公理

公理、仮説、または仮定は、真実であるとみなされ、さらなる推論や議論の前提または出発点となる声明です。この単語は古代ギリシャ語のἀξίωμα ( axíōma ) に由来し、「価値がある、または適切であると考えられるもの」または「明白であると推奨されるもの」を意味します。^{[1] [2]}

正確な定義は研究分野によって異なります。古典哲学では、公理とは非常に明白または確立されているため、論争や疑問なく受け入れられる声明です。 ^[3]現代論理学では、公理は推論の前提または出発点です。^[4]

数学において、公理は「論理公理」または「非論理公理」である。論理公理は、それが定義する論理体系内では真であるとみなされ、多くの場合記号形式で示される（例：（AかつB ）はAを意味する）のに対し、非論理公理は、特定の数学理論の領域の要素に関する実質的な主張であり、例：整数演算における a  + 0 =  aである。

非論理的公理は、「公理」、「仮定」、または「適切な公理」とも呼ばれる。^[5]ほとんどの場合、非論理的公理は、数学理論を構築するための演繹で使用される形式的な論理表現にすぎず、本質的に自明である場合もそうでない場合もある（たとえば、ユークリッド幾何学の平行線公理）。知識体系を公理化するということは、その主張が、よく理解されている小さな文の集合（公理）から導き出せることを示すことであり、通常、特定の数学領域を公理化する方法はたくさんあります。

公理とは、他の文を論理的に導く出発点となる文である。公理が「真」であることに意味があるかどうか（そして、意味があるとすれば、それが何を意味するか）は、数学の哲学における議論の主題である。^[6]

公理という言葉は、ギリシャ語のἀξίωμα ( axíōma )から来ており、これは動詞ἀξιόειν ( axioein )から派生した名詞で、「価値があるとみなす」という意味だけでなく、「要求する」という意味もあり、さらに、ἄξιος ( áxios )から派生した語で、「バランスが取れている」という意味があり、したがって、「（同じ）価値を持つ」、「価値がある」、「適切」という意味になります。古代ギリシャの哲学者や数学者の間では、公理は、多くの研究分野の基礎的で共通する、すぐにわかる命題であり、それ以上の議論や証明なしに自明に真実であるとされていました。^[7]

公理という言葉の根源的な意味は「要求する」である。例えば、ユークリッドは、いくつかのことが実行可能であることに同意することを要求している（例えば、任意の2点は直線で結ばれる）。^[8]

古代の幾何学者は、公理と公準をある程度区別していた。ユークリッドの著書について論評しているプロクロスは、 「ゲミヌスは、この[第4]公準は公準ではなく公理として分類されるべきだと考えた。なぜなら、この公準は、最初の3つの公準のように、何らかの構成の可能性を主張するのではなく、本質的な性質を表現しているからだ」と述べている。^[9] ボエティウスは「公準」を「petitio」と翻訳し、公理を 「notiones communes」と呼んだが、後の写本ではこの用法が必ずしも厳密に守られていたわけではない。^[要出典]

論理演繹法は、前提（古い知識）から妥当な議論（三段論法、推論規則）を適用して結論（新しい知識）を導き出すもので、古代ギリシャ人によって開発され、現代数学の核となる原理となっている。トートロジーは別として、何も仮定しなければ何も演繹できない。公理と公準は、与えられた演繹知識の根底にある基本的仮定である。これらは証明なしに受け入れられる。その他の主張（数学の場合は定理）はすべて、これらの基本的仮定を用いて証明されなければならない。しかし、数学的知識の解釈は古代から現代にかけて変化しており、その結果、公理と公準という用語は、アリストテレスやユークリッドにとっての意味と現代の数学者にとって意味が若干異なっている。^[7]

古代ギリシャ人は幾何学をいくつかの科学のうちの1つとみなし、幾何学の定理を科学的事実と同等とみなした。そのため、彼らは誤りを避け、知識を構造化して伝達する手段として、論理演繹法を開発し、使用した。アリストテレスの事後分析学は古典的な見解の決定的な解説である。^[10]

