非アルキメデス幾何学

数学において、非アルキメデス幾何学^[1]は、アルキメデスの公理が否定される幾何学の形式のいずれかである。このような幾何学の例としては、デーン平面がある。非アルキメデス幾何学は、例が示すように、ユークリッド幾何学とは大きく異なる特性を持つ場合がある。

この用語は 2 つの意味で使用されており、アルキメデスの性質の 2 つの意味のうちの 1 つ(つまり、順序または大きさに関して) に違反する体上の幾何学を指します。

この用語の第一の意味は、非アルキメデス的順序体またはその部分集合上の幾何学である。前述のデーン平面は、有理関数体に基づく特定の非アルキメデス的順序体の有限部分の自己積をとる。この幾何学では、ユークリッド幾何学とは大きな違いがある。特に、一点を通る直線には無限に多くの平行線があるため平行線公準は成立しないが、三角形の角度の和はやはり直角である。^[2]

直感的に言えば、そのような空間では、線上の点は実数またはそのサブセットで記述することはできず、「無限」または「無限小」の長さの線分が存在します。

用語の2番目の意味は、非アルキメデス値の体[ ^3]または超計量空間上の計量幾何学です。このような空間では、ユークリッド幾何学とのさらに多くの矛盾が生じます。たとえば、すべての三角形は二等辺三角形であり、重なり合うボールは入れ子になります。このような空間の例としては、 p進数があります。

直感的に言えば、そのような空間では、距離は「加算」または「蓄積」されません。