀元前78 ～139年）などの数学作品や、紀元前4世紀の『墨子』の幾何学の節を除いて、これに先行する可能性のある関連する数学書物の実質的な証拠はなかった。しかし、もはやそうではない。 『算数書』は、約7000文字の長さで190枚の竹簡に書かれた古代中国の数学書物である。1983年に考古学者が湖北省の墓を開いた際に、他の文書とともに発見された。これは張家山漢竹簡として知られる文書群の一つである。文献証拠から、この墓は西漢王朝初期の紀元前186年に閉鎖されたことが分かっている。 『算書書』と『九章』の関係については学者間で議論が続いているものの、その内容の一部は明らかに『九章』と類似している。しかし、『算書書』の本文は『九章』ほど体系的ではなく、様々な資料から引用された、多かれ少なかれ独立した短い文章の集まりで構成されているように見える。数学と天文学の書である『周筆算経』も漢代に編纂され、180年頃には蔡雍によって数学の一派として言及されている。

本書のタイトルは、実に多様な形で翻訳されている。

1852年、アレクサンダー・ワイリーはこれを「九分割算術規則」と呼んだ。

わずかな変更を加えただけで、日本の数学史家である三上義雄はタイトルを『九つのセクションの算術』に短縮した。^{[ 6 ]}

デイビッド・ユージン・スミスは、著書『数学史』（スミス 1923）の中で、三上義雄が用いた慣例に従った。

数年後、ジョージ・サートンはこの本に注目したが、それほど深くは触れず、正の数と負の数を表すのに赤と黒の棒を使うという点だけを言及した。

1959年、ジョセフ・ニーダムと王玲（歴史家）は、『九章算術』を初めて『九章算術』として翻訳した。

その後、1994年にラム・レイヨンはこのタイトルを彼女の著書の概要で使用し、ジョン・N・クロスリーやアンソニー・W・C・ルンなどの他の数学者も李岩と杜世然の『中国数学：簡史』（李と杜 1987）の翻訳でこのタイトルを使用した。 ^{[ 6 ]}

その後、 『数学の技法に関する九章』というタイトルが定着し、この本の標準的な英語タイトルとなった。

『九章算術』では、自然数、すなわち正の整数とその演算については論じられていないが、自然数を基盤として広く用いられ、記述されている。分数に関する書物ではないが、分数の意味、性質、および四則演算については十分に論じられている。例えば、加算、減算、乗算、除算、比較、簡約、二等分（平均）などである。^{[ 9 ]}

負の数の概念は「九章算術」にも登場する。方程式のアルゴリズムと連携するために、正の数と負の数の加算と減算の規則が示されている。減算は「同じ名前で除算し、異なる名前で利益を得る」。加算は「異なる名前で除算し、同じ名前で互いに利益を得る」。ここで、「除算」は減算、「利益」は加算、「記入なし」は相手がいないことを意味するが、乗算と除算は記録されない。^{[ 9 ]}

『九章算術』は、自然数、分数、正負の数、そしていくつかの特殊な無理数について論じている。概して言えば、現代数学で用いられる実数体系の原型と言えるだろう。

『数学芸術九章』に含まれる幾何学的図形は、農業分野への応用を重視しているため、ほとんどが直線と円形である。さらに、土木建築のニーズに応えるため、『数学芸術九章』では、線状および円形の3次元立体の体積アルゴリズムについても論じている。これらの体積アルゴリズムの配置は単純なものから複雑なものまで多岐にわたり、独自の数学体系を形成している。^{[ 9 ]}

ギョウギの定理（ピタゴラスの定理の中国語版）の直接的な応用に関して、本書ではそれをギョウギ相互探索、ギョウギ整数、ギョウギ双容量、ギョウギ類似の4つの主要なカテゴリに分けています。

狗谷相互探索では、直角三角形の2辺の長さが分かっている場合に、他の2辺の長さを求めるアルゴリズムについて説明します。狗谷整数では、有名な3、4、5を含む、いくつかの重要な整数ピタゴラス数を求めます。狗谷双対容量では、円に内接する長方形やその他の多角形の面積を計算するアルゴリズムについて説明します。これは、円周率πの値を計算するアルゴリズムとしても機能します。最後に、狗谷相似では、相似直角三角形の数学的基礎に基づいて、建物の高さと長さを計算するアルゴリズムを提供します。

『九章算術』に列挙されている平方完成や立方完成の方法、および連立一次方程式の解法は、古代中国数学の主要な内容の一つとみなすことができる。 『九章算術』におけるこれらのアルゴリズムの議論は非常に詳細である。これらの議論を通して、古代中国数学の発展の成果を理解することができる。^{[ 9 ]}

平方完成と立方完成は、2 つの未知数を持つ 2 つの線形方程式の連立方程式を解くだけでなく、一般的な二次方程式や三次方程式も解くことができます。これは古代中国における高階方程式を解く基礎であり、数学の発展においても重要な役割を果たしています。^{[ 9 ]}

方成の章で議論されている「方程式」は、今日の連立一次方程式に相当します。「方成式」と呼ばれる解法は、今日ではガウス消去法として最もよく知られています。方成の章に挙げられている18の問題のうち、2つの未知数を持つ連立一次方程式に相当するもの、3つの未知数を持つ連立一次方程式に相当するもの、そして最も複雑な例では、最大5つの未知数を持つ連立一次方程式の解を解析しています。^{[ 9 ]}