古典的な用語では、「公理」とは、科学の多くの分野に共通する自明の仮定を指します。良い例としては、次のような主張が挙げられます。

等しいものから等しい量を取ると、等しい量になります。

さまざまな科学の基礎には、証明なしに受け入れられた特定の仮説が存在します。そのような仮説は公理と呼ばれています。公理は多くの科学に共通していますが、公理は各科学ごとに異なります。公理の妥当性は、現実世界の経験によって確立されなければなりませんでした。アリストテレスは、学習者が公理の真実性に疑問を抱いている場合、科学の内容をうまく伝えることはできないと警告しています。^[11]

古典的なアプローチはユークリッドの『原論』でよく説明されており^[a]、そこでは公理のリスト（経験から導き出された常識的な幾何学的事実）が示され、その後に「一般的な概念」（非常に基本的で自明の主張）のリストが続きます。

公理

1. 任意の点から他の任意の点まで直線を描くことができます。
2. 線分を両方向に連続的に延長することが可能です。
3. 任意の中心と任意の半径を持つ円を描くことが可能です。
4. すべての直角は互いに等しいというのは本当です。
5. （「平行線公理」）2 本の直線に接する直線が同じ側の内角を2 直角未満にする場合、その 2 本の直線を無限に延長すると、2直角未満の角度がある側で交差するというのは事実です。

共通の概念

1. 同じものに等しいものは、互いにも等しい。
2. 等しいものに等しいものを加えると、全体は等しくなります。
3. 等しいものから等しいものを引くと、残りは等しくなります。
4. 互いに一致するものは互いに等しい。
5. 全体は部分よりも大きい。

過去 150 年間に数学が得た教訓は、数学的な主張 (公理、公準、命題、定理) と定義から意味を取り除くことが有用であるということです。どのような研究でも、基本概念、つまり定義されていない用語や概念が必要であることは認めなければなりません。このような抽象化または形式化により、数学的知識はより一般化され、複数の異なる意味を持つことができるようになり、したがって複数のコンテキストで有用になります。アレッサンドロ・パドア、マリオ・ピエリ、ジュゼッペ・ペアノはこの運動の先駆者でした。

構造主義数学はさらに進んで、特定の応用を念頭に置かずに理論や公理（例えば、体論、群論、位相幾何学、ベクトル空間）を展開する。「公理」と「公理」の区別はなくなる。ユークリッドの公理は、それが豊富な幾何学的事実につながるという主張によって有益に動機付けられている。これらの複雑な事実の真実性は、基本的な仮説を受け入れることにかかっている。しかし、ユークリッドの第 5 公理を捨てることで、より広い文脈で意味を持つ理論（例えば、双曲幾何学）を得ることができる。したがって、単に「直線」や「平行」などのラベルをより柔軟に使用できるように準備する必要がある。双曲幾何学の発展により、数学者は公理を経験に基づく事実としてではなく、純粋に形式的なステートメントとして見なすことが有用であることを学びました。

数学者が場の公理を使用する場合、その意図はさらに抽象的になります。場の理論の命題は特定の応用には関係しません。数学者は完全な抽象化で作業します。場の例は数多くありますが、場の理論はそれらすべてについて正しい知識を与えます。

場の理論の公理は「証明なしに真であるとみなされる命題」であると言うのは正しくありません。むしろ、場の公理は一連の制約です。任意の加算と乗算のシステムがこれらの制約を満たす場合、そのシステムに関する大量の追加情報を即座に知ることができます。

現代数学は、数学理論を数学的対象とみなせるほど、また数学自体を論理学の一分野とみなせるほどに、その基礎を形式化しました。フレーゲ、ラッセル、ポアンカレ、ヒルベルト、ゲーデルなどがこの発展における重要人物です。

現代数学で学んだもう一つの教訓は、証明とされるものの中に隠れた仮定がないか注意深く調べることです。

現代の理解では、公理セットとは、明確に定義された特定の規則を適用することによって、他の形式的に述べられた主張が導かれる、形式的に述べられた主張の集合です。この見方では、論理は単なる別の形式体系になります。公理セットは一貫している必要があります。つまり、公理から矛盾を導き出すことは不可能である必要があります。公理セットは冗長であってはなりません。つまり、他の公理から演繹できる主張を公理と見なす必要はありません。

