Loading article…
アルキメデスの原理は、流体中に完全にまたは部分的に浸された物体に作用する上向きの浮力は、物体が押し退ける流体の重さに等しいと述べている。[ 1 ]アルキメデスの原理は、流体力学の基本となる物理法則である。これはシラクサのアルキメデスによって定式化された。[ 2 ]
アルキメデスは『浮体論』の中で、紀元前246年頃に次のように提唱した。
流体または液体に完全にまたは部分的に浸された物体は、その物体によって押し除けられた流体の重さに等しい浮力を受ける。
アルキメデスの原理によれば、流体に部分的にまたは完全に浸された浮遊物の浮力を計算することができます。物体にかかる下向きの力は、単純にその物体の重さです。物体にかかる上向きの力、つまり浮力は、上記のアルキメデスの原理で述べた力です。したがって、物体にかかる正味の力は、浮力の大きさと物体の重さの差です。この正味の力が正であれば物体は上昇し、負であれば物体は沈み、ゼロであれば物体は中性浮力、つまり上昇も沈降もせずにその場にとどまります。簡単に言うと、アルキメデスの原理は、物体が流体に部分的にまたは完全に浸されると、物体の浸された部分によって押し出された流体の重さに等しい見かけ上の重量減少が生じることを述べています。
流体中に浸された直方体を考えます。その上面と下面は重力の方向（立方体の伸び全体で一定と仮定）に直交しています。流体は各面に垂直抗力を及ぼしますが、浮力に寄与するのは上面と下面の垂直抗力のみです。底面と上面の圧力差は高さ（浸水深の差）に正比例します。圧力差に面の面積を掛けると、直方体にかかる正味の力、すなわち浮力が得られ、その大きさは直方体によって押し出された流体の重さに等しくなります。十分に小さな直方体を十分に集めることで、この考え方を不規則な形状にも拡張でき、したがって、浸水した物体の形状がどのようなものであっても、浮力は押し出された流体の重さに等しくなります。
排除された流体の重量は、排除された流体の体積に正比例します（周囲の流体の密度が均一である場合）。流体中の物体の見かけの重量は、浮力と呼ばれる物体に作用する力のために減少します。簡単に言うと、この原理は、物体にかかる浮力（F b）は、物体によって排除された流体の重量、または流体の密度（ρ）に沈んだ体積（V）と重力（g）を掛けたものに等しいと述べています[ 1 ] [ 3 ]。
この関係は、次の式で表すことができます。
どこは、水中に沈んだ物体に作用する浮力を表します。 は流体の密度を表し、は、置換された流体の体積を表し、は重力による加速度です。したがって、完全に水没した同じ質量の物体間では、体積の大きい物体ほど浮力が大きくなります。
重力が作用する真空中で、糸で吊るされた岩石の重さが10ニュートンであるとします。岩石を水中に沈めると、3ニュートンの水を押し退けるとします。すると、岩石が吊るされている糸に及ぼす力は、10ニュートンから3ニュートンの浮力を引いた値、つまり10 − 3 = 7ニュートンになります。浮力は物体の見かけの重さを減少させます。一般的に、物体を水中で持ち上げる方が、水から引き上げるよりも容易です。
完全に水没した物体の場合、アルキメデスの原理は次のように言い換えることができる。
そして、相互体積によって拡張された重みの商に挿入される。
下記の式が得られます。浸漬された物体の密度と流体の密度の比は、体積を測定することなく簡単に計算できます。
（この式は、例えば、水位計や静水圧計の測定原理を説明する際に用いられる。）
例：木材を水に落とすと、浮力によって水面に浮かびます。
例：走行中の車内のヘリウム風船。速度を上げたりカーブを曲がったりすると、空気は車の加速方向とは逆方向に動きます。しかし、浮力によって風船は空気によって「押し出され」、車の加速方向と同じ方向に漂っていきます。
物体が液体に浸されると、液体は上向きの力を及ぼします。これは浮力と呼ばれ、物体が押し出された液体の重さに比例します。したがって、物体に作用する正味の力は、物体の重さ（下向きの力）と、押し出された液体の重さ（上向きの力）の差に等しくなります。平衡状態、すなわち中性浮力は、これら二つの重さ、つまり力が等しくなったときに達成されます。
平衡状態にある流体内部の圧力を計算する式は次のとおりです。
ここで、fはある外部場が流体に及ぼす力密度であり、σはコーシー応力テンソルである。この場合、応力テンソルは単位テンソルに比例する。
ここでδ ijはクロネッカーのデルタである。これを用いると、上記の式は次のようになる。
外部力場が保存的であると仮定すると、つまり、何らかのスカラー値関数の負の勾配として表すことができると仮定すると、次のようになります。
それから：
したがって、流体の開放面の形状は、印加された外部保存力場の等ポテンシャル面に等しい。z軸を下向きとする。この場合、場は重力なので、Φ = − ρ f gzとなる。ここで、gは重力加速度、ρ fは流体の質量密度である。zがゼロである表面で圧力をゼロとすると、定数はゼロになるため、流体が重力の影響を受けるときの内部圧力は、
