超整数

非標準解析では、超整数 nは自身の整数部に等しい超実数です。超整数は有限または無限のいずれかです。有限超整数は通常の整数です。無限超整数の例は、超実数の超冪構成における数列(1, 2, 3, ...)のクラスによって与えられます。

標準の整数部関数:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

はすべての実数 xに対して定義され、 x を超えない最大の整数に等しい。非標準解析の転移原理により、自然な拡張が存在する。

${\displaystyle {}^{*}\!\lfloor \,\cdot \,\rfloor }$

はすべての超実数xに対して定義され、のときx は超整数であると言えます。したがって、超整数は整数部関数の超実数上の 像です。${\displaystyle x={}^{*}\!\lfloor x\rfloor .}$

すべての超整数の集合は、超実数直線 の内部部分集合です。すべての有限超整数の集合 (つまり、それ自身) は、内部部分集合ではありません。補集合の元は、著者によって、非標準超整数、無制限超整数、または無限超整数と呼ばれます。無限超整数の逆数は常に無限小です。 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {Z} }$${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle ^{*}\mathbb {Z} \setminus \mathbb {Z} }$

非負の超整数は、超自然数と呼ばれることもあります。およびの集合にも同様のことが当てはまります。 後者は、スコーレムの意味で非標準的な算術モデルを与えることに注意してください。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle ^{*}\mathbb {N} }$

• Howard Jerome Keisler :初等微積分学: 無限小アプローチ。第 1 版 1976 年、第 2 版 1986 年。この本は現在絶版です。出版社は著作権を著者に返還し、著者は第 2 版を .pdf 形式で http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html からダウンロードできるようにしました。