クロスレシオ

幾何学において、複比は二重比や非調和比とも呼ばれ、4つの共線上の点、特に射影直線上の点に関連付けられた数値です。直線上の4つの点A、B、C、Dを考えると、それらの複比は次のように定義されます。

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}}$

ここで、直線の向きによって各距離の符号が決まり、距離はユークリッド空間に投影されて測定されます。(4 つの点のうちの 1 つが直線の無限遠点である場合、その点を含む 2 つの距離は式から除外されます。) 点D は、四重体の複比が-1の場合に、AおよびBに関してCの調和共役であり、調和比と呼ばれます。したがって、複比は、この比からの四重体の偏差を測定したものと見なすことができます。 そのため、非調和比と呼ばれます。

複比は線型分数変換によって保存されます。これは本質的に、共線上の点の 4 点に対する唯一の射影不変量であり、これが射影幾何学におけるその重要性の基礎となっています。

複比はおそらくユークリッドによってかなり昔に定義されており、パップスによって考察され、その重要な不変性に注目された。19世紀には広範囲に研究された。^[1]

この概念のバリエーションは、射影平面上の 4 本の並行直線とリーマン球面上の 4 本の点に対して存在します。双曲幾何学のケーリー・クラインのモデルでは、点間の距離は特定の複比で表現されます。

アレクサンドリアのパップスは、著書『コレクション：第7巻』で、複比に相当する概念を暗黙的に使用しています。パップスの初期の使用者には、アイザック・ニュートン、ミシェル・シャスル、ロバート・シムソンなどがいます。1986年にアレクサンダー・ジョーンズはパップスの原著を翻訳し、パップスの補題が現代の用語とどのように関係しているかについての解説を執筆しました。^[2]

射影幾何学における複比の現代的な使用は、 1803年にラザール・カルノーが著書『位置幾何学』で始めた。^{[3] [必要なページ数] 1837年にシャレスがフランス語で}rapport anharmonique [非調和比]という用語を作った。^[4]ドイツの幾何学者はこれをdas Doppelverhältnis [二重比] と呼んでいる。

カール・フォン・シュタウトは、ユークリッド距離の代数的操作に依存し、純粋に総合的な射影幾何学の概念に基づいたものではない過去の複比の定義に満足していなかった。1847年、シュタウトは、射影調和共役の構築に基づく代数を作成することで、代数構造が射影幾何学に暗黙的に含まれていることを実証した。シュタウトはこれをスロー（ドイツ語：Wurf ）と呼んだ。直線上の3つの点が与えられた場合、調和共役は複比が−1に等しくなる4番目の点である。彼のスローの代数は、通常は公理として扱われるが射影幾何学で証明される数値命題へのアプローチを提供する。^[5]

英語の用語「cross-ratio」は1878年にウィリアム・キングドン・クリフォードによって導入されました。^[6]

A、B、C、Dが有向アフィン直線上の 4 つの点である場合、それらの複比は次のようになります。

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC:BC}{AD:BD}},}$

表記は、WからXへの変位とYからZへの変位の符号付き比を意味するように定義されています。共線変位の場合、これは無次元量です。 ${\displaystyle WX:YZ}$

変位自体を符号付き実数とすると、点間の複比は次のように表される。

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC}{BC}}{\bigg ></\frac {AD}{BD}}={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}.}$

が射影的に拡張された実数直線である場合、における4つの異なる数の複比は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle (x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})={\frac {x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}}{\bigg ></\frac {x_{4}-x_{1}}{x_{4}-x_{2}}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})(x_{4}-x_{1})}}.}$

の1つが無限遠点（）である場合、これは次のように簡約される。 ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ ${\displaystyle \infty}$

${\displaystyle (\infty ,x_{2};x_{3},x_{4})={\frac {(x_{3}-\infty )(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})(x_{4}-\infty )}}={\frac {(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})}}.}$

同じ公式は4つの異なる複素数、あるいはより一般的には任意の体の元に適用することができ、また、上記のようにそのうちの1つが${\displaystyle \infty ={\tfrac {1}{0}}.}$

4つの共線点A、B、C、Dの複比は次のように表される。

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC:CB}{AD:DB}}}$

ここで、 は点C が線分AB を分割する比を表し、 は点D が同じ線分を分割する比を表します。複比は比の比として現れ、2つの点CとD が線分ABに対してどのように位置しているかを表します。点A、B、C、Dが別個である限り、複比( A、B ; C、D )は非ゼロの実数になります。簡単に次のように推測できます。 ${\textstyle AC:CB}$${\textstyle AD:DB}$

