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『原論』（古代ギリシア語: Στοιχεῖα Stoikheîa ）は、紀元前300年頃に古代ギリシアの数学者ユークリッドによって書かれた数学論文である。
『原論』は、現存する最古の大規模な演繹的数学研究書である。キオスのヒポクラテス、クニドスのエウドクソス、テアイテトスといった初期の数学者の業績を基に、『原論』は、平面および立体ユークリッド幾何学、初等整数論、および不整合を網羅する定義、公理、幾何学的作図、および定理とその証明を13巻にまとめたものである。これには、ピタゴラスの定理、タレスの定理、最大公約数を求めるユークリッドの互除法、素数が無限に存在するというユークリッドの定理、および正多角形と正多面体の作図が含まれる。
史上最も成功した教科書としてしばしば挙げられる『原論』は、入門幾何学の教科書として現在もなお広く用いられている。中世にはアラビア語とラテン語に翻訳され、中世イスラム世界と西ヨーロッパの数学に大きな影響を与えた。また、論理学と近代科学の発展にも重要な役割を果たし、その論理的な厳密さは19世紀まで凌駕されることはなかった。
ユークリッドの『原論』は、現存する最古の大規模な演繹的数学研究である。[ 1 ]ユークリッドの約7世紀後に生きたギリシャの数学者プロクロスは、『原論』の注釈で次のように書いている。「ユークリッドは『原論』をまとめ、エウドクソスの多くの定理を集め、テアイテトスの多くの定理を完成させ、また、先人たちがやや曖昧にしか証明していなかった事柄を反論の余地のない証明へと導いた。」[ a ]学者たちは、『原論』は主に、エウドクソス、キオスのヒポクラテス、[ b ]タレス、テアイテトスなど、以前のギリシャの数学者の著作に基づく命題の集大成であると考えており、プラトンやアリストテレスによって言及された他の定理もある。[ 2 ] [ 3 ]ユークリッドの業績を先人たちの業績と区別することは難しい。特に、『原論』は、はるか以前の、そして今では失われてしまったギリシャ数学を実質的に置き換えたからである。[ 4 ]現在入手可能な『原論』には、「ポスト・ユークリッド」数学も含まれており、おそらく4世紀のアレクサンドリアの数学者テオンなどの後世の編集者によって後から追加されたものと思われる。 [ 3 ]古典学者マルクス・アスペルは、「明らかにユークリッドの業績は、受け入れられていた数学的知識を説得力のある順序にまとめ、ギャップを埋めるために新しい証明を追加したことにある」と結論付けており、歴史家セラフィナ・クオモはそれを「成果の宝庫」と表現している。[ 5 ] [ 3 ]それにもかかわらず、歴史家ミハリス・シアラロスは、その「驚くほど緻密な構造」は、ユークリッドが単に他人の著作を編集したのではなく、『原論』を自ら書いたことを示唆していると主張している。[ 6 ]
『原論』の各部分を特定の数学者に詳細に帰属させることは、依然として学術的な議論の対象となっている。WWラウズ ボールによれば、ピタゴラスは第 I 巻と第 II 巻の大部分の出典であり、キオスのヒポクラテスは第 III 巻、クニドスのエウドクソスは第 V 巻の出典であり、第 IV、VI、XI、XII 巻は他のピタゴラス派またはアテナイの数学者によるものと思われる。[ 7 ]『原論』は、キオスのヒポクラテスによる以前の教科書に基づいている可能性があり、ヒポクラテスは数字を参照するために文字を使用する習慣を始めた人物でもあるかもしれない。[ 8 ]ウィルバー クノールは、『原論』の第 I、III、VI 巻の内容の起源をキオスのヒポクラテスの時代に、第 II、IV、X、XIII 巻の内容の起源をキュレネのテオドロス、テアイテトス、エウドクソスの時代後期に帰属させている。しかし、この説はファン・デル・ヴェルデンによって批判されており、彼は第1巻から第4巻ははるか昔のピタゴラス学派に大きく起因すると考えていた。[ 9 ]
他にも同様の作品がキオスのヒポクラテス、マグネシアのテウディオス、レオンによって書かれたと伝えられているが、現在は失われている。[ 10 ] [ 11 ]
