平行（幾何学）

ユークリッド空間における平行な直線lとmが与えられたとき、以下の性質は同等である。

1. 直線m上のすべての点は、直線lから正確に同じ（最小）距離に位置している（等距離線）。
2. 直線mは直線lと同じ平面上にあるが、直線lとは交わらない（直線はどちらの方向にも無限に伸びることを思い出してほしい）。
3. 直線mと直線 lが同一平面上の第 3 の直線 (横断線) と交わるとき、横断線との対応する交角は合同である。

これらは同等の性質であるため、そのいずれもユークリッド空間における平行線の定義として採用できますが、第１および第３の性質は測定を伴うため、第２の性質よりも「複雑」です。したがって、第２の性質が通常、ユークリッド幾何学における平行線の定義性質として選択されます。^{[ 6 ]}その他の性質は、ユークリッドの平行線公準の結果です。

平行線の定義は、平面上で交わらない一対の直線であるとされ、ユークリッドの『原論』第1巻の定義23として登場する。^{[ 7 ]}他のギリシャ人は、平行線公準を証明しようとする試みの一環として、別の定義を議論した。プロクロスは、平行線を等距離の直線と定義したのはポセイドニオスであるとし、ゲミノスも同様の趣旨で述べている。シンプリキオスも、ポセイドニオスの定義と、哲学者アガニスによるその修正について言及している。^{[ 7 ]}

19世紀末、イギリスでは、ユークリッドの『原論』が依然として中等学校の標準教科書であった。射影幾何学や非ユークリッド幾何学の新たな発展により、幾何学の伝統的な扱い方を変えざるを得なくなり、この時期に幾何学を教えるための新しい教科書がいくつか書かれた。これらの改革テキスト間、そしてそれらとユークリッドとの間の大きな違いは、平行線の扱い方である。^{[ 8 ]}これらの改革テキストには批判者もおり、その一人であるチャールズ・ドジソン（別名ルイス・キャロル）は、これらのテキストを痛烈に批判する戯曲『ユークリッドとその現代のライバルたち』を書いた。^{[ 9 ]}

初期の改革教科書の 1 つは、1868 年のジェームズ モーリス ウィルソンの『初等幾何学』でした。 ^{[ 10 ]}ウィルソンは、平行線の定義を方向の原始的な概念に基づいていました。ヴィルヘルム キリング^{[ 11 ]}によると、この考えはライプニッツに遡ることができます。^{[ 12 ]}ウィルソンは、方向は原始的なものであるため定義せずに、6 番目の定義など他の定義でこの用語を使用しています。「互いに交わる 2 つの直線は異なる方向を持ち、それらの方向の差はそれらの間の角度です。」ウィルソン (1868 、p. 2)定義 15 では、次のように平行線を導入しています。「同じ方向を持つが、同じ直線の一部ではない直線は、平行線と呼ばれます。」ウィルソン (1868 、p. 12)オーガスタス デ モーガンはこのテキストをレビューし、主にこの定義と、ウィルソンが平行線について証明するためにそれを使用した方法に基づいて、失敗であると宣言しました。ドジソンはまた、戯曲の大部分（第2幕第6場第1節）をウィルソンの類似点の扱いを非難することに費やしている。ウィルソンはこの概念を自身のテキストの第3版以降から削除した。^{[ 13 ]}

他の改革者によって提案され、平行線の定義の代替として用いられた他の性質も、それほど良い結果を得られなかった。ドッジソンが指摘したように、主な難点は、このようにそれらを用いるには、システムに公理を追加する必要があるということだった。フランシス・カスバートソンが1874年の著書『ユークリッド幾何学』で詳述したポセイドニウスの等距離線の定義は、直線の片側にある一定の距離にある点が直線を形成することを示さなければならないという問題を抱えている。これは証明できないため、真であると仮定する必要がある。^{[ 14 ]} WD クーリーが1860年の著書『幾何学の要素、簡略化と説明』で用いた横断線の性質によって形成される同位角は、 1本の横断線が2本の直線と合同な同位角で交わるならば、すべての横断線がそうしなければならないという事実の証明を必要とする。ここでも、この主張を正当化するために新しい公理が必要となる。

上記の３つの特性は、平行線を３つの異なる方法で作図することにつながる^{[ 15 ] 。}

• 
  性質1：直線mは、直線lからの距離がどこでも同じである。
• 
  性質2：点aを通る任意の直線をxでlと交わるように取る。点xを無限遠に移動させる。
• 
  性質3：lとmは、 aを通る横断線を共有し、その線は90°で交わる。

ユークリッド平面上の平行線は等距離であるため、2本の平行線間の距離は一意に定まります。垂直でも水平でもない2本の平行線の式が与えられた場合、

${\displaystyle y=mx+b_{1}\,}$

${\displaystyle y=mx+b_{2}\,,}$

2つの直線間の距離は、平行線に共通に垂線上に位置する2点（各直線上に1点ずつ）を見つけ、それらの間の距離を計算することで求めることができます。直線の傾きはmなので、共通垂線の傾きは-1/ mとなり、方程式y = -x / mの直線を共通垂線として用いることができます。線形方程式系を解きます。

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\end{cases}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\end{cases}}}$

点の座標を取得する。線形システムの解は点である。

${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,}$

そして

${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right).}$

これらの式は、平行線が水平（つまり、 m = 0）の場合でも、正しい点の座標を与えます。点間の距離は

${\displaystyle d={\sqrt {\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,}$

これは以下になります

${\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.}$

直線が直線の方程式の一般形で与えられる場合（水平線と垂直線を含む）：

${\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}$

${\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}$

それらの距離は次のように表すことができます。

${\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$