ユークリッド・オイラーの定理

ユークリッド・オイラーの定理は、数論における定理の一つで、完全数とメルセンヌ素数を関連付けるものです。この定理によれば、偶数が完全数であるのは、それが2 ^{p −1} (2 ^p − 1)の形である場合に限ります。ここで、2 ^p − 1は素数です。この定理は、それぞれ定理の「もし」と「もし」の側面を証明した数学者ユークリッドとレオンハルト・オイラーにちなんで名付けられました。

メルセンヌ素数は無限に存在するという推測がなされてきた。この推測の真偽は未だ不明であるが、ユークリッド・オイラーの定理によれば、偶数の完全数は無限に存在するという推測と同等である。しかし、奇数の完全数が一つでも存在するかどうかも不明である。^{[ 1 ]}

完全数とは、その数を割り切る（余りがゼロになる）真の約数の合計に等しい自然数のことです。例えば、6の真の約数は1、2、3であり、これらを足すと6になるので、6は完全数です。

メルセンヌ素数とは、 M _p = 2 ^p − 1の形の素数で、 2 のべき乗より 1 小さい数です。この形の数が素数であるためには、p自体も素数でなければなりませんが、すべての素数がこのようにしてメルセンヌ素数になるわけではありません。例えば、2 ³ − 1 = 7はメルセンヌ素数ですが、2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89はメルセンヌ素数ではありません。

ユークリッド・オイラーの定理によれば、偶数の自然数が完全数であるのは、それが2 ^{p −1} M _pの形である場合のみである。ここで、M _pはメルセンヌ素数である。^{[ 1 ]}完全数 6 は、このようにp = 2から2 ²⁻¹ M ₂ = 2 × 3 = 6となり、メルセンヌ素数 7 も同様に完全数 28 に対応する。

ユークリッドは、2 ^p − 1が素数であるとき、 2 ^{p −} 1 (2 ^p − 1)が偶数の完全数であることを証明しました。これは、ユークリッドの『原論』における数論の最終結果です。 『原論』の後の巻では、無理数、立体幾何学、黄金比について扱っています。ユークリッドは、 1から始まる比 2 の有限等比数列の和が素数qである場合、この和に数列の最後の項tを掛けたものが完全数であると述べることで、この結果を表現しています。これらの用語で表現すると、有限数列の和qはメルセンヌ素数2 ^p − 1であり、数列の最後の項tは 2 のべき乗2 ^{p − 1}です。ユークリッドは、qから始まる比 2 の等比数列が同じ項数で元の数列に比例することを観察することで、qt が完全数であることを証明しています。したがって、元の数列の合計はq = 2 t − 1なので、2 番目の数列の合計はq (2 t − 1) = 2 qt − qとなり、両方の数列の合計は2 qtとなり、想定される完全数の 2 倍になります。しかし、これら 2 つの数列は互いに素であり、( qの素数性により) qtのすべての約数を尽くすので、qt は合計が2 qtになる約数を持ち、完全数であることが示されます。^{[ 2 ]}   

ユークリッドから千年以上経った紀元1000年頃のアルハゼンは、偶数の完全数はすべて2 ^{p −1} (2 ^p − 1)の形であると推測したが、 2 ^p − 1は素数であるが、この結果を証明することはできなかった。^{[ 3 ]}ユークリッドから2000年以上経った18世紀になって初めて、^{[ 4 ]}レオンハルト・オイラーが、公式2 ^{p −1} (2 ^p − 1)がすべての偶数の完全数を生み出すことを証明した。^{[ 1 ] [ 5 ]}このように、偶数の完全数とメルセンヌ素数の間には1対1の関係があり、各メルセンヌ素数は1つの偶数の完全数を生成し、その逆もまた同様である。オイラーによるユークリッド・オイラーの定理の証明の後、ヴィクトル＝アメデ・ルベーグ、ロバート・ダニエル・カーマイケル、レナード・ユージン・ディクソン、ジョン・クノップマッハー、ウェイン・L・マクダニエルなど、他の数学者たちが様々な証明を発表した。特にディクソンの証明は教科書でよく使われている。^{[ 6 ]}

この定理は、1999年に作成された「数学の定理トップ100」のウェブリストに含まれており、後にフリーク・ヴィーダイクによってさまざまな証明支援システムの性能をテストするためのベンチマークセットとして使用されました。2025年4月現在 ユークリッド・オイラーの定理の証明は、ヴィーダイクが記録した12の証明支援装置のうち7つで形式化されていた。^{[ 7 ]}

オイラーの証明は簡潔で^{[ 1 ]} 、約数の和関数σが乗法的であるという事実に基づいています。つまり、aとbが互いに素な任意の2つの整数である場合、σ ( ab ) = σ ( a ) σ ( b )となります。この公式が有効であるためには、数の約数の和には、真の約数だけでなく、その数自体も含まれていなければなりません。数が完全数であるのは、その約数の和がその数の2倍である場合のみです。

必要性

反対に、偶数の完全数が与えられ、それを2kxのように部分的に因数分解したとします。^ここでxは^奇数です。2kxが完全数であるためには、その約数の和がその値の2倍でなければなりません。

(∗)の右辺にある奇数因数2 ^{k +1} − 1は少なくとも 3 であり、左辺にある唯一の奇数因数xを割り切る必要があるため、 x /(2 ^{k +1} − 1)はxの真の約数である。 (∗)の両辺を共通因数2 ^{k +1} − 1で割り、 xの既知の約数xとx /(2 ^{k +1} − 1)を考慮すると、次のようになる。

${\displaystyle 2^{k+1}x/(2^{k+1}-1)=\sigma (x)=x+x/(2^{k+1}-1)+{}}$その他の約数${\displaystyle {}=2^{k+1}x/(2^{k+1}-1)+{}}$その他の約数。

この等式が成り立つためには、他の約数は存在し得ない。したがって、x /(2 ^{k +1} − 1)は1でなければならず、x は2 ^{k +1} − 1の形の素数でなければならない。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}