• ( A , B ; C , D ) < 0となるのは、点CまたはDのどちらかが点Aと点 B の間にあり、もう一方の点が点Aと点 Bの間にない場合である。
• ( A、B ; C、D ) = 1 / ( A、B ; D、C )
• ( A , B ; C , D ) = ( C , D ; A , B )
• ( A、B ; C、D ) ≠ ( A、B ; C、E ) ≡ D ≠ E

4 つの点は4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24通りの順序に並べることができますが、それらを 2 つの順序のないペアに分割する方法は 6 つしかありません。したがって、4 つの点には 6 つの異なる交差比しか存在できず、それらは次のように関係します。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A)=\lambda ,{\vphantom {\frac {1}{1}}}\\[4mu]&(A,B;D,C)=(B,A;C,D)=(C,D;B,A)=(D,C;A,B)={\frac {1}{\lambda }},\\[4mu]&(A,C;B,D)=(B,D;A,C)=(C,A;D,B)=(D,B;C,A)=1-\lambda ,{\vphantom {\frac {1}{1}}}\\[4mu]&(A,C;D,B)=(B,D;C,A)=(C,A;B,D)=(D,B;A,C)={\frac {1}{1-\lambda }},\\[4mu]&(A,D;B,C)=(B,C;A,D)=(C,B;D,A)=(D,A;C,B)={\frac {\lambda -1}{\lambda }},\\[4mu]&(A,D;C,B)=(B,C;D,A)=(C,B;A,D)=(D,A;B,C)={\frac {\lambda }{\lambda -1}}.\end{aligned}}}$

下記の非調和群を参照してください。

複比は射影直線の 射影変換によって保存されるという意味で射影不変量です。

特に、4 つの点が直線上にある場合、その交差比は明確に定義された量です。これは、原点や直線上のスケールを任意に選択しても、交差比の値は同じになるためです。 ${\textstyle L}$${\textstyle {\mathbf {R}}^{2}}$

さらに、平面上で同じ点 を通る 4 本の異なる直線 があるとします。を通らない直線は、これらの直線と 4 つの異なる点で交差します(が に平行である場合、対応する交点は「無限遠」にあります)。 これらの点の交差比 (固定された順序で取られる) は直線 の選択に依存せず、したがって 4 組の直線の不変量であることがわかります。${\textstyle \{L_{i}\mid 1\leq i\leq 4\}}$${\textstyle Q}$${\textstyle L}$${\textstyle Q}$${\textstyle P_{i}}$${\textstyle L}$${\textstyle L_{i}}$${\textstyle L}$${\textstyle L_{i}.}$

これは次のように理解できます。と がを通過しない 2 本の線分である場合、から への透視変換 (中心)は、 上の 4 つの点を上の4 つの点に変換する射影変換です。 ${\textstyle L}$${\textstyle L'}$${\textstyle Q}$${\textstyle L}$${\textstyle L'}$${\textstyle Q}$${\textstyle \{P_{i}\}}$${\textstyle L}$${\textstyle \{P_{i}'\}}$${\textstyle L'}$

したがって、直線の射影自己同型の下での交差比の不変性は、直線上の4 つの共線点の交差比が、それらを含む直線の選択から独立していることを意味します (実際、それと同等です)。 ${\textstyle \{P_{i}\}}$${\textstyle \{L_{i}\}}$

4つの共線上の点が同次座標系でおよび となるベクトルで表される場合、それらの複比は となる。^[7]${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$${\displaystyle \gamma =a\alpha +b\beta }$${\displaystyle \delta =c\alpha +d\beta }$${\displaystyle (b/a)/(d/c)}$

アーサー・ケイリーとフェリックス・クラインは、非ユークリッド幾何学への複比の応用を発見した。実射影平面に特異でない円錐曲線 が与えられた場合、その射影群における安定子はの内部の点に推移的に作用する。しかし、 の点の対への作用には不変量が存在する。実際、そのような不変量はすべて、適切な複比の関数として表現できる。^[要出典]${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G_{C}}$ ${\displaystyle G=\operatorname {PGL} (3,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle G_{C}}$