『原論』は、時折信じられているように、幾何学だけを扱っているわけではありません。[ 4 ] [ 12 ]伝統的に、平面幾何学（第1巻～第6巻）、基礎数論（第7巻～第10巻）、立体幾何学（第11巻～第13巻）の3つのトピックに分けられています。ただし、第5巻（比例について）と第10巻（不可約性について）はこの区分に厳密には当てはまりません。[ 13 ] [ 14 ]本文の中心は、随所に散りばめられた定理です。[ 15 ]アリストテレスの用語を用いると、これらは一般的に「第一原理」と「第二原理」の2つのカテゴリーに分けられます。[ 16 ]最初のグループには、「定義」（古代ギリシア語：ὅροςまたはὁρισμός）、「公準」（αἴτημα）、または「共通概念」（κοινὴ ἔννοια）とラベル付けされた記述が含まれます。[ 16 ] [ 17 ]公準（すなわち公理）と共通概念は第 1 巻にのみ登場する。[ 4 ]プロクロスの詳細な研究によると、原論の古い版では同じ区別に従っていたが、用語が異なり、各定義を「仮説」（ὑπόθεσις）と呼び、各共通概念を「公理」（ἀξίωμα）と呼んでいた可能性がある。[ 17 ] 2 番目のグループは、数学的証明と図とともに提示される命題で構成されている。[ 16 ]ユークリッドが原論を教科書として意図していたかどうかは不明であるが、 [ 6 ]その後広く教科書として使用された。[ 18 ]全体として、著者の声は一般的で非個人的なままである。[ 3 ]
『原論』第1巻は、テキスト全体の基礎となるものです。[ 4 ]点、線、角、さまざまな正多角形などの基本的な幾何学的概念に関する20の定義から始まります。[ 20 ]次に、ユークリッドは5つの公準と5つの共通概念に分類される10の仮定（右の表を参照）を提示します。[ 21 ]これらの仮定は、後続のすべての定理の論理的基礎を提供することを意図しており、つまり公理系として機能します。[ 22 ]共通概念は、幾何学的対象の大きさ、つまり大きさの比較のみに関係します。 [ 23 ]現代の数学では、これらの大きさは弧長、角度、または面積を測定する実数として扱われ、数値的に比較されますが、ユークリッドは代わりに、これらの大きさを数値として解釈することなく、幾何学的演算を使用して図形の大きさを比較する方法を見つけました。[ 24 ]最初の4つの公準は比較的単純ですが、5番目はそうではありません。これは平行線公準として知られており、他の4つの公準からの独立性の問題が、非ユークリッド幾何学の発展につながる長い研究の焦点となった。[ 23 ]
第1巻には48の命題も含まれており、それらは大まかに次のとおりに分けられます。平面幾何学と三角形の合同の基本定理と作図（1～26）、平行線（27～34）、三角形と平行四辺形の面積（35～45）、ピタゴラスの定理とその逆（46～48）。[ 23 ]
二等辺三角形の底角が等しいという命題 5 は、中世にはpons asinorum、つまりロバの橋として知られるようになり、それを証明できる数学者と証明できない愚か者を分けるものとなった。 [ 25 ] 西暦 3 世紀のパピルスであるパピルス Oxyrhynchus 29 には、命題 8-11 と 14-25 の断片が含まれている。 [ d ]第 1 巻の最後の 2 つの命題は、シアラロスが「驚くほど繊細」と評した、現存する最古のピタゴラスの定理の証明を構成している。[ 16 ]ピタゴラスの定理の図形自体は、花嫁の椅子、風車、孔雀の尾など、複数の名前でよく知られている。 [ 26 ]
第2巻は面積に焦点を当てており、面積は求積法によって測定されます。求積法とは、与えられた図形と同じ面積の正方形を作図することを意味します。この巻には余弦定理の幾何学的前身が含まれており、任意の長方形の求積法で最高潮に達します。[ 23 ] 19世紀後半から20世紀にかけて、第2巻は一部の数学史家によって「幾何代数」を確立するものと解釈されました。幾何代数とは、長さと面積の幾何学的概念による線形方程式と二次方程式の代数的操作の表現であり、[ 27 ] [ 28 ]二項定理の二次の場合を中心としています。[ 23 ]この解釈は1970年代から激しく議論されてきました。[ 28 ]批評家は、初期の代数の基礎でさえ何世紀も後にできたため、この特徴づけは時代錯誤であると述べています。[ 16 ]それにもかかわらず、幾何学に関する記述として捉えると、本書の命題の多くは、代数を用いることで包含できるため、現代数学には不要である。[ 29 ]
第2巻命題11は、与えられた線分を極値と中値の比率に分割し、これを黄金比と呼ぶ。これは、この比率に関するいくつかの命題の最初のものである。この比率は、後に第4巻で黄金三角形と正五角形を構成するために、また第13巻で正十二面体と正二十面体を構成するために使用され、第6巻命題30で比率として研究されている。[ 30 ] [ 31 ]