数学のさまざまな分野、おそらく数学のすべてが、一貫した基本公理の集合から導き出されるというのが、近代論理学者の初期の希望であった。形式主義プログラムの初期の成功は、ヒルベルトによるユークリッド幾何学の形式化^[b]、^[12]と、それに関連するそれらの公理の一貫性の実証であった。

より広い文脈では、カントールの 集合論に基づいてすべての数学を基礎づけようとする試みがありました。ここで、ラッセルのパラドックスや、同様の素朴な集合論の二律背反の出現により、そのような体系は矛盾する可能性があることが判明しました。

形式主義のプロジェクトは1世紀前に挫折した。ゲーデルが、十分に大きな公理の集合（例えばペアノの公理）であれば、その公理の集合とは無関係に真理である命題を構築できると示したのだ。その結果、ゲーデルはペアノ算術のような理論の一貫性は、その理論の範囲内では証明不可能な主張であることを証明した。^[13]

ペアノ算術の無矛盾性は、無限だが直感的に理解できる形式体系である自然数系によって満たされるため、それを信じることは合理的である。しかし、現在のところ、集合論に対する現代のツェルメロ-フランケル公理​​の無矛盾性を証明する方法は知られていない。さらに、強制技法（コーエン）を使用すれば、連続体仮説（カントール）がツェルメロ-フランケル公理​​とは独立していることを示すことができる。 ^[14]したがって、この非常に一般的な公理の集合でさえ、数学の決定的な基礎とはみなされない。

実験科学は、数学や論理学とは対照的に、一般的な基礎的主張も持っており、そこから演繹的推論を構築して、特性（一般的なものから特定の実験的コンテキストに特化したものまで）を予測する命題を表現することができます。たとえば、古典力学におけるニュートンの法則、古典電磁気学におけるマクスウェル方程式、一般相対性理論におけるアインシュタインの方程式、メンデルの遺伝法則、ダーウィンの自然選択法則などです。これらの基礎的主張は、数学の公理と区別するために、通常、原理または公理と呼ばれます。

実際のところ、数学における公理と実験科学における公理の役割は異なります。数学では、公理を「証明」することも「反証」することもしません。数学的な公理のセットは、定理が論理的に従う概念領域を固定する一連の規則を提供します。対照的に、実験科学では、公理のセットは、実験結果に一致する、または一致しない結果を推論できるようにします。公理が実験予測を推論できない場合、公理は科学的な概念フレームワークを設定しないため、完成させるか、より正確にする必要があります。公理が実験結果の予測を推論できる場合、実験との比較により、公理が提示する理論を反証 (偽造) できます。理論は、反証されていない限り有効であると見なされます。

さて、数学の公理と科学的な公理の移行は、特に物理学においては、常にわずかに曖昧です。これは、物理理論をサポートするために数学的なツールが多用されるためです。たとえば、ニュートンの法則の導入は、それらが暗示するユークリッド幾何学や微分積分を前提条件として確立することはほとんどありません。アルバート・アインシュタインが最初に特殊相対性理論を導入したとき、不変量はもはやユークリッド長さ( と定義) > ではなくミンコフスキー時空間隔( と定義) であり、次に一般相対性理論を導入したときに、平坦なミンコフスキー幾何学が曲がった多様体上の擬似リーマン幾何学に置き換えられ、それがより明らかになりました。 ${\displaystyle l}$${\displaystyle l^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

