Z変換

離散時間信号の両側Z変換${\displaystyle x[n]}$形式的冪級数${\displaystyle X(z)}$定義：

どこ${\displaystyle n}$は整数であり、${\displaystyle z}$は一般に複素数である。極形式では、${\displaystyle z}$次のように表記することもできます。

${\displaystyle z=Ae^{i\phi }=A\cdot (\cos {\phi }+i\sin {\phi })}$

どこ${\displaystyle A}$はの大きさです${\displaystyle z}$⁠、${\displaystyle i}$は虚数単位であり、${\displaystyle \phi }$は、ラジアン単位の複素引数（角度または位相とも呼ばれる）です。

あるいは、${\displaystyle x[n]}$のみ定義されています${\displaystyle n\geq 0}$⁠、片側または片側Z変換は次のように定義されます。

これは基本的にディリクレ級数と同じです${\displaystyle (x[n])_{n\in \mathbb {N} }}$。

信号処理においては、上記の定義を用いて、離散時間因果システムの単位インパルス応答のZ変換を評価することができる。

片側Z変換の重要な例として、確率生成関数があり、その成分は${\displaystyle x[n]}$は、離散確率変数が値をとる確率です。${\displaystyle n}$Z変換の性質（ § 性質に記載）は、確率論の文脈において有用な解釈を持つ。

この方法は、コーシーの留数定理を用いて逆Z変換を評価するものです。複素平面上の閉じた積分経路に沿って積分を行うことで、その経路内のZ変換関数の極における留数を合計します。この手法は、複素変数で表される関数を扱う場合に特に有効です。

この方法では、Z変換をべき級数に展開します。この方法は、Z変換関数が有理数である場合に有効であり、級数展開によって逆関数を近似し、信号係数を項ごとに求めることができます。

この手法では、Z変換をより単純な分数の和に分解し、それぞれの分数は既知のZ変換ペアに対応します。そして、各項をZ変換ペアの標準表で参照することで、逆Z変換を求めます。この方法は、特に元の関数が容易に認識可能な構成要素に分解できる場合に、その効率性と簡便性から広く用いられています。

させよう${\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}}$拡大中${\displaystyle x[n]}$インターバル中に${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$それは

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,(0.5)^{-3},(0.5)^{-2},(0.5)^{-1},1,0.5,(0.5)^{2},(0.5)^{3},\dots \right\}=\left\{\dots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,(0.5)^{2},(0.5)^{3},\dots \right\}.}$

合計を見ると

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .}$

したがって、次の値は存在しません。${\displaystyle z}$この条件を満たすもの。

させて${\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}\,u[n]}$（どこ${\displaystyle u}$はヘヴィサイド階段関数です。展開すると${\displaystyle x[n]}$インターバル中に${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$それは

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,0,0,0,1,0.5,(0.5)^{2},(0.5)^{3},\dots \right\}.}$

合計を見ると

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }(0.5)^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5\,z^{-1}}}.}$

最後の等式は無限等比級数から導かれ、等式は の場合にのみ成り立つ。${\displaystyle \vert 0.5\,z^{-1}\vert <1}$⁠、これは次のように書き換えることができる。${\displaystyle z}$として​${\displaystyle \vert z\vert >0.5}$したがって、ROCは${\displaystyle \vert z\vert >0.5}$この場合、ROCは半径の円盤を持つ複素平面です。${\displaystyle 0.5}$原点では「打ち抜かれた」。

させて${\displaystyle x[n]=-(0.5)^{n}\,u[-n-1]}$（どこ${\displaystyle u}$はヘヴィサイド階段関数です。展開すると${\displaystyle x[n]}$インターバル中に${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$それは

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\dots \right\}.}$

合計を見ると

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}&=-\sum _{n=-\infty }^{-1}(0.5)^{n}\,z^{-n}\\&=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}\\&=-{\frac {(0.5)^{-1}z}{1-(0.5)^{-1}z}}\\&=-{\frac {1}{0.5\,z^{-1}-1}}\\&={\frac {1}{1-0.5\,z^{-1}}}\\\end{aligned}}}$

そして無限等比級数を再び用いると、等式が成り立つのは、${\displaystyle |(0.5)^{-1}z|<1}$これは次のように書き換えることができる。${\displaystyle z}$として​${\displaystyle \vert z\vert <0.5}$したがって、ROCは${\displaystyle \vert z\vert <0.5}$この場合、 ROCは原点を中心とする半径の円盤です。 ${\displaystyle 0.5}$⁠ .