第 3 巻は 11 の定義のリストから始まり、円とその性質を扱う 37 の命題が続きます。命題 1 は円の中心を見つけることです。命題 2 から 15 は弦、交差する円、接する円に関するものです。円の接線は命題 16 から 19 の対象です。次に、円周角(20 から 22) と弦、弧、角 (23 から 30) に関する命題があり、その中には円周角と中心角の関係を示す円周角の定理(命題 20) が含まれています。命題 31 から 34 は円の角に関するもので、その中には半円に内接する角は直角であるというタレスの定理(命題 31 の一部) が含まれています。残りの命題 35 から 37 は交差する弦と接線に関するものです。命題35は交差弦定理であり、命題36は接線-割線定理である。[ 32 ]
第 4 巻では、多角形を円に内接させる問題、多角形を円に外接させる問題、円を多角形に内接させる問題、円を多角形に外接させる問題の 4 つの問題を、さまざまな多角形について体系的に扱っています。[ 33 ]これらの問題は、三角形、次に4、5、6、15 辺の作図可能な正多角形(つまり、定規とコンパスで作図できる多角形)について順に解かれています。 [ 4 ]
第5巻は、前の4巻とは独立しており、大きさの比（直感的には、ある図形が別の図形に比べてどれだけ大きいか小さいか）と比の比較を扱っています。[ 34 ]ヒースや他の翻訳者は、その最初の6つの命題を記号代数で、乗法の分配法則と乗法の結合法則の形式として定式化しました。しかし、レオ・コリーは、これは時代錯誤で誤解を招くと主張しています。なぜなら、ユークリッドは大きさを数として扱わず、また比を数から数への二項演算として扱わなかったからです。[ 35 ]
第5巻の大部分は、おそらく以前の数学者、おそらくエウドクソス[ 16 ]から得られたものだろうが、「交替」（ a : b :: c : dならばa : c :: b : d ）を扱うV.16のような特定の命題は、おそらくエウドクソスより古いものである[ 36 ] 。
クリストファー・ジーマンは、第5巻が量の加算における比率の挙動に焦点を当て、その結果として比率の比率を定義できなかったことが、ギリシャ人が交差比（射影幾何学の中心）などの重要な概念を発見できなかった原因となった欠陥であると主張している。[ 37 ]
第 6 巻は、平面幾何学の文脈で第 V 巻の比率の理論を使用し、特に相似図形 の構成と認識に用いています。 [ 4 ]この巻は、ほぼ完全に最初の命題[ 38 ]「高さが同じ三角形と平行四辺形は、互いに底辺に等しい」から成り立っています。つまり、2 つの三角形の高さが同じであれば、それらの面積の比は、2 つの底辺の長さの比と同じになります (高さが同じ 2 つの平行四辺形についても同様です)。この命題は、長さの比と面積の比の間の関係を提供します。[ 39 ]命題 25 は、任意の 2 つの多角形から、最初の多角形に相似で、2 番目の多角形と同じ面積を持つ 3 番目の多角形を構成します。プルタルコスはこの構成をピタゴラスに帰し、ピタゴラスの定理よりも「より巧妙で、より科学的」であると述べています。立方体を倍増させるという有名な古代ギリシャの問題は、コンパスと定規では不可能であることが現在では知られていますが、これは、指定された形状と体積を持つ図形を作図するという類似の3次元問題の特殊なケースです。[ 40 ]この本は、命題33で、角度の比と円弧の長さの比という2種類の比を結びつけることで、始まりと同じように終わります。[ 41 ]
数論、すなわち自然数の算術の理論は、第 VII 巻から第 X 巻で扱われています。第 VII 巻は、偶数か奇数か、素数、その他の算術関連概念に関する 22 個の定義から始まります。 [ 4 ]これらの定義の最初のものは単位 (現代の用語では、数 1) に関するもので、2 番目の定義は「数は単位から構成される多数である」と述べています。[ 42 ]これは一般的に、ユークリッドにとって 1 は数ではなく、自然数は 2 から始まるという意味に解釈されています。[ 43 ]
第 VII 巻は初等整数論を扱っており、39 の命題が含まれています。これらは大まかに次の 1 つに分類できます。ユークリッドの互除法、数が互いに素であるかどうかを判定する方法と最大公約数を求める方法(1–4)、分数 (5–10)、数の比例の理論 (11–19)、素数と互いに素な数と最大公約数の理論 (20–32)、最小公倍数(33–39)。[ 44 ]