明示的に、円錐曲線を単位円とします。単位円の内側にある任意の 2 点PとQについて、それらを結ぶ線が円と 2 点XとYで交差し、それらの点が順にX、P、Q、Yである場合、双曲面のケーリー・クラインモデルにおけるPとQ間の双曲距離は次のように表すことができます 。

${\displaystyle d_{h}(P,Q)={\frac {1}{2}}\left|\log {\frac {|XQ||PY|}{|XP||QY|}}\right|}$

（曲率を −1にするには係数の半分が必要です）。複比は射影変換に対して不変なので、双曲距離は円錐C を保存する射影変換に対して不変であることがわかります。

逆に、群G は、固定された双曲距離にある単位円内の 点のペア( p、q )の集合に対して推移的に作用します。

その後、アンリ・ポアンカレの影響もあって、円周上の4 つの複素数の複比が双曲計量に使用されました。円周上にあるということは、4 つの点がメビウス変換による 4 つの実点の像であるということであり、したがって複比は実数です。ポアンカレ半平面モデルとポアンカレ円板モデルは、複素射影直線上の双曲幾何学の 2 つのモデルです。

これらのモデルは、ケイリー・クライン計量のインスタンスです。

クロス比は、次の 4 つの式のいずれかで定義できます。

${\displaystyle (A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A).}$

これらは、変数の次の順列（サイクル表記）によって異なります。

${\displaystyle 1,\ (\,A\,B\,)(\,C\,D\,),\ (\,A\,C\,)(\,B\,D\,),\ (\,A\,D\,)(\,B\,C\,).}$

4 変数の置換を、対称群S ₄の 4 変数関数への作用として考えることができます。上記の 4 つの置換は複比を変えないため、この作用の下で複比の安定化Kを形成し、これにより複比の軌道への商群の有効作用が誘導されます。K の 4 つの置換は、 S ₄のクラインの 4 群を実現し、商は対称群S ₃と同型です。 ${\displaystyle \mathrm {S} _{4}/K}$${\displaystyle \mathrm {S} _{4}/K}$

したがって、4 つの変数の他の順列は、クロス比を変更して、6 要素グループの軌道である次の 6 つの値を生成します。 ${\displaystyle \mathrm {S} _{4}/K\cong \mathrm {S} _{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(A,B;C,D)&=\lambda &(A,B;D,C)&={\frac {1}{\lambda }},\\[4mu](A,C;D,B)&={\frac {1}{1-\lambda }}&(A,C;B,D)&=1-\lambda ,\\[4mu](A,D;C,B)&={\frac {\lambda }{\lambda -1}}&(A,D;B,C)&={\frac {\lambda -1}{\lambda }}.\end{aligned}}}$

これらの関数はメビウス変換の例であり、関数の合成によってメビウス群PGL(2, Z )を形成します。6 つの変換は、非調和群と呼ばれるサブグループを形成し、これもS _{3と同型です。これらは}PGL (2, Z )のねじれ元 (楕円変換)です。つまり、、、およびは、それぞれ固定点と(つまり、調和複比の軌道) を持つ2次です。一方、要素と はPGL(2, Z )で3次であり、それぞれが「最も対称的な」複比の両方の値 ( の解、 1 の原始6乗根) を固定します。2 次元は、これら 2 つの元を交換し (固定点以外のすべてのペアと同様に)、したがって、非調和群の への作用は、対称群の商マップを与えます。 ${\displaystyle \lambda ,}$${\textstyle {\tfrac {1}{\lambda }}}$${\displaystyle 1-\lambda \,}$${\textstyle {\tfrac {\lambda }{\lambda -1}}}$ ${\displaystyle -1,}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}},}$${\displaystyle 2,}$${\textstyle {\tfrac {1}{1-\lambda }}}$${\textstyle {\tfrac {\lambda -1}{\lambda }}}$${\textstyle e^{\pm i\pi /3}={\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$${\displaystyle x^{2}-x+1}$${\displaystyle e^{\pm i\pi /3}}$${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\to \mathrm {S} _{2}}$

さらに、個々の2サイクルの不動点はそれぞれ、およびであり、この集合も3サイクルによって保存され、入れ替えられる。幾何学的には、これは三角二面体の回転群として視覚化することができ、これは右に示すように、三角形D ₃の二面体群と同型である。代数的には、これは共役による2サイクル（そのシロー 2 部分群）へのS ₃の作用に対応し、内部自己同型群との同型性を実現する。${\displaystyle -1,}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}},}$${\displaystyle 2,}$${\textstyle \mathrm {S} _{3}\mathrel {\overset {\sim }{\to }} \operatorname {Inn} (\mathrm {S} _{3})\cong \mathrm {S} _{3}.}$

