関連バンドル

数学において、構造群（位相群）を持つファイバー束の理論は、束の典型的なファイバーが から に変化する関連束を作成する操作を可能にします。これらは両方とも、群作用を持つ位相空間です。構造群Gを持つファイバー束Fの場合、2 つの座標系U _αとU _βの重なりにおけるファイバー（つまり、コサイクル）の遷移関数は、 U _α ∩ U _β上のG値関数g _αβとして与えられます。次に、同じ遷移関数を持つがおそらく異なるファイバーを持つ新しいファイバー束として、ファイバー束F ′ を構築できます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle G}$

単純なケースとしては、メビウスの帯が挙げられます。メビウスの帯 は、位数 2 の巡回群です。実数直線、区間、実数直線から点 0 を除いたもの、2 点集合のいずれかを としてとることができます。これらに対する の作用(非単位元は各ケースで として作用します) は、直感的に比較できます。2 つの長方形とを貼り合わせるという観点から、より形式的に言うと、必要なのは、一方の端 でデータがそれ自体に直接同一視され、もう一方の端 でねじれが加わることです。このデータは、 Gに値を持つパッチ関数 として記述できます。関連するバンドル構築は、このデータがに対しても に対しても同じように機能するという観察にすぎません。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle [-1,\ 1]}$${\displaystyle \{-1,\ 1\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x\\rightarrow\-x}$${\displaystyle [-1,\ 1]\times I}$${\displaystyle [-1,\ 1]\times J}$${\displaystyle [-1,\ 1]}$${\displaystyle \{-1,\ 1\}}$${\displaystyle [-1,\ 1]}$

一般に、ファイバー が作用するバンドルから、関連する主バンドル（つまり、ファイバー が であり、それ自身に平行移動によって作用すると考えられるバンドル）への遷移を説明すれば十分です。 すると、主バンドルを経由してからに移行できます。開いた被覆に関するデータの詳細は、降下のケースとして示されています。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$

このセクションは次のように構成されています。まず、与えられたファイバー束から、指定されたファイバーを持つ関連束を生成するための一般的な手順を紹介します。次に、指定されたファイバーが、グループの左作用に対する主同次空間である場合に特化し、関連する主束を生成します。さらに、主束のファイバーに右作用が与えられた場合、ファイバー積構成によって任意の関連束を構築する方法について説明します。^[1]

を位相空間X上のファイバー束とし、その構造群はG、典型ファイバーはF とする。定義により、ファイバーFにはGの左作用（変換群として）が存在する。さらに、この作用が有効であるとする。^[2]束Eの局所的自明化 は、Xの開被覆U _iと、遷移写像がGの元によって与えられるようなファイバー写像の集合から構成される。より正確には、連続関数g _ij  : ( U _i ∩ U _j ) → Gが存在し、${\textstyle \pi :E\to X}$ $${\displaystyle \varphi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times F}$$$${\displaystyle \psi _{ij}(u,f):=\varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{-1}(u,f)={\big (}u,g_{ij}(u)f{\big )},\quad {\text{各}}(u,f)\in (U_{i}\cap U_{j})\times F\,.}$$

ここで、F ′ をGの連続左作用を備えた指定された位相空間とします。すると、ファイバーF ′ を持つEに関連付けられたバンドルは、被覆U _iに従属する局所自明化を持つバンドルE ′ であり、その遷移関数は によって与えられます。ここで、G値関数g _ij ( u ) は、元のバンドルEの局所自明化から得られるものと同じです。この定義は、遷移関数のコサイクル条件を明確に尊重しています。なぜなら、いずれの場合も、それらは同じG値関数のシステムによって与えられるからです。(別の局所自明化を使用し、必要に応じて共通の改良に渡して、g _{ij は}同じ共境界を介して変換します。) したがって、ファイバーバンドル構成定理により、これは主張されているようにファイバーF ′ を持つファイバーバンドルE ′ を生成します。 $${\displaystyle \psi '_{ij}(u,f')={\big (}u,g_{ij}(u)f'{\big )},\quad {\text{各 }}(u,f')\in (U_{i}\cap U_{j})\times F'\,,}$$