第8巻の主題は等比数列である。[ 44 ]ユークリッドにとって、これらは現代の扱いのように指数法則（2つの連続する大きさが同じ比率を持つ）ではなく、連続比例の性質（2つの連続する大きさが同じ比率を持つ）によって定義されていた。数列の 番目の項は、次の形式をとる。定数の場合そしてこれによりユークリッドは2つ以上の値の乗算を避けることができたが、指数表記では明らかになる事実の証明がやや不格好になった。[ 45 ]
第VIII巻の最初の部分（命題1から10）は、一般に整数の等比数列の構成と存在、および等比数列の項同士の割り算について扱っています。命題11から27は、等比数列における平方数と立方数、およびこれらの特別な数列と任意の等比数列で2つまたは3つ離れた要素との関係について扱っています。[ 44 ]
第 VIII 巻で等比数列における平方数と立方数についての研究を続けた後、[ 44 ]第 IX 巻では、前の 2 巻の結果を適用し、素数の無限性(ユークリッドの定理、命題 20)、有限等比数列の和の公式(命題 35)、およびこの和を用いた偶数の完全数の構成(命題 36) を示します。ここで、ある数が完全数であるとは、その数の真の約数の和に等しい場合であり、たとえば 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 です。[ 4 ] [ 46 ]アルハゼンは1000 年頃に予想し、18 世紀にレオンハルト・オイラーが証明したように、この構成によってすべての偶数の完全数が生成される。この結果がユークリッド・オイラーの定理です。[ 47 ]
『原論』の中で、第X巻は群を抜いて最大かつ最も複雑で、（現代的な用語で言えば）大きさの文脈で無理数を扱っている。 [ 16 ] [ 48 ]命題9（現代的な用語で言い換えると）は、すべての非平方整数の平方根が無理数であることを証明している。2 の平方根。[ 49 ]命題29 の補題は、すべての基本ピタゴラス 3 個を生成するユークリッドの公式を示しています。[ 50 ]さらに、この本は無理数の長さを 13 の互いに素なカテゴリに分類し、それらの構成は、整数である他の長さとその平方根のさまざまな組み合わせに関連しています。[ 51 ]しかし、ウィルバー クノールは、「ユークリッドの第 10 巻にその長さと難解さが数学の宝を隠していることを期待して近づく学生は、おそらく失望するでしょう。…数学的なアイデアは少ないのです。」と警告しています。[ 52 ]
ユークリッドは、大きさを実数として扱い、それが有理数かどうかを問うのではなく、長さや面積の可換性、つまり2つの線分または2つの長方形が共通のサブユニットの整数倍で測定できるかどうかという観点からこの問題を扱っています。[ 48 ]長さを有理数または無理数に分類するという彼の考え方は、現代の意味とは異なります。ユークリッドにとって、線分は、その辺にある正方形の面積が有理数である場合に有理数です。つまり、ユークリッドにとって、長さは、つまり、有理面積の平方根はそれ自体が有理数である。[ 53 ]
本書は、プラトンの対話篇『テアイテトス』のソクラテス、キュレネのテオドロス、そして若い数学者テアイテトスの間の短い一節に関連している。この一節では、テオドロスによる、3から17までの非平方整数の平方根が無理数であるという証明について論じている（これは、はるか以前に発見された無理数性に基づいている）。）、テアイテトスによるこの結果をすべての非平方整数に一般化したもの、および無理数の部分的な分類（13 クラス未満）である。[ 54 ] [ 55 ]
最後の３巻は主に立体幾何学について論じている。[ 13 ]第XI巻は３７の定義のリストを紹介することで、次の２巻を文脈化している。[ 56 ]その基礎的な性格は第I巻に似ているが、第I巻とは異なり、公理系や公準は含まれていない。[ 56 ]
第 11 巻では、第 6 巻の結果を立体図形、すなわち平行六面体(3 組の平行な面を持つ多面体) の垂直性、平行性、体積、相似性に一般化しています。第 11 巻の 3 つのセクションには、立体幾何学 (1–19)、立体角 (20–23)、平行六面体 (24–37) の内容が含まれています。[ 56 ]
第12巻では、積分法の前身である積分法[ 56 ]を用いて円錐、角錐、円柱の体積を詳細に研究し、例えば円錐の体積は対応する円柱の体積の3分の1であることを示しています[57]。そして、球の体積を多数の角錐の和集合で近似することにより、球の体積は半径の3乗に比例する（現代の言葉で言えば）ことを示すことで結論付けています[ 58 ] 。