非調和群は、およびによって生成されます。へのその作用は、 S ₃との同型を与えます。 これは、前述の 6 つのメビウス変換として実現することもでき、^{[8]任意の体上で}S ₃の射影表現を生成し（整数要素で定義されているため）、常に忠実/単射です（2 つの項の差が1/−1のみにならないため）。 2 つの元を持つ体上では、射影直線は 3 つの点のみを持つため、この表現は同型であり、例外的な同型です。 特性3では、これは点 を安定化しますが、これは であるため、調和複比の軌道が 1 つの点のみであることに対応します。 3 つの元を持つ体上では、射影直線は 4 つの点と のみを持つため、表現はまさに調和複比の安定化子であり、埋め込みが点 の安定化子に等しい ${\textstyle \lambda \mapsto {\tfrac {1}{\lambda }}}$${\textstyle \lambda \mapsto 1-\lambda .}$${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\approx \mathrm {PGL} (2,\mathbb {Z} _{2})}$${\displaystyle -1=[-1:1]}$${\textstyle 2={\tfrac {1}{2}}=-1}$${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\approx \mathrm {PGL} (2,\mathbb {Z} _{3})}$${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\hookrightarrow \mathrm {S} _{4}}$${\displaystyle -1}$

の特定の値では、対称性が高くなるため、クロス比の可能な値は 6 つより少なくなります。 のこれらの値は、リーマン球面上のS ₃の作用の固定点(上記の 6 つの関数によって与えられる)に対応します。または、同等に、この置換群内の非自明な安定化点に対応します。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

最初の固定点のセットは、しかし、点A、B、C、およびDがすべて異なる場合、クロス比がこれらの値を取ることはありません。これらの値は、1 組の座標が互いに近づくときの限界値です。 ${\displaystyle \{0,1,\infty \}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(Z,B;Z,D)&=(A,Z;C,Z)=0,\\[4mu](Z,Z;C,D)&=(A,B;Z,Z)=1,\\[4mu](Z,B;C,Z)&=(A,Z;Z,D)=\infty .\end{aligned}}}$

2番目の固定点のセットは、この状況は古典的に${\textstyle {\big \{}{-1},{\tfrac {1}{2}},2{\big \}}.}$調和複比 であり、射影調和共役。実際のケースでは、他に例外的な軌道は存在しません。

複素数の場合、最も対称的な複比は のときに発生します。このとき、複比の値は 2 つだけとなり、順列の符号に応じて作用します。 ${\displaystyle \lambda =e^{\pm i\pi /3}}$

複素射影変換では、複素比は不変である。複素射影直線、またはリーマン球面の場合、これらの変換はメビウス変換として知られている。一般的なメビウス変換は次の形式をとる。

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}\;,\quad {\mbox{where }}a,b,c,d\in \mathbb {C} {\mbox{ and }}ad-bc\neq 0.}$

これらの変換は、リーマン球面に作用する群 、すなわちメビウス群を形成します。

複比の射影不変性は、

${\displaystyle (f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))=(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4}).\ }$

複比は、 4 つの点が同一直線上または同心円上にある場合にのみ実数となり、すべてのメビウス変換が一般化された円を一般化された円に写像するという事実を反映しています。

メビウス群の作用は、リーマン球面の異なる点の3つ組の集合上で単純に推移的である。つまり、異なる点の順序付き3つ組 が与えられた場合、それを3つ組 に写す唯一のメビウス変換が存在する。この変換は、クロス比を使用して簡単に記述できる。は に等しく、 は に等しいため、次式を得る。 ${\displaystyle (z_{2},z_{3},z_{4})}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle (0,1,\infty )}$${\displaystyle (z,z_{2};z_{3},z_{4})}$${\displaystyle (f(z),1;0,\infty )}$${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=(z,z_{2};z_{3},z_{4}).}$

複比の不変性に関する別の説明は、直線の射影変換の群が平行移動、相似、乗法反転によって生成されるという事実に基づいています。差は平行移動に対して不変です。${\displaystyle z_{j}-z_{k}}$

