分割可能なグループ

数学、特に群論の分野において、可除群とは、すべての要素が何らかの意味で正の整数で割り切れる、より正確には、すべての要素が各正の整数nのn倍数であるアーベル群のことである。可除群は、特に単射アーベル群であるため、アーベル群の構造を理解する上で重要である。

アーベル群${\displaystyle (G,+)}$は、すべての正の整数に対して、割り切れる。${\displaystyle n}$そしてすべての${\displaystyle g\in G}$存在する${\displaystyle y\in G}$そのため${\displaystyle ny=g}$^{[ 1 ]} 同等の条件は次のとおりです。任意の正の整数に対して${\displaystyle n}$、${\displaystyle nG=G}$存在以来${\displaystyle y}$すべての${\displaystyle n}$そして${\displaystyle g}$意味するところは${\displaystyle nG\supseteq G}$、そして反対方向${\displaystyle nG\subseteq G}$これはすべての群に当てはまります。3つ目の同等の条件は、アーベル群が${\displaystyle G}$は、次の場合に限り割り切れる。${\displaystyle G}$はアーベル群の圏における単射対象である。このため、可除群は単射群と呼ばれることもある。

アーベル群は${\displaystyle p}$素数で割り切れる​${\displaystyle p}$すべての${\displaystyle g\in G}$存在する${\displaystyle y\in G}$そのため${\displaystyle py=g}$同等に、アーベル群は${\displaystyle p}$-割り切れるのは、${\displaystyle pG=G}$。

• 有理数​${\displaystyle \mathbb {Q} }$加算に関して、分割可能なグループを形成する。
• より一般的には、任意のベクトル空間の基礎となる加法群は、${\displaystyle \mathbb {Q} }$割り切れる。
• 割り切れる群の商はすべて割り切れる。したがって、${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$割り切れる。
• p -主成分​${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$の${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$これはp準環状群と同形である。${\displaystyle \mathbb {Z} [p^{\infty }]}$は割り切れる。
• 複素数の乗法群${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$割り切れる。
• （モデル理論的な意味での）存在的に閉じたアーベル群はすべて可除である。

• 可除群がアーベル群の部分群である場合、それはそのアーベル群の直和因子である。^{[ 2 ]}
• すべてのアーベル群は可除群に埋め込むことができる。 ^{[ 3 ]}言い換えれば、アーベル群の圏には十分な単射が存在する。
• 非自明な可除群は有限生成群ではない。
• さらに、すべてのアーベル群は、一意的な方法で可除群に本質的部分群として埋め込むことができる。 ^{[ 4 ]}
• アーベル群が可除であるのは、すべての素数pに対してp可除である場合に限る。
• させて${\displaystyle A}$リングである。${\displaystyle T}$分割可能なグループである場合、${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} {\text{-Mod}}}(A,T)}$は、のカテゴリーにおいて単射である。${\displaystyle A}$-モジュール。^{[ 5 ]}

G を可除群とする。このとき、Gのねじれ部分群Tor( G )は可除群である。可除群は単射加群であるため、Tor( G ) はGの直和因子である。したがって、

${\displaystyle G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).}$

可除群の商として、G /Tor( G ) は可除である。さらに、ねじれがない。したがって、 Q上のベクトル空間であり、ある集合Iが存在して、

${\displaystyle G/\mathrm {Tor} (G)=\bigoplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.}$

ねじれ部分群の構造を決定するのはより困難ですが、すべての素数pに対して、あることが示されます^{[ 6 ] [ 7 ]}${\displaystyle I_{p}}$そのため

${\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}=\bigoplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},}$

どこ${\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}}$Tor( G )のp-主要成分である。

したがって、P が素数の集合である場合、

${\displaystyle G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.}$

p ∈ Pの集合IとI _pの濃度は、群Gによって一意に決定されます。  

前述のように、任意のアーベル群A は、可除群Dに本質的部分群として一意的に埋め込まれる。この可除群DはAの単射包絡であり、この概念はアーベル群の圏における単射包絡である。