第13巻では、球に内接する5つのプラトン立体（正多面体）を構成し、それらの辺の長さと球の半径の比を比較し、[ 59 ]これらが唯一の正多面体であることを証明して『原論』を締めくくっている。[ 60 ]
ユークリッドが書いたものではない、第14巻と第15巻の2冊が、 『原論』の写本に伝わっている。[ 61 ]
これらの書籍に代表されるような、著名な著者の著作に加筆する慣習は、古代ギリシャの数学においては珍しいことではなかった。[ 61 ]
ユークリッドの公理的アプローチと構成的方法は広く影響を与えた。[ 63 ] [ 64 ]
ユークリッドの命題の多くは構成的であり、コンパス（円を描く道具）と定規（目盛りのない定規）を使って図形を構成する手順を詳細に述べることで、ある図形の存在を証明している。彼の構成的なアプローチは、直線と円の存在を述べる第一公準と第三公準が構成的であるように、幾何学の公準にも見られる。彼は、以前の定義に従って直線と円が存在すると述べるのではなく、直線と円を「構成」できると述べている。また、彼が証明で図形を使用するためには、以前の命題でそれを構成する必要があるようだ。例えば、彼はまず直角三角形の辺に正方形を内接させることでピタゴラスの定理を証明しているが、それは1つ前の命題で与えられた直線上に正方形を構成した後でなければならない。[ 65 ]
各結果の提示は様式化された形式で行われ、これはユークリッドが考案したものではないものの、典型的な古典的形式として認識されている。それは 6 つの異なる部分から構成されている。まず、「命題の表明」があり、結果を一般的な用語で述べる（つまり、命題の記述）。次に「配置」があり、図形を示し、特定の幾何学的対象を文字で示す。続いて「定義」または「仕様」があり、命題を特定の図形に関して言い換える。次に「構成」または「仕組み」が続く。ここでは、証明を進めるために元の図形が拡張される。次に「証明」自体が続く。最後に「結論」があり、証明で導き出された具体的な結論を命題の一般的な用語で述べることによって、証明と命題を結びつける。[ 66 ]
結果に至った推論方法については何も示されていないが、ユークリッドの別の著書である『データ』では、『原論』の最初の4巻で遭遇するタイプの問題への取り組み方について説明されている。[ 67 ]場合分け分析を伴う証明については、『原論』には最も難しい場合の詳細のみが記載されていることが多く、これらの場合分け分析の一部は、テオンなどの後世の編集者によって補足されている。[ 68 ]
ユークリッドの記述は、当時の一般的な数学的概念や記号によって制限されており、そのため現代の読者にはところどころぎこちなく感じられる。例えば、2 直角より大きい角度という概念はなく、[ 69 ] 1 という数は他の正の整数とは別に扱われることがあり、乗法は与えられた辺の長さを持つ長方形の面積として幾何学的に扱われたため、3 つ以上の異なる数の積は使用されなかった。数論を幾何学的に扱ったのは、代替案が極めて扱いにくいアレクサンドリア数字体系[ 70 ]、つまり各ギリシャ文字が 1 桁の 10 のべき乗の倍数を表すアルファベット数字体系[ 71 ]であったためかもしれない。
ユークリッドの『原論』は、これまで書かれた中で最も成功した教科書として言及されてきた。[ 18 ] [ 72 ]『原論』は、聖書に次いで、歴史上最も頻繁に翻訳、出版、研究された書物としてしばしば考えられている。[ 73 ]アリストテレスの『形而上学』とともに、『原論』はおそらく最も成功した古代ギリシア語のテキストであり、中世イスラム世界と西ヨーロッパで支配的な数学の教科書であった。[ 73 ] [ 72 ]これは印刷機の発明後に印刷された最も初期の数学書の1つであり、 1482年の初版以来、出版された版数では聖書に次いで2番目であると推定されており、 [ 74 ] [ 75 ]その数は1000をはるかに超えている。[ 75 ]
ユークリッドの『原論』に関する現存する最古の証拠は、紀元前3世紀のエレファンティネのパピルスとオストラコンの中から発見された6つのオストラコン（文字が刻まれた粘土片）で、正十二面体の作図に関する命題 XIII.10 と XIII.16 を扱っている。[ 76 ]ヘルクラネウムから回収されたパピルス[ 77 ]には、エピクロス派の哲学者デメトリオス・ラコンによるユークリッドの『原論』に関するエッセイが含まれている。[ 76 ] 『原論』の実際のテキストを含む現存する最古のパピルスは、紀元75～125 年頃のパピルス・オキシリンコス 29で、第 2 巻命題 5 のテキストと付随する図を含む断片である。[ 78 ]
