円の測定

円の測定（ギリシア語： Κύκλου μέτρησις、ククルー・メトレシス） ^[1]は、紀元前250年頃にアルキメデスによって書かれたと思われる3つの命題からなる論文である^{。 [2] [3]}この論文は、より長い作品のほんの一部に過ぎない。 ^{[4] [5]}

命題 1 は、任意の円の面積は、直角の 1 つの辺が半径に等しく、もう 1 つの辺が円の円周に等しい直角三角形の面積に等しいと述べている。円周がcで半径がrである任意の円の面積は、 2 つの辺がcとrである直角三角形の面積に等しい。この命題は、消尽法によって証明される。^[6]

命題2は次のように述べている:

円の面積は、その直径の平方根の11～14倍です。

この命題はアルキメデスが立てたものではない。なぜなら、それは第三の命題の結果に依存しているからである。^[6]

命題3は次のように述べている。

任意の円の円周と直径の比は より大きいが より小さい。${\displaystyle 3{\tfrac {10}{71}}}$${\displaystyle 3{\tfrac {1}{7}}}$

これは現在数学定数 πと呼ばれる値に近い。彼は2つの相似な96角形の正多角形で円を内接・外接させることでπの値の境界を発見した。^[7]

この命題には、3の平方根（1つは大きく、もう1つは小さい）やその他のより大きな非完全平方根の正確な近似値も含まれていますが、アルキメデスはこれらの数値をどのようにして見つけたかについては説明していません。^[5]彼は√3の 上限と下限を次のように与えています。1351/780⁠ > √ 3 > ⁠265/153⁠。^{[6]しかし、これらの境界は}ペル方程式と関連する単純な連分数の収束の研究からよく知られており、この数論のどの程度がアルキメデスにアクセス可能であったかについて多くの推測が生まれました。このアプローチの議論は少なくとも1723年のトーマス・ファンテ・ド・ラニー、FRS（πの計算の年表を参照）にまで遡りますが、ヒエロニムス・ゲオルク・ツォイテンによってより明確に扱われました。1880年代初頭、フリードリヒ・オットー・フルチ（1833–1906）とカール・ハインリヒ・フンラート（1847年生まれ）は、原論II.4、7をモデルにした完全平方に近い平方根の単純な二項境界によって、境界をすばやく見つけることができることを指摘しました。この方法はトーマス・リトル・ヒースによって支持されています。境界への道筋は 1 つしか述べられていませんが、実際には他に 2 つあり、方法がどのように実行されても境界はほぼ避けられません。ただし、境界は、正 12 角形の設定でアルキメデスのストマキオンによって示唆された反復的な幾何学的構成によっても生成できます。この場合、課題は π/12 の正接に有理的な近似値を与えることです。

• 円の測定、トーマス・ヒースによる英語訳