モジュロ（数学）

ガウスは当初、「モジュロ」を次のように使用するつもりでした。整数a、b、nが与えられたとき、式a ≡ b (mod n ) (「aはbを法nで割ったときに合同である」と発音) は、a  − bがnの整数倍であることを意味します。あるいは、同等に、aとb はどちらもnで割ったときに同じ余りを残します。例: 

13は10を法として63と合同である

つまり

13 − 63 は 10 の倍数である（つまり、13 と 63 の差は 10 の倍数である）。

コンピューティングおよびコンピュータサイエンスの分野では、この用語はいくつかの意味で使用されます。

• 計算においては、これは通常、剰余演算のことです。2つの数（整数または実数）aとnが与えられたとき、 a mod nは、特定の制約の下で、 aをnで割ったときの余りです。
• 関数型プログラミングに適用される圏論では、「剰余演算」は、剰余を強調または定義することによってファンクターを圏にマッピングすることを指す特別な専門用語です。 ^{[ 5 ]}

「モジュロ」という用語は、異なる数学的構造を指す場合、異なる意味で使用されることがあります。例えば、次のようになります。

• 群の2つの要素aとbが正規部分群を法として合同であるのは、ab ⁻¹が正規部分群の要素である場合に限る（詳細は商群と同型定理を参照）。
• 環または代数の2つの要素は、それらの差がイデアルに含まれる場合、 イデアルを法として合同であるという。
  • 動詞として用いられる場合、群（または環）から正規部分群（またはイデアル）を因数分解する行為は、「～を因数分解する」または「～を因数分解する」と呼ばれることが多い。
• 無限集合の2つの部分集合が有限集合を法として等しいのは、それらの対称差が有限である場合に限る。つまり、最初の部分集合から有限個の要素を取り除き、それに有限個の要素を追加することで、結果として2番目の部分集合が得られる場合である。
• 短い完全写像列は、ある空間を別の空間で割った余剰空間として商空間を定義することにつながる。したがって、例えば、コホモロジーは完全形式で割った閉形式の空間である。

一般的に、剰余演算とは、本来は別個のものとみなされるものを同等とみなすことを意味する、やや非公式な用語です。例えば、数列 1  4  2  8  5 7 と数列7 1 4 2 8 5 は、それぞれが互いの巡回シフト版 であるため、同じものとみなされるとします。      

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccc}&1&&4&&2&&8&&5&&7\\\searrow &&\searrow &&\searrow &&\searrow &&\searrow &&\searrow &&\searrow \\&7&&1&&4&&2&&8&&5\end{array}}}$

その場合、それは「周期的なシフトによってモディファイアーを生成している」ということになります。