ギリシャ語テキストの写本は今も存在し、その一部はバチカン図書館やオックスフォードのボドリアン図書館に所蔵されている。 [ e ] [ f ]現存する写本の質は様々で、しばしば不完全である。[ 79 ]翻訳と原文を注意深く分析することで、原文の内容に関する仮説が立てられてきた。[ 80 ]また、テキストへの注釈であるスコリアも重要である。これらの追加部分は、多くの場合（写本によって異なるが）、説明やさらなる研究に値するものについての意見が変化するにつれて、徐々に蓄積されていった。[ 81 ]
西暦4世紀、アレクサンドリアのテオンはユークリッドの版を作成したが、これは非常に広く使われたため、フランソワ・ペイラールが1808年にバチカンでテオンの版に由来しない写本を発見するまで、現存する唯一のギリシャ語の資料（複数の写本）となった。[ 82 ]この写本、MS. Vat.gr.190、[ e ]は10世紀に転写された。この写本にはテオンが編集したことを示すテキストは含まれておらず、テオンが自身の追加だと主張する第6巻命題33の系が欠落している。ギリシャ語版はいずれも、アラビア語訳の『原論』にはない命題とその証明以外の多くの説明を含んでいる。これが19世紀の学術論争を引き起こし、M. クラムロスとJ.L. ハイバーグの間で、さまざまな版の違いがユークリッドの本文の要約か追加かを反映しているかどうかについて議論が交わされた。この問題を再検討するにあたり、ウィルバー・クノールは、アラビア語の資料の方が原典に近いという点でクラムロスに賛同するが、「我々はこれまでユークリッドの『真正な』テキストを持っておらず、今後も持つことはないだろう」と結論づけている。[ 82 ]
例えばキケロはユークリッドを知っていたが、5世紀または6世紀のボエティウス以前にそのテキストがラテン語に翻訳されたという記録は存在しない。 [ 83 ]
古典古代から西洋で印刷術が発明されるまで、『エレメンツ』のようなテキストは写本の複製という過程を通して保存され、複製されてきた。これは骨の折れる高価な作業であったため、写本はしばしば富裕層のコレクションや、中世イスラム世界の知恵の館、中世ヨーロッパの修道院や初期の大学などの機関に限定されていた。[ 84 ]
イスラム世界は760年頃にビザンツ帝国から『聖典の要素』を受け取った。当時の資料によると、この版はハールーン・アッ＝ラシード（800年頃）のもとでアラビア語に翻訳され、 [ 83 ]アル＝ハッジャージュ・イブン・ユースフ・イブン・マタールによって2つの版が作成された。別のアラビア語訳は9世紀後半にイシャク・イブン・フナインによって作成され、サービト・イブン・クッラによって改訂された。[ 85 ] [ 86 ]ほとんどのアラビア語写本はこれらの翻訳のいずれかに帰属されているが、両方からの資料が混ざっているものもあり、[ 85 ]それらの帰属は現存する写本のテキストの類似性からの証拠と必ずしも一致しない。[ 86 ]この混ざり合いは、中世のアラビア語からヘブライ語への翻訳にも受け継がれた。[ 85 ]
ビザンツの学者アレタスは、9 世紀後半にユークリッドのギリシャ語写本の 1 つを写本するように依頼しました。[ 87 ]この写本ともう 1 つのビザンツ写本は、ギリシャ語テキストの現存する最古の 2 つの写本です。[ 88 ] 『原論』はビザンツでは知られていましたが、1120 年頃まで西ヨーロッパでは失われていました。[ 89 ]ただし、他の著作で引用されているボエティウス( 500年頃)によるラテン語訳の断片は例外です。[ 90 ] [ g ] 1120 年頃、イングランドの修道士バースのアデラードは、アラビア語訳から『原論』をラテン語に翻訳しました。 [ 91 ]比較的最近、シチリア島のパレルモで 12 世紀のギリシャ語からラテン語への翻訳が発見されました。翻訳者の名前は、アルマゲストをラテン語に翻訳するためにパレルモを訪れていたサレルノ出身の匿名の医学生であったこと以外はわかっていません。ユークリッドの写本は現存しており、ほぼ完全な状態である。[ 89 ]