アーベル群は、唯一の可除部分群が {0} である場合に、簡約群であると言われます。すべてのアーベル群は、可除部分群と簡約部分群の直和です。実際、任意の群には一意の最大の可除部分群があり、この可除部分群は直和因子です。^{[ 8 ]}これは、整数Zのような遺伝的環の特別な特徴です。環がネーター環であるため、単射加群の直和は単射であり、環が遺伝的であるため、単射の商は単射であるため、単射加群によって生成される任意の部分加群は単射です。逆は( Matlis 1958 )の結果です。すべての加群が一意の最大の単射部分加群を持つ場合、環は遺伝的です。

可算な既約周期アーベル群の完全な分類は、ウルムの定理によって与えられる。

可除群を可除加群に一般化する定義はいくつか存在する。文献では、環R上の可除加群Mを定義するために、以下の定義が用いられてきた。

1. rM = M は、 Rのすべての非ゼロrに対して成り立つ。^{[ 9 ]} ( rが零因子でないことが要求される場合があり、一部の著者^{[ 10 ]}はRが定義域であることを要求している。)
2. 任意の主左イデアルRaに対して、RaからMへの任意の準同型写像は、 RからMへの準同型写像に拡張される。^{[ 11 ] [ 12 ]} （このタイプの可除加群は主単射加群とも呼ばれる。）
3. Rの任意の有限生成左イデアルLに対して、LからMへの任意の準同型写像は、 RからMへの準同型写像に拡張される。

最後の2つの条件は、ベアの単射加群判定基準の「制限付きバージョン」である。単射左加群はすべての左イデアルからRへの準同型写像を拡張するため、単射加群は明らかに2と3の意味で可除である。

Rがさらに領域である場合、3 つの定義はすべて一致します。Rが主左イデアル領域である場合、可除加群は単射加群と一致します。^{[ 13 ]}したがって、主イデアル領域である整数環Zの場合、Z加群 (正確にはアーベル群) は、単射である場合に限り可除です。

Rが可換環である場合、Rの単射加群が可除なR加群と一致するのは、 Rがデデキント環である場合に限る。^{[ 13 ]}

• 挿入オブジェクト
• 注入モジュール
• 純粋部分群

• カルタン、アンリ；アイレンベルク、サミュエル（1999）、『ホモロジー代数』、プリンストン数学ランドマークシリーズ、プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局、 xvi+390ページ、ISBN 0-691-04991-2MR 1731415​ デイヴィッド・A・ブックスバウムによる付録付き。1956年初版の復刻版。
• Feigelstock, Shalom (2006)、「可除性は単射である」、蘇州数学ジャーナル、32 (2): 241–243、ISSN 0250-3255、MR 2238765  
• グリフィス、フィリップ A. (1970).無限アーベル群論. シカゴ数学講義. シカゴ大学出版局. ISBN 0-226-30870-7。
• ホール、マーシャル・ジュニア（1959）。群論。ニューヨーク：マクミラン。 第13章3節
• カプランスキー、アーヴィング（1965）。無限アーベル群。ミシガン大学出版局。
• フックス、ラースロー（1970）。無限アーベル群 第1巻。アカデミックプレス。
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings , Graduate Texts in Mathematics No. 189, vol.  189, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5MR 1653294​ 
• Serge Lang (1984).代数学、第2版。カリフォルニア州メンローパーク：Addison-Wesley。
• Matlis, Eben (1958). "ネーター環上の単射加群" . Pacific Journal of Mathematics . 8 (3): 511– 528. doi : 10.2140/pjm.1958.8.511 . ISSN 0030-8730 . MR 0099360 .  
• Nicholson, WK; Yousif, MF (2003), Quasi-Frobenius rings , Cambridge Tracts in Mathematics, vol.  158, Cambridge: Cambridge University Press, pp.  xviii+307, doi : 10.1017/CBO9780511546525 , ISBN 0-521-81593-2MR 2003785​