ベシカ・ピシス

魚の浮袋はレンズの一種で、同じ半径の2枚の円板が交差して形成される数学的な形状で、各円板の中心がもう一方の円板の周囲に重なるように交差しています。^[1]ラテン語で「魚の浮袋」とは文字通り「魚の浮袋」を意味し、ほとんどの魚に見られる結合した2つの浮袋（浮き袋）に形状が似ていることを反映しています。^{[2]イタリア語では、この形状の名前は}マンドルラ（「アーモンド」）です。^[3] 3次元で同様の形状はレモンです。

この図形はユークリッドの『原論』の第一命題に登場し、コンパスと定規を使って正三角形を描く最初のステップとなっている。三角形の頂点は2つの円板の中心と魚のうの2つの鋭角のうちの1つである。 ^[4]

数学的には、魚の嚢はレンズの特殊なケースであり、2 つの円盤が交差して形成される形状です。

魚のう胞の高さと中心の幅の比は3 の平方根、つまり 1.7320508... である (2 つの円の中心を互いに結び、円が交差する 2 つの点を結ぶ直線を引くと、2 つの正三角形が 1 つの辺に沿って結合するため)。比率 265:153 = 1.7320261... と 1351:780 = 1.7320513... は、この値の近似値の 2 つであり、それぞれより小さい整数ではよりよい近似値が得られないという性質がある。 シラキュースのアルキメデスは、円の測定において、これらの比率を上限と下限として使用している: ^[5]

${\displaystyle {\frac {1351}{780}}>{\sqrt {3}}>{\frac {265}{153}}\,.}$

魚の膀胱の領域は、2 つの正三角形と 4 つの等しい円セグメントによって形成されます。図では、1 つの三角形と 1 つのセグメントが青色で表示されます。

1 つの三角形と 1 つの線分が円の 6 分の 1 (60°) の扇形を形成します。この扇形の面積は次のようになります。 ${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi r^{2}}$

正三角形の辺の長さはrなので、面積は です。 ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}}$

セグメントの面積は、次の 2 つの面積の差です。

${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi r^{2}-{\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}}$

2 つの三角形と 4 つの線分の面積を合計すると、魚の膀胱の面積が得られます。

${\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(4\pi -3{\sqrt {3}}\right)r^{2}\approx 1.2284r^{2}}$

ヴェシカ・ピシスの2つの円、または3つのヴェシカをペアで形成する3つの円は、ベン図でよく使用されます。同じ3つの円の弧は、トリケトラ記号やルーローの三角形を形成するためにも使用できます。^[3]

キリスト教美術では、一部の光輪は垂直に向いた魚の盃の形をしており、教会組織の印章は垂直に向いた魚の盃で囲まれることがある（より一般的な円形の囲みではなく）。また、魚のシンボルには魚の盃の形が取り入れられている。カトリック教会の教会紋章は、ほとんどが魚の盃の形をした印章で最初に登場した。^{[6] [7]}魚の盃はフリーメイソンリーで使用されており、特にフリーメイソンの儀式の司祭が着用する首輪の形で使用されている。^[8]また、フリーメイソンのロッジの印章を囲むのに適切な形であると考えられていた。^{[9] [10]}

ヴェシカ・ピシスは建築、特にゴシック建築における比例システムとしても使用されている。このシステムは、チェーザレ・チェザリアーノによる1521年版のウィトルウィウスの『建築について』に描かれており、チェーザレはこれを「ドイツ建築家の規則」と呼んでいる。ヴェシカ・ピシスは建築家カルロ・スカルパのライトモチーフであり、イタリアのサン・ヴィート・ダルティヴォレにあるブリオン墓地の「観覧装置」として使用されている。^[11]

他にもこの形状を特徴とするアートワークやデザインがいくつかあります。

• グラストンベリー（イギリス）の聖杯の井戸の蓋には、魚の盃のデザインが様式化されて描かれています。
• スーザン・レイサムの数学彫刻のいくつかは、魚の膀胱を形成する2つの円の平面描写から得られた3次元形状を使用しており、この形状は、魚の膀胱の内側の弧に沿って折り畳まれ、2つの外側の弧が1つの曲線で交わる曲面として変形されています。その形状は、展開可能な曲面の数学を使用して分析できます。^[12]

魚の膀胱にはさまざまな象徴的な意味が関連付けられています。

• レンズが水平になるように配置され、2つの重なった円が上下に配置されている場合、それは2つの円によって表される精神世界と物質世界の境界面を象徴しています。^{[13] [14]}この配置では、それはキリストのイクティス（魚）のシンボルにも似ており、^{[14]生命、「精神の物質化」、キリストによる天と地の仲介、}聖餐の象徴でもあると言われています。^[15]
• レンズを垂直に配置して光輪や光輪を描くと、神の栄光を表します。^[16]
• レンズが垂直になるように配置された場合、それは外陰部を描写しているとも言われ、女性らしさと豊穣の象徴である。^{[3] [17]}
• ユークリッドがこの図を使って正三角形を作った図は、ジェイムズ・ジョイスの『フィネガンズ・ウェイク』でレンズを垂直に配置する際に登場し、「理性的な男性の象徴」と言われているが、これも女性らしさを象徴する膣の三角形に重ねられている。^[18]

• 
  中世の彩飾写本に描かれたマンドルラ型の光輪の中にいる威厳あるキリスト
• 
  グアムの国章
• 
  三角形の2つの等角中心は、三角形の頂点となる3つの魚の尾の交点である。

• この原理に基づいた図形「生命の花」
• ヴィラルソー円はトーラスから派生した2つの合同な円であるが、通常は互いの円周上に中心が置かれていない。
• レモン（幾何学）、同様の立体形状

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• ワイスシュタイン、エリック W.、「Vesica Piscis」、MathWorld