アデラールの翻訳（アデラール I として知られるようになった）の後、アラビア語からの翻訳が急増した。この時期の著名な翻訳者には、 1140 年頃に版を作成したケルンテンのヘルマン、ロバート・オブ・チェスター（彼の写本はまとめてアデラール II と呼ばれ、1251 年以前に書かれた）、ジョン・オブ・タインマス[ 92 ]（12 世紀後半、彼の写本はまとめてアデラール III と呼ばれている）、ジェラール・オブ・クレモナ（1120 年以降、1187 年以前）などがいる。これらの翻訳の詳細な伝承史は、現在も活発な研究分野である[ 93 ] 。カンパヌス・オブ・ノヴァラは、これらのアラビア語の翻訳に大きく依存して自身の版（1260 年以前）を作成し、それが最終的に 16 世紀にギリシャ語の写本が入手可能になるまでラテン語版を支配するようになった。 1482年以前のカンパヌスの写本は、今日でも100点以上残っている。[ 90 ] [ h ]ヨーロッパで入手可能になった後、『エレメンツ』の最初の巻は、文法、論理学、修辞学の三科に続く第二段階の教育であるクアドリヴィウムの一部として、中世の大学で標準となった。[ 84 ]
『エレメンツ』の最初の印刷版は、カンパヌスの版に基づいてエルハルト・ラトドルトによって1482年に出版され[ 94 ]、それ以来、多くの言語に翻訳され、1000以上の異なる版が出版されている[ 75 ] 。テオンのギリシャ語版から派生した写本が発見され、1505年にバルトロメオ・ザンベルティによってヴェネツィアでラテン語訳が出版された[ 95 ]。ギリシャ語の原文自体は1533年に出版された[ 96 ]。 『エレメンツ』を近代ヨーロッパ言語に翻訳した最初の人物はニコロ・タルタリアで、1543年にイタリア語版を出版した[ 97 ]。
1570年、ジョン・ディーは、ヘンリー・ビリングスリーによる最初の英語版に、広く評価されている「数学的序文」と、豊富な注釈および補足資料を提供した。[ 98 ] [ 99 ] [ 100 ] 1607年、イタリアのイエズス会士マテオ・リッチと中国の数学者徐光啓は、ユークリッドの『原論』の最初の中国語版を出版した。[ 101 ]
ルネサンス期には、ピエロ・デッラ・フランチェスカの『De quinque corporibus regularibus』（1400年代後半）、ルカ・パチョーリによるその盗作『Divina proportione』（1498年、レオナルド・ダ・ヴィンチによる挿絵）、ヴェンツェル・ヤムニッツァーの『Perspectiva corporum regularium』（1568年）など、透視図法を用いた多面体に関する新たな著作も生まれた。[102] デッラ・フランチェスカのこの方向での最初の著作の主なインスピレーションは『原論』であった。[ 103 ] [ 104 ]パチョーリはヴェネツィアでユークリッドについて講義を行い、彼の解説は『原論』の1509年版に収録された。[ 105 ]ヤムニッツァーも同様に、著書の副題で『原論』に言及している。 [ 106 ]
この時期には新たに出版された教科書が爆発的に増えたものの、教師たちは古典に固執することが多かった。例えば、 16世紀のオランダの人文主義者ヨアヒム・ステルク・ファン・リンゲルベルフの推薦図書リストには、『原論』が唯一の数学書として挙げられている。[ 107 ]印刷版が存在するようになった後も、大学は学生に大学所蔵の『原論』から手書きで書き写すことを期待することがあった。[ 108 ]
19 世紀には、幾何学の教科書として『原論』の人気が衰えました。その理由の一つは、アドリアン＝マリー・ルジャンドルによるものなどの新しい教科書に取って代わられたこと[ 109 ] [ 110 ] [ 111 ] 、もう一つは、非ユークリッド幾何学、解析幾何学、記述幾何学などの他の形式の幾何学が台頭したこと[ 112 ] [ 113 ] 、そしてもう一つは、暗記よりも直観を重視する数学教育へのアプローチを求める圧力があったこと[ 112 ] [ 114 ] です 。特にチャールズ・ドジソン（ルイス・キャロルとしてよく知られている）は、著書『ユークリッドとその現代のライバルたち』（1879 年）の中で、ユークリッドのこの置き換えに強く反対しました。[ 109 ]『原論』のもう一人の擁護者である数学者で歴史家のWWラウズ・ボールは、「2000年間も『原論』がこの分野の教科書として使われてきたという事実は、それがその目的に不適切ではないという強い推測を生む」と述べている。[ 69 ]教育現場で広く使われなくなったにもかかわらず、『原論』は今でも実験的な教育プロジェクトの教科書として時折使われている。[ 115 ]
『原論』は数学史における学術研究の対象であり続けており、現代数学の2つの分野、すなわち非ユークリッド幾何学[ 116 ] [ 117 ]と公理的方法[ 118 ] [ 119 ]の発展に大きな影響を与えてきた。
『原論』で確立された幾何学体系は長らくこの分野を支配してきたが、今日では19世紀初頭に発見された他の非ユークリッド幾何学と区別するために「ユークリッド幾何学」と呼ばれることが多い。[ 73 ]
ユークリッドが現代数学、そして数学を超えて現代物理学や一般相対性理論の発見に与えた最も顕著な影響の一つは、平行線公準についての議論である。[ 116 ] [ 117 ]第1巻で、ユークリッドは5つの公準を挙げており、その5番目は[ 120 ]と規定している。
つまり、ある直線が2本の直線に交わり、同じ側の内角が2直角より小さい場合、その2本の直線を無限に延長すると、2直角より小さい角が存在する側で交わる。
この公準は、他の4つの公準に比べて明らかに複雑であるため、何世紀にもわたって数学者を悩ませてきました。他の4つの公準に基づいて第5公準を証明しようとする試みが数多く行われましたが、成功した例はありませんでした。最終的に1829年、数学者のニコライ・ロバチェフスキーは、平行公準の異なる形式を仮定した幾何学である鋭角幾何学（または双曲幾何学）の説明を発表しました。実際には、第5公準を全く使用しない、あるいは第5公準の異なるバージョンを使用する有効な幾何学（楕円幾何学）を作成することが可能です。第5公準を所与のものとして受け入れると、結果としてユークリッド幾何学が得られます。[ 121 ]
ユークリッドの『原論』の公理的推論は、長い間、数学的厳密性の基準を確立するものと考えられてきたが、[ 122 ] 19 世紀後半に、ユークリッドの推論に欠陥が見つかり [123]、デイヴィッド・ヒルベルトが「ユークリッドの公理的観点を復活させ」、すべての数学的および物理的問題を簡単な計算で解決できる改良された公理系を開発しようと試み始めたとき [ 118 ]、ユークリッドの公理の健全性と完全性の問題が前面に出てきた。ヒルベルトの希望は、20 世紀初頭の基礎的危機で打ち砕かれた。この危機では、クルト・ゲーデルらが、集合論の健全な公理系は必ず不完全でなければならないことを発見した。 [ 124 ] 21世紀には、コンピュータ支援証明という新たな厳密性の基準が生まれ、原論の命題（証明に若干の更新を加えたもの）はコンピュータによる検証に耐えた。[ 119 ] [ 125 ]
『原論』の基礎的な証明の中には、ユークリッドが公理として明示的に述べていない仮定を用いるものがある。例えば、第1巻の最初の正三角形の作図において、ユークリッドは、同じ線分を半径とする2つの円は、何らかの理由で交わらないのではなく、2点で交わるという、仮定も証明もしていない前提を用いた。[ 126 ] [ 127 ]この例は、図の位相的性質のみに依存しており、図が不正確に描かれていても、その性質は明らかである。[ 128 ]しかし、他の場合、ユークリッドは、ある対象が互いに区別されているか分離されていることを証明しておらず、それらが一致する可能性（一種の退化）は、単一の図からは明らかではないかもしれない。その例として、ユークリッドの角の二等分があり、与えられた角に二等辺三角形を、同じ底辺を持つ正三角形を作図し、2つの三角形の頂点を線で結ぶ。これは、初期角度が 60° で 2 つの頂点が一致する場合に破綻します。[ 125 ]
『原論』の後の編集者たちは、パッシュの公理[ 129 ] [ 130 ]などの暗黙の公理的仮定を、版の形式的公理のリストに含めた[ 131 ] 。より完全な公理セットを構築しようとする初期の試みには、ヒルベルトの幾何学公理[ 132 ] [ 133 ]とタルスキの公理[ 129 ] [ 134 ]がある。2017年、マイケル・ビーソンらは、コンピュータ証明支援システムを使用して、ユークリッドのものに似た公理セットを作成し、検証した。ビーソンらは、ヒルベルトのシステムではなくタルスキのシステムを出発点として選んだ。なぜなら、タルスキのシステムはユークリッドのシステムに近く、その公式の変数として点のみを使用するからである。彼らはこれらの公理を用いて、第1巻のすべての命題のコンピュータ検証証明を提供し、また（実数の別の論理形式化を用いて）彼らのすべての公理がデカルト座標系の点に対して有効であることを証明した。[ 125 ]
ユークリッドの『原論』は、ギリシャ語、ラテン語、英語、その他の言語で1000版以上出版されている[ 75 ] 。その中でも特に重要なものには以下のようなものがある。