つまり、液面から液面下への距離をzとすると、液面下の深さが増すにつれて圧力も増加します。垂直方向の深さがゼロでない物体は、上面と下面で圧力が異なり、下面の圧力の方が高くなります。この圧力差が上向きの浮力を生み出します。
流体の内部圧力が既知であるため、物体に作用する浮力は容易に計算できる。物体に作用する力は、流体と接触している物体の表面全体にわたって応力テンソルを積分することによって計算できる。
ガウスの定理を用いると、表面積分を体積分に変換することができる。
ここで、Vは流体と接触している体積の尺度であり、つまり、流体が物体の外側にある部分に力を及ぼさないため、物体の水中部分の体積である。
浮力の大きさは、次の議論からよりよく理解できるでしょう。任意の形状と体積Vの物体が液体に囲まれている状況を考えます。液体が物体に及ぼす力は、物体と同じ体積の液体の重さに等しくなります。この力は重力とは逆方向に作用し、その大きさは次のようになります。
ここで、ρfは流体の密度、Vdispは排除された液体の体積、gは問題の場所における重力加速度である。
この体積の液体を全く同じ形状の固体に置き換えた場合、液体が固体に及ぼす力は上記と全く同じでなければなりません。言い換えれば、水中に沈んだ物体に働く「浮力」は重力とは逆方向であり、大きさは重力と等しくなります。
アルキメデスの原理が適用できる流体静力学の状況であるためには、物体にかかる正味の力がゼロでなければならず、したがって、それは浮力と物体の重量の合計となる。
（拘束も動力も持たない）物体の浮力がその重量を上回ると、物体は上昇する傾向があります。重量が浮力を上回る物体は沈む傾向があります。加速期間中に水中に沈んだ物体にかかる上向きの力を計算するには、アルキメデスの原理だけでは不十分です。浮力を含む物体の運動を考慮する必要があります。物体が流体の底に完全に沈むか、水面に浮上して沈んだ後は、アルキメデスの原理のみを適用できます。浮いている物体の場合、水没した体積のみが水を押し出します。沈んでいる物体の場合、体積全体が水を押し出し、固体の底面からの反作用力が加わります。
アルキメデスの原理を単独で使用するためには、対象となる物体が平衡状態にある（物体にかかる力の合計がゼロである）必要がある。したがって、
そのため
これは、浮遊物が沈む深さと、それが押し出す流体の体積は、地理的な位置に関係なく、重力場とは無関係であることを示している。
浮力と重力以外の力が作用する場合もあります。これは、物体が拘束されている場合や、物体が固い床に沈む場合に当てはまります。浮く傾向のある物体は、完全に水中に沈んだ状態を維持するために張力拘束力Tを必要とします。沈む傾向のある物体は、最終的に固い床によって拘束力Nの垂直力が作用します。この拘束力は、流体中の物体の重量を測定するばねばかりの張力であり、見かけの重量を定義する方法です。
物体が本来浮くはずの場合、それを完全に水中に沈めるために必要な張力は次のとおりである。
沈んでいた物体が固い床面に着地したとき、物体には次の垂直抗力が働く。
物体の浮力を計算するもう一つの方法は、その物体の空気中での見かけの重さ（ニュートン単位）と水中での見かけの重さ（ニュートン単位）を求めることです。この情報を用いて、物体が空気中で作用する浮力を求めるには、次の式が適用されます。
最終結果はニュートン単位で測定される。
空気の密度は、ほとんどの固体や液体に比べて非常に小さい。そのため、空気中の物体の重量は、真空中の物体の真の重量とほぼ同じになる。空気中の物体の重量を測定する際、空気の浮力は無視される。なぜなら、その誤差は通常ごくわずかだからである（風船や軽い発泡体など、平均密度が非常に低い物体を除けば、通常0.1%未満）。
接触面積全体にわたる圧力の積分に関する簡略化された説明は、次のように述べることができる。
上面が水平な状態で流体中に浸された立方体を考えてみましょう。
両側面は面積が同一であり、深さの分布も同じであるため、圧力分布も同じになり、結果として、各側面の表面平面に垂直に作用する静水圧による総力も同じになる。
対向する辺が2組あるため、水平方向の合力は直交する両方向で釣り合い、合力はゼロとなる。
立方体にかかる上向きの力は、底面にかかる圧力をその面積で積分したものです。底面は一定の深さにあるため、圧力も一定です。したがって、立方体の水平な底面の面積で圧力を積分すると、その深さにおける静水圧に底面の面積を掛けた値になります。
同様に、立方体にかかる下向きの力は、上面にかかる圧力をその面積で積分したものです。上面は一定の深さにあるため、圧力も一定です。したがって、立方体の水平な上面の面積で圧力を積分すると、その深さにおける静水圧に上面の面積を掛けた値になります。
これは立方体であるため、上面と底面の形状と面積は同一であり、立方体の上面と底面の間の圧力差は深さの差に正比例し、結果として生じる力の差は、流体が存在しない場合に立方体の体積を占めるはずの流体の重量と正確に等しくなります。