前と同様に、E は構造群Gを持つファイバー束であると仮定します。G がF ′に対して自由かつ推移的な左作用を持ち、 F ′ がGのそれ自身に対する左作用の主同次空間となる特別な場合、付随する束E ′ はファイバー束Eに付随する主G束と呼ばれます。 さらに、新しいファイバーF ′ がGと同一視される場合(つまり、F ′ がGの右作用と左作用を継承する場合)、GのF ′に対する右作用は、 GのE ′に対する右作用を誘導します。 この同一視を選択すると、E ′ は通常の意味で主束になります。Gの主同次空間への右作用を​​指定する標準的な方法はありませんが、そのような作用の 2 つは、構造群Gを持つ同じ基礎ファイバーバンドルを持つ主バンドル(これはGの左作用から来るため) を生成し、 2 つを関連付けるバンドルのG同変同型が存在するという意味でG空間と同型であることに注意してください。

このように、右作用を備えた主Gバンドルは、構造群Gを持つファイバーバンドルを指定するデータの一部であると考えられることが多い。これは、ファイバーバンドルに対して、関連するバンドル構築を介して主バンドルを構築できるためである。次に、次のセクションのように、逆に、ファイバー積を使用して任意のファイバーバンドルを導出することができる。

π : P → Xを主G束とし、ρ : G → Homeo( F ) を空間FへのGの連続左作用とします（滑らかなカテゴリでは、滑らかな多様体への滑らかな作用があるはずです）。一般性を失うことなく、この作用を有効と見なすことができます。

GのP × Fへの右作用を^{​​[3] [4]}で定義する。

${\displaystyle (p,f)\cdot g=(p\cdot g,\rho (g^{-1})f)\,.}$

この作用によって空間E = P × _ρ F = ( P × F ) / Gを得る。 ( p , f )の同値類を[ p , f ] で表す。

${\displaystyle [p\cdot g,f]=[p,\rho (g)f]{\mbox{ すべての }}g\in G に対して。}$

_{π ρ} ([ p , f ]) = π( p )により射影マップπ _ρ  : E → Xを定義します。これは明確に定義されていることに注意してください。

するとπρ _:  E → XはファイバーFと構造群Gを持つファイバー束となる。遷移関数はρ( t _ij )で与えられ、t _ijは主束Pの遷移関数である。

この構成はカテゴリ的にも見ることができます。より正確には、 GをPの右側に作用させ、 Fの左側に作用させることによって、2 つの連続写像が与えられます。関連付けられているベクトル束は、これらの写像の 共等化子です。${\displaystyle P\times G\times F\to P\times F}$${\displaystyle P\times _{\rho }F}$

付随バンドルの関連概念は、 -バンドルの構造群の簡約です。同型 を除いて、付随-バンドル が であるような -バンドルが存在するかどうかを尋ねます。より具体的には、 の遷移データがの値で一貫して記述できるかどうかを尋ねます。言い換えると、付随バンドル マッピング (実際には関数) の像を識別することを尋ねます。${\displaystyle G}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle C}$${\displaystyle G}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$

ベクトル束の例としては、距離の導入により構造群が一般線型群GL( n )から直交群O( n ) に縮小されること、実束上の複素構造の存在により構造群が実一般線型群 GL( 2n , R ) から複素一般線型群 GL( n , C ) に縮小されることなどが挙げられます。

もう一つの重要なケースは、ランクnのベクトルバンドルVの分解を、ランクkとnkの部分バンドルのホイットニー和（直和）として見つけることです。これにより、構造群が GL( n , R ) から GL( k , R ) × GL( nk , R ) に縮小されます。

葉脈構造を定義するための条件を、接線バンドルのブロック行列サブグループへの縮小として表現することもできますが、ここでは縮小は必要条件にすぎず、積分可能性条件があるため、フロベニウスの定理が適用されます。

• スピノル束

• スティーンロッド、ノーマン（1951）。ファイバー束のトポロジー。プリンストン：プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-00548-6。
• Husemoller, Dale (1994). Fibre Bundles (第3版). ニューヨーク: Springer . ISBN 978-0-387-94087-8。
• シャープ、RW (1997)。微分幾何学：カルタンによるクラインのエルランゲン計画の一般化。ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 0-387-94732-9。