円周角

幾何学において、円周角とは、2本の弦が円上で交差するときに円の内部に形成される角度です。また、円上の 2 つの点によって円上の 1 点に張られる角度として定義することもできます。

同様に、円周角は、端点を共有する円の 2 つの弦によって定義されます。

円周角の定理は、円周角の大きさを、同じ円弧の中心角の大きさに関連付けます。

円周角定理はユークリッドの『原論』第 3 巻に命題 20 として登場します。

この定理は、同様に角の二等分（ただし、円に内接しない三角形の角の二等分）を伴う 角の二等分定理と混同しないように注意してください。

円周角定理は、円に内接する角θ は、円上の同じ弧の中心角2 θの半分であると述べています。したがって、頂点が円上の異なる位置に移動しても、角度は変化しません。

右の図のように、 O を円の中心とします。円上の 2 つの点をVとAと呼びます。線分OVを描き、O を越えて延長し、点Vの正反対の点Bで円と交差するようにします。点V を頂点とし、辺が点A、B を通る角度を描きます。

線OAを描きます。角∠ BOAは中心角です。これをθと呼びます。線OVと線OA はどちらも円の半径なので、長さは等しくなります。したがって、三角形△ VOA は二等辺三角形なので、角∠ BVA (内接角) と角∠ VAOは等しくなります。それぞれをψと表記します。

角∠ BOAと角∠ AOV は補角であり、合計すると直角(180°) になるため、角∠ AOVは180° − θとなります。

三角形△ VOAの3つの角の合計は 180°でなければなりません。

$${\displaystyle (180^{\circ }-\theta )+\psi +\psi =180^{\circ }.}$$

両辺を 足すと${\displaystyle \theta -180^{\circ}}$

$${\displaystyle 2\psi =\theta .}$$

中心が点Oである円が与えられ、円上の3 つの点V、C、D を選択します。線VCとVDを描きます。角度∠ DVC は円周角です。次に線OVを描き、点O を越えて延長し、点Eで円と交差するようにします。角度∠ DVC は円上の 弧DCと接します。

この円弧に点E が含まれているとします。点E は点Vの正反対にあります。角度∠ DVE、∠ EVCも円周角ですが、これらの角度は両方とも円の中心を通る 1 つの辺を持っているため、上記のパート 1 の定理を適用できます。

したがって、

$${\displaystyle \angle DVC=\angle DVE+\angle EVC.}$$

それから

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}&=\angle DVC,\\\psi _{1}&=\angle DVE,\\\psi _{2}&=\angle EVC,\end{aligned}}}$$

となることによって

$${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{1}+\psi _{2}.\qquad \qquad (1)}$$

線分OCとODを描きます。角∠ DOCは中心角ですが、角∠ DOEと∠ EOCも中心角です。 $${\displaystyle \angle DOC=\angle DOE+\angle EOC.}$$

させて

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}&=\angle DOC,\\\theta _{1}&=\angle DOE,\\\theta _{2}&=\angle EOC,\end{aligned}}}$$

となることによって

$${\displaystyle \theta _{0}=\theta _{1}+\theta _{2}.\qquad \qquad (2)}$$

パート1から、およびであることがわかっています。これらの結果を式(2)と組み合わせると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}}$

$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{1}+2\psi _{2}=2(\psi _{1}+\psi _{2})}$$

したがって、式（１）によれば、

$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.}$$

前のケースは、この証明の最初の部分で説明したように、円周角の尺度が 2 つの円周角の 差である場合にまで拡張できます。

中心が点Oである円が与えられ、円上の3 つの点V、C、D を選択します。線VCとVDを描きます。角度∠ DVC は円周角です。次に線OVを描き、点O を越えて延長し、点Eで円と交差するようにします。角度∠ DVC は円上の 弧DCと接します。

この弧には点E が含まれていないとします。点E は点Vの正反対にあります。角∠ EVD、∠ EVCも円周角ですが、これらの角は両方とも円の中心を通る 1 つの辺を持っているため、上記のパート 1 の定理を適用できます。

したがって、

$${\displaystyle \angle DVC=\angle EVC-\angle EVD.}$$

それから

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}&=\angle DVC,\\\psi _{1}&=\angle EVD,\\\psi _{2}&=\angle EVC,\end{aligned}}}$$

となることによって

$${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{2}-\psi _{1}.\qquad \qquad (3)}$$

線分OCとODを描きます。角∠ DOCは中心角ですが、角∠ EODと∠ EOCも中心角です。

$${\displaystyle \angle DOC=\angle EOC-\angle EOD.}$$

させて

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}&=\angle DOC,\\\theta _{1}&=\angle EOD,\\\theta _{2}&=\angle EOC,\end{aligned}}}$$

となることによって

$${\displaystyle \theta _{0}=\theta _{2}-\theta _{1}.\qquad \qquad (4)}$$

パート1から、およびであることがわかっています。これらの結果を式(4)と組み合わせると 、式(3)により、 ${\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}}$$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{2}-2\psi _{1}}$$$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.}$$

同様の議論により、弦とその交点の 1 つにおける接線の間の角度は、弦によって囲まれる中心角の半分に等しくなります。円の接線も参照してください。

円周角定理は、平面の初等ユークリッド幾何学の多くの証明で使用されています。この定理の特殊なケースはタレスの定理で、直径によって囲まれる角度は常に 90°、つまり直角であるとしています。この定理の結果として、円周四辺形の反対角の合計は 180° になります。逆に、これが当てはまる四辺形はどれも円に内接できます。別の例として、円周角定理は、円に対する点の累乗に関連するいくつかの定理の基礎となっています。さらに、この定理により、2 本の弦が円で交差する場合、それらの部分の長さの積が等しいことを証明できます。

円周角の定理は、楕円、双曲線、放物線にも存在します。基本的な違いは角度の測定方法です。(角度は交差する 2 本の線とみなされます。)

• 楕円
• 双曲線
• 放物線

• オグルヴィ、CS（1990）。幾何学への遠足。ドーバー 。pp.17-23。ISBN 0-486-26530-7。
• ゲラート W、キュストナー H、ヘルヴィヒ M、ケストナー H (1977)。VNR の数学の簡潔な百科事典。ニューヨーク：ヴァン・ノストランド・ラインホルト。 p. 172.ISBN​ 0-442-22646-2。
• モイーズ、エドウィン E. (1974)。『高度な視点から見た初等幾何学』 （第 2 版）。読み物: Addison-Wesley。pp.  192– 197。ISBN 0-201-04793-4。

• Weisstein、Eric W.「内接角」。MathWorld。
• 中心角と円周角の関係
• カット・ザ・ノットで内接角をむしゃむしゃ食べる
• 円弧の中心角 インタラクティブアニメーション付き
• 円弧の周角（内接角） インタラクティブアニメーション付き
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• bookofproofs.github.io で