この例と前の例との違いは、 ROC曲線のみである。これは、変換結果だけでは不十分であることを示すための意図的なものである。

例2と例3は、Z変換が${\displaystyle X(z)}$の${\displaystyle x[n]}$ROCを指定する場合に限り、一意になります。因果ケースと反因果ケースの極零点プロットを作成すると、どちらのケースのROCにも、にある極は含まれないことがわかります。${\displaystyle 0.5}$これは複数の極を持つ場合にも当てはまります。ROCには極が含まれることはありません。

例2では、​​因果システムはROCを生成する。${\displaystyle |z|=\infty }$例3の反因果システムは、以下を含むROCを生成する。${\displaystyle \vert z\vert =0}$⁠ .

複数の極を持つシステムでは、どちらも含まないROCを持つことが可能です。${\displaystyle |z|=\infty }$も​${\displaystyle \vert z\vert =0}$ROCは円形の帯を作成します。たとえば、

${\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}\,u[n]-(0.75)^{n}\,u[-n-1]}$

ポールがあります⁠${\displaystyle 0.5}$そして​​${\displaystyle 0.75}$⁠。ROCは⁠${\displaystyle 0.5<\vert z\vert <0.75}$原点も無限大も含まない。このようなシステムは、因果項を含むため、混合因果システムと呼ばれる。${\displaystyle (0.5)^{n}\,u[n]}$そして反因果的な用語${\displaystyle -(0.75)^{n}\,u[-n-1]}$⁠ .

システムの安定性は、ROC を知るだけで判断することもできます。ROC に単位円が含まれている場合 (つまり、${\displaystyle \vert z\vert =1}$⁠ ) ならばシステムは安定している。上記のシステムでは、因果システム（例2）は安定している。なぜなら、${\displaystyle \vert z\vert >0.5}$単位円を含む。

ROCのないシステムのZ変換が与えられたと仮定しましょう（つまり、曖昧な${\displaystyle x[n]}$)一意の${\displaystyle x[n]}$ただし、我々は以下のことを望む。

• 安定性
• 因果関係

安定性を確保するためには、収束領域（ROC）は単位円を含まなければなりません。因果関係のあるシステムが必要な場合は、収束領域は無限大を含まなければならず、システム関数は右辺の数列になります。反因果関係のあるシステムが必要な場合は、収束領域は原点を含まなければならず、システム関数は左辺の数列になります。安定性と因果関係の両方が必要な場合は、システム関数のすべての極が単位円の内側になければなりません。

ユニークな${\displaystyle x[n]}$そうすれば見つけることができる。

双一次変換は、連続時間フィルタ（ラプラス領域で表現される）を離散時間フィルタ（Z領域で表現される）に変換したり、その逆を行ったりするために使用できます。以下の置換が使用されます。

${\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}}$

関数を変換する${\displaystyle H(s)}$ラプラス領域における関数${\displaystyle H(z)}$Z領域（タスティン変換）において、または

${\displaystyle z=e^{sT}\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}}$

Z領域からラプラス領域へ。双線形変換により、複素s平面（ラプラス変換）は複素z平面（z変換）にマッピングされます。このマッピングは（必然的に）非線形ですが、全体をマッピングするという点で有用です。${\displaystyle i\omega }$s平面の軸をz平面の単位円に重ね合わせる。そのため、フーリエ変換（これは、s平面上で評価されたラプラス変換である）は、${\displaystyle i\omega }$軸) は離散時間フーリエ変換になります。これはフーリエ変換が存在することを前提としています。つまり、${\displaystyle i\omega }$その軸はラプラス変換の収束領域内にある。

片側Z変換が与えられた場合${\displaystyle X(z)}$時間サンプリングされた関数の対応する星付き変換はラプラス変換を生成し、${\displaystyle T}$（サンプリングパラメータ）：

${\displaystyle {\bigg .}X^{*}(s)=X(z){\bigg |}_{\displaystyle z=e^{sT}}}$

逆ラプラス変換は、インパルスサンプリング関数として知られる数学的な抽象概念である。

上記の式をZ変換すると（線形性と時間シフトの法則を用いて）、次の式が得られる。

${\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}$

どこ${\displaystyle X(z)}$そして${\displaystyle Y(z)}$Z変換は${\displaystyle x[n]}$そして​${\displaystyle y[n]}$それぞれ⁠と です。（表記規則では、通常、対応する小文字で表される信号の Z 変換を表すのに大文字が用いられます。これはラプラス変換の表記規則と同様です。）

式を整理すると、システムの伝達関数は次のようになります。

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.}$

代数学の基本定理から、分子は${\displaystyle M}$根（${\displaystyle H}$）分母は${\displaystyle N}$根（極に対応）。伝達関数を零点と極を用いて書き直す。

${\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}},}$

どこ${\displaystyle q_{k}}$は${\displaystyle k}$th ゼロと${\displaystyle p_{k}}$は${\displaystyle k}$番目の極。零点と極は一般的に複素数であり、複素平面（z平面）上にプロットすると、極零点図と呼ばれます。

さらに、零点と極は${\displaystyle z=0}$そして​${\displaystyle z