これは、外部からの力が作用しない場合、立方体に働く上向きの力は、立方体の体積に収まる流体の重さに等しく、立方体に働く下向きの力は立方体自体の重さに等しいことを意味する。
この類推は、立方体の大きさのバリエーションにも当てはまる。
2つの立方体を互いに面を接するように並べると、接触面の形状、大きさ、圧力分布が等しいため、接触面にかかる圧力とそれに伴う力は釣り合い、無視できる。したがって、接触している2つの立方体の浮力は、それぞれの立方体の浮力の合計となる。この類推は、任意の数の立方体にも適用できる。
どのような形状の物体でも、互いに接する立方体の集合として近似することができ、立方体のサイズが小さくなるにつれて近似の精度は向上する。無限に小さな立方体の場合、完全な等価性が成り立つ。
傾斜面であっても、この類推は無効にならない。なぜなら、合力は直交する成分に分解でき、それぞれを同じ方法で処理できるからである。
アルキメデスの原理は、物体に作用する表面張力（毛細管現象）を考慮していない。 [ 4 ]さらに、アルキメデスの原理は複雑な流体では破綻することがわかっている。[ 5 ]
アルキメデスの原理には、底面（または側面）の場合と呼ばれる例外があります。これは、物体の側面が、それが浸されている容器の底面（または側面）に接していて、その側面から液体が浸入しない場合に発生します。この場合、その側面から液体が浸入しないため、圧力の対称性が破れ、正味の力はアルキメデスの原理とは異なることがわかっています。[ 6 ]
アルキメデスの原理は、流体の浮力と変位を示しています。しかし、アルキメデスの原理の概念は、物体が浮く理由を考える際にも応用できます。アルキメデスの論文「浮体について」の命題5は、
浮遊する物体は、自身の重さと同じ量の流体を押し出す。
言い換えれば、液体の表面に浮いている物体（ボートなど）や、流体中に沈んで浮いている物体（水中の潜水艦や空中の飛行船など）の場合、排除された流体の重量は物体の重量に等しくなります。したがって、浮いているという特殊な場合にのみ、物体に作用する浮力が物体の重量に等しくなります。1トンの鉄の塊を考えてみましょう。鉄は水の約8倍の密度なので、水に沈められたときに排除する水の量はわずか1/8トンで、これでは浮いている状態を維持するには不十分です。同じ鉄の塊をボウルの形に変えたとします。重さは依然として1トンですが、水に入れると、ブロックだったときよりも多くの水を押し出します。鉄のボウルを深く沈めるほど、押し出す水の量が増え、作用する浮力も大きくなります。浮力が1トンに等しくなると、それ以上沈むことはありません。
船が自重と同じ重さの水を押し出すと、浮きます。これはしばしば「浮力の原理」と呼ばれます。浮いている物体は、自重と同じ重さの水を押し出します。すべての船、潜水艦、飛行船は、少なくとも自重と同じ重さの水を押し出すように設計されなければなりません。10,000トンの船の船体は、10,000トンの水を押し出し、沈没を防ぐために船体の一部が水面上に残るように、十分な幅、長さ、深さで建造されなければなりません。そうでなければ船体に入り込み、質量が増加して沈没させてしまう波に対抗するために、余分な船体が必要なのです。空中の乗り物についても同じことが言えます。100トンの飛行船は、100トンの空気を押し出す必要があります。押し出す空気の量が多ければ上昇し、少なければ下降します。飛行船が自重と全く同じ量の空気を押し出すと、一定の高度でホバリングします。
浮力の原理と、水中に沈んだ物体がその体積に等しい量の流体を押し出すという概念は、アルキメデスの原理と関連しているものの、アルキメデスの原理そのものではありません。前述のとおり、アルキメデスの原理は、浮力を、押し出された流体の重さに等しいと定めています。
アルキメデスの原理に関してよくある誤解の一つは、排除体積の意味です。一般的なデモンストレーションでは、物体が水面に浮いたときの水位の上昇を測定して、排除された水の量を計算します。この測定方法は、浮力のある水中物体には適用できません。なぜなら、水位の上昇は物体の質量ではなく体積に直接関係するからです（物体の実効密度が流体の密度と完全に等しい場合を除く）。[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]
アルキメデスは、王冠が不純な金でできているかどうかを判定する方法に気付いた後、「エウレカ！」と叫んだと伝えられている。広く知られている話ではアルキメデスの原理は使われておらず、王冠の体積を測るのに水の変位を利用しただけだったが、原理を用いた別の方法がある。王冠と純金を天秤に乗せて空中で釣り合わせ、その後天秤を水中に入れる。アルキメデスの原理によれば、王冠の密度が純金の密度と異なる場合、水中では天秤が釣り合わなくなる。[ 11 ] [ 12 ]
流体よりも軽い固体は、流体中に置かれると、固体の重量が押し退けられた流体の重量と等しくなるほど深く沈む。
ウィキメディア・コモンズにあるアルキメデスの原理に関連するメディア