${\displaystyle z\mapsto z+a}$

ここで、は基底場における定数である。さらに、分割比は相似性の下で不変である。${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbb {F} }$

${\displaystyle z\mapsto bz}$

の非ゼロ定数に対して。したがって、複比はアフィン変換に対して不変です。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {F} }$

明確に定義された反転マッピングを得るために

${\displaystyle T:z\mapsto z^{-1},}$

アフィン直線は、 で示される無限遠点によって拡張され、射影直線 を形成する必要があります。各アフィン写像は、無限遠点を固定する のそれ自体への写像に一意に拡張できます。写像は、と を交換します。射影群はによって生成され、アフィン写像は に拡張されます。 、つまり複素平面の場合、これはメビウス群になります。複素比は に対しても不変であるため、 のそれ自体へ の任意の射影写像に対して不変です。${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$${\displaystyle f:\mathbb {F} \to \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$${\displaystyle T}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$

複素点をベクトルとして書き、 を定義し、を とのドット積とすると、複比の実部は次のように表されます。 ${\displaystyle {\vec {x_{n}}}=[\Re (z_{n}),\Im (z_{n})]^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle x_{nm}=x_{n}-x_{m}}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle C_{1}={\frac {(x_{12},x_{14})(x_{23},x_{34})-(x_{12},x_{34})(x_{14},x_{23})+(x_{12},x_{23})(x_{14},x_{34})}{|x_{23}|^{2}|x_{14}|^{2}}}}$

これは、反転などの2次元特殊共形変換の不変量です。 ${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow {\frac {x^{\mu }}{|x|^{2}}}}$

虚数部は2次元のクロス積を利用する必要がある${\displaystyle a\times b=[a,b]=a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}$

${\displaystyle C_{2}={\frac {(x_{12},x_{14})[x_{34},x_{23}]-(x_{43},x_{23})[x_{12},x_{34}]}{|x_{23}|^{2}|x_{14}|^{2}}}}$

複比の概念は、加算、乗算、反転の環演算にのみ依存します（ただし、環内の特定の元の反転は確実ではありません）。複比に対する 1 つのアプローチでは、3 つの指定された点を0、1、 ∞に取るホモグラフィとして解釈します。逆に関する制約の下では、環上の射影直線上で環演算を使用してこのようなマッピングを生成することができます。4 点の複比は、4 番目の点でのこのホモグラフィの評価です。

4 つの点が近づくにつれて、理論は微分積分の側面を帯びてきます。これはシュワルツ微分理論、さらに一般的には射影接続理論につながります。

点の配置の他の幾何学的特性、特に共線性のため、交差比は高次元に単純に一般化できません。配置空間はより複雑であり、異なるk組の点が一般的な位置にはありません。

射影直線の射影線型群は 3 推移的 (任意の 3 つの異なる点は、他の任意の 3 つの点にマッピングできます) であり、実際単純に 3 推移的 (任意の 3つ組を別の 3 つ組にマッピングする唯一の射影マップが存在する) であり、したがって交差比は 4 つの点の集合の唯一の射影不変量ですが、より高次元には基本的な幾何学的不変量が存在します。n空間の射影線型群は( n + 1) ² − 1次元 (1 つの次元を削除する射影化のため)を持ちますが、他の次元では射影線型群は 2 推移的のみです。これは、3 つの共線上の点は 3 つの共線上の点にマッピングされる必要があるためです (これは射影直線の制約ではありません)。したがって、n 2点^の唯一の不変量を提供する「一般化された交差比」は存在しません。 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}=\mathbf {P} (K^{n+1})}$${\displaystyle \mathrm {PGL} (n,K)=\mathbf {P} (\mathrm {GL} (n+1,K)),}$

共線性は、維持されなければならない点の配置の唯一の幾何学的特性ではありません。たとえば、5 つの点によって円錐曲線が決定されますが、6 つの一般的な点は円錐曲線上にはないため、任意の 6 組の点が円錐曲線上にあるかどうかも射影不変量です。一般的な位置にある点の軌道を調べることができます。「一般的な位置」は、異なることと同等ですが、高次元では、説明したように幾何学的な考慮が必要です。ただし、上記で示したように、これはより複雑で、情報量が少なくなります。

しかし、アーベル・ヤコビ写像とシータ関数を使用して、正の種数のリーマン面への一般化が存在します。

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