交差弦定理

ユークリッド幾何学において、交差弦定理、または単に弦定理は、円内の交差する 2 本の弦によって作られる4 つの線分の関係を説明する定理です。各弦上の線分の長さの積は等しいと述べられています。これは、ユークリッドの『原論』第 3 巻の命題 35 です。

より正確には、点Sで交差する2 つの弦ACとBDに対して次の式が成り立ちます。 $${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$$

逆もまた真なりです。つまり、Sで交差する2つの線分ACとBDについて上記の式が成り立つ場合、それらの 4 つの端点A、B、C、Dは共通の円上にあります。言い換えると、四辺形ABCDの対角線がSで交差し、上記の式を満たす場合、それは循環四辺形です。

弦定理における 2 つの積の値は、交点 Sから円の中心までの距離のみに依存し、 Sの累乗の絶対値と呼ばれます。より正確には、次のように述べることができます。 ここで、rは円の半径、 d は円の中心と交点Sの間の距離です。この特性は、弦定理をSと円の中心Mを通る 3 番目の弦に適用すると直接得られます(図を参照)。 $${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|=r^{2}-d^{2}}$$

この定理は相似三角形を使って証明できる（円周角定理による）。三角形△ ASDと△ BSCの角度を考えてみよう。 これは三角形△ ASDと△ BSCが相似であり、したがって $${\displaystyle {\begin{aligned}\angle ADS&=\angle BCS\,({\text{AB 上の内接角}})\\\angle DAS&=\angle CBS\,({\text{CD 上の内接角}})\\\angle ASD&=\angle BSC\,({\text{反対角}})\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {AS}{SD}}={\frac {BS}{SC}}\Leftrightarrow |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$$

交差弦定理は、接線-正接定理と交差正接定理に次いで、交差弦定理は、交差する 2 本の直線と円に関するより一般的な定理である点のべき乗定理の 3 つの基本ケースのうちの 1 つを表します。

• ポール・グレイスター：交差する弦の定理：30年後。Mathematics in School、第36巻、第1号（2007年1月）、p. 22（JSTOR）
• ブルース・ショーヤー：幾何学の探求。ワールド・サイエンティフィック、2010年、ISBN  9789813100947、p. 14
• ハンス・シュップ:要素幾何学。シェーニング、パーダーボルン、1977 年、ISBN 3-506-99189-2、p. 149 (ドイツ語)。 
• シューラーデューデン - 数学 I。 Bibliographisches Institut & FA Brockhaus、8. Auflage、マンハイム 2008、ISBN 978-3-411-04208-1、pp. 415-417 (ドイツ語) 

• cut-the-knot.org の交差弦定理
• 交差する弦の定理は、 proofwiki.org のWayback Machineで 2020-12-01 にアーカイブされています。
• ワイスタイン、エリック・W.「コード」。マスワールド。
• 2つのインタラクティブなイラスト: [1] と [2]