量子物理学では、しばらくの間、2組の公理が共存しており、これは反証の非常に良い例となっています。「コペンハーゲン学派」（ニールス・ボーア、ヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルン）は、完全な数学的形式論を伴う操作的アプローチを開発しました。このアプローチでは、分離可能なヒルベルト空間内のベクトル（「状態」）による量子システムの記述と、このヒルベルト空間で作用する線形演算子としての物理量が含まれます。このアプローチは完全に反証可能であり、これまでのところ物理学で最も正確な予測を生み出しています。しかし、自然に尋ねられる質問に対する答えが得られないという不満足な側面があります。このため、アルバート・アインシュタイン、エルヴィン・シュレーディンガー、デビッド・ボームによって、別の「隠れた変数」アプローチがしばらくの間開発されました。これは、エンタングルメントなどの現象に決定論的な説明を与えようとするために作成されました。このアプローチは、コペンハーゲン学派の記述が完全ではないと仮定し、理論に未知の変数を追加することで、理論が答えられない疑問のいくつかに答えられるようになると仮定した（その基礎となる要素は、 1935 年にEPR パラドックスとして議論された）。この考えを真剣に受け止めたジョン・ベルは、1964 年に、コペンハーゲンの場合と隠れた変数の場合で異なる実験結果（ベルの不等式）につながる予測を導き出した。この実験は、1980 年代初頭にアラン・アスペクトによって初めて実施され、その結果、単純な隠れた変数アプローチは排除された（高度な隠れた変数が存在する可能性はあるが、その特性は、解決しようとしている問題よりも厄介なものとなる）。これは、量子物理学の概念的枠組みが現在完全であると見なされることを意味するものではない。未解決の問題がまだいくつか残っているためである（量子領域と古典領域の限界、量子測定中に何が起こるか、宇宙自体のような完全に閉じた量子システムで何が起こるかなど）。

数理論理学の分野では、論理的公理と非論理的公理という 2 つの概念が明確に区別されています(それぞれ「公理」と「公準」の古代の区別に多少似ています)。

これらは、普遍的に有効な形式言語の特定の式、つまり、すべての値の割り当てによって満たされる式です。通常、論理公理として、言語内のすべてのトートロジーを証明するのに十分なトートロジーの最小限のセットが採用されます。述語論理の場合、厳密な意味でトートロジーではない 論理的真理を証明するには、それより多くの論理公理が必要です。

命題論理では、次の形式のすべての式を論理公理とするのが一般的です。ここで、、、は言語の任意の式にすることができ、含まれる基本接続詞は、直後の命題を否定するための「 」と、先行命題から後続命題への 含意を表すための「 」のみです。${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \chi}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \neg}$${\displaystyle \to}$

1. ${\displaystyle \phi \to (\psi \to \phi )}$
2. ${\displaystyle (\phi \to (\psi \to \chi ))\to ((\phi \to \psi )\to (\phi \to \chi ))}$
3. ${\displaystyle (\lnot \phi \to \lnot \psi )\to (\psi \to \phi ).}$

これらのパターンはそれぞれ公理スキーマであり、無限の数の公理を生成する規則です。たとえば、、、が命題変数である場合、およびは両方とも公理スキーマ 1 のインスタンスであり、したがって公理です。これらの 3 つの公理スキーマと可能性法のみを使用して、命題論理のすべてのトートロジーを証明できることが示されます。また、これらのスキーマのどのペアも可能性法を持つすべてのトートロジーを証明するのに十分ではないことも示されます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A\to (B\to A)}$${\displaystyle (A\to \lnot B)\to (C\to (A\to \lnot B))}$

同じまたは異なる原始接続詞の集合を含む他の公理スキーマも代替的に構築することができる。^[15]

これらの公理スキーマは述語計算でも使用されますが、計算に量指定子を含めるには追加の論理公理が必要です。^[16]

これは、任意の変数シンボル について、式を公理と見なすことができることを意味します。さらに、この例では、これが曖昧さや終わりのない一連の「基本概念」に陥らないようにするために、 (または、「等しい」という意味) が何を意味するのかという正確な概念を最初に確立するか、シンボルの純粋に形式的かつ構文的な使用法を 強制して、それを文字列、およびシンボルの文字列としてのみ見なす必要があります。数学的論理は実際にそれを行います。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x=x}$${\displaystyle x=x}$${\displaystyle =}$

もう 1 つの、より興味深い公理スキームの例は、普遍的インスタンス化と呼ばれるものを提供するものです。

ここで、記号は、項を に置き換えた式を表します。(変数の置き換えを参照してください。) 非公式に言えば、この例から、特定の特性 がすべての に成り立ち、 が構造内の特定のオブジェクトを表すことがわかっている場合、 を主張できるはずだと述べることができます。ここでも、式 が有効であると主張しています。つまり、この事実の「証明」、より正確に言えば、メタ証明を与えることができなければなりません。これらの例は、証明の概念そのものを扱っているため、数理論理学の理論のメタ定理です。これとは別に、存在の一般化も考えられます。 ${\displaystyle \phi _{t}^{x}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle \forall x\phi \to \phi _{t}^{x}}$

非論理的公理は、理論特有の仮定の役割を果たす公式である。例えば、自然数と整数のような2つの異なる構造についての推論には、同じ論理的公理が関係することがある。非論理的公理は、特定の構造（または群のような構造の集合）の特別な点を捉えることを目的とする。したがって、非論理的公理は、論理的公理とは異なり、トートロジーではない。非論理的公理の別名は公理である。^[5]

ほぼすべての現代の数学理論は、与えられた非論理的な公理の集合から始まり、原理的にはすべての理論はこのように公理化され、論理式の単純な言語にまで形式化できると考えられていました。^{[要出典] [さらなる説明が必要]}

非論理的な公理は、数学の議論では単に公理と呼ばれることが多い。これは、それらが絶対的な意味で真実であると主張されていることを意味するものではない。たとえば、いくつかのグループでは、グループの操作は可換であり、これは追加の公理を導入することで主張できるが、この公理がなくても、（より一般的な）グループ理論を展開することはかなりうまくいっており、その否定を非可換グループの研究の公理として採用することさえできる。

このセクションでは、一連の非論理的な公理 (以下、公理) から完全に展開される数学理論の例を示します。これらのトピックを厳密に扱うには、まずこれらの公理を指定します。

算術、実解析、複素解析などの基本理論は非公理的に導入されることが多いが、暗黙的または明示的に、使用されている公理は選択付きツェルメロ・フランケル集合論（略して ZFC）の公理、または ZFC の保守的な拡張であるフォン・ノイマン・バーネイス・ゲーデル集合論のような公理的集合論の非常に類似したシステムであるという仮定が一般的にある。モース・ケリー集合論やグロタンディーク宇宙の使用を可能にする強く到達不可能な基数を持つ集合論などのやや強い理論が使用されることもあるが、実際にはほとんどの数学者は、2 階算術など、ZFC よりも弱いシステムで必要なことをすべて証明できる。^[要出典]

数学における位相幾何学の研究は、点集合位相幾何学、代数位相幾何学、微分位相幾何学、およびホモロジー理論、ホモトピー理論などの関連するあらゆる道具類にまで及びます。抽象代数の発展は、群論、環、体、ガロア理論をもたらしました。

このリストは、測度論、エルゴード理論、確率論、表現論、微分幾何学など、数学のほとんどの分野を含むように拡張できます。

ペアノの公理は、第一階算術の最も広く使われている公理化である。これは数論に関する多くの重要な事実を証明するのに十分な公理の集合であり、ゲーデルが有名な第二不完全性定理を確立することを可能にした。^[17]

が定数記号で が単項関数であり、次の公理を 持つ言語があります。${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{NT}=\{0,S\}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle S}$

1. ${\displaystyle \forall x.\lnot (Sx=0)}$
2. ${\displaystyle \forall x.\forall y.(Sx=Sy\to x=y)}$
3. ${\displaystyle (\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)}$自由変数が 1 つある任意の式の場合。${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{NT}}$${\displaystyle \phi }$

標準的な構造は、が自然数の集合、が後続関数、が自然に数値 0 として解釈される です。 ${\displaystyle {\mathfrak {N}}=\langle \mathbb {N} ,0,S\rangle }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle 0}$

おそらく最も古く、最も有名な公理のリストは、平面幾何学における4 + 1ユークリッド公理です。この公理が「4 + 1」と呼ばれるのは、約 2 千年の間、5 番目の (平行) 公理(「直線の外側の点を通る平行線は 1 本だけ存在する」) が最初の 4 つの公理から導出可能であると疑われていたためです。最終的に、5 番目の公理は最初の 4 つの公理とは無関係であることがわかりました。直線の外側の点を通る平行線は 1 本だけ存在すると仮定することも、無限に存在すると仮定することもできます。この選択により、三角形の内角の合計がそれぞれ 180 度以下になる 2 つの幾何学形式が生まれ、ユークリッド幾何学と双曲幾何学として知られています。 2 番目の公理 (「線は無限に延長できる」) も削除すると、線の外側の点を通る平行線が存在せず、三角形の内角の合計が 180 度を超える楕円幾何 学が生じます。

この研究の目的は、実数の領域内にあります。実数は、デデキント完全順序体の特性によって一意に選択されます (同型性を除く) 。つまり、上限を持つ任意の空でない実数集合には、最小の上限があります。ただし、これらの特性を公理として表現するには、第 2 階述語論理を使用する必要があります。レーヴェンハイム - スコーレムの定理によれば、第 1 階述語論理に限定すると、実数に対する任意の公理系は、実数よりも小さいモデルと実数よりも大きいモデルの両方を含む他のモデルを許容します。後者の一部は、非標準解析で研究されています。

演繹体系は、論理的公理の集合、非論理的公理の集合、および推論規則の集合から構成される。演繹体系の望ましい特性は、完全であることである。すべての式に対して、 ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \{(\Gamma ,\phi )\}}$${\displaystyle \phi }$

つまり、の論理的帰結である任意のステートメントに対して、からのステートメントの演繹が実際に存在するということです。これは、「真であるものはすべて証明可能」と表現されることもありますが、ここでの「真」は「公理の集合によって真になる」という意味であり、たとえば「意図された解釈において真」という意味ではないことを理解する必要があります。ゲーデルの完全性定理は、一般的に使用される特定のタイプの演繹システムの完全性を確立します。 ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$

ここでの「完全性」は、ゲーデルの第一不完全性定理の文脈における意味とは異なることに注意してください。ゲーデルの第一不完全性定理は、算術理論の非論理的公理の再帰的で一貫した集合は完全ではなく、与えられた公理の集合からもも証明できない 算術ステートメントが常に存在するという意味で完全ではないと述べています。${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \lnot \phi }$

したがって、一方では演繹体系の完全性という概念があり、他方では非論理的な公理の集合の完全性という概念がある。完全性定理と不完全性定理は、その名前にもかかわらず、互いに矛盾するものではない。

初期の数学者は公理幾何学を物理空間のモデルとみなし、究極的にはそのようなモデルは 1 つしか存在しないことを意味していました。代替数学体系が存在するかもしれないという考えは 19 世紀の数学者にとって非常に厄介なものであり、ブール代数などの体系の開発者は、それらを従来の算術から導き出すために入念な努力を払いました。ガロアは早すぎる死の直前に、これらの努力がほとんど無駄になったことを示しまし た。最終的に、代数体系間の抽象的な類似点が細部よりも重要であるとみなされ、現代の代数学が誕生しました。現代の見方では、公理は矛盾が知られていない限り、任意の式の集合である可能性があります。

• 公理システム
• ドグマ
• 第一原理、科学と哲学における公理
• 公理の一覧
• モデル理論
• 法規
• 定理
• 前提
• 原理

• メンデルソン、エリオット (1987)。『数理論理学入門』カリフォルニア州ベルモント：ワズワース＆ブルックス。ISBN 0-534-06624-0 
• ジョン・クック・ウィルソン(1889)、「公理の進化論について: 1889 年 10 月 15 日の就任講演(第 1 版)」、オックスフォード、Wikidata  Q26720682{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

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ウィキソースには、1911 年のブリタニカ百科事典の記事「公理」のテキストがあります。

• PhilPapersの Axiom
• PlanetMathの Axiom 。
• メタ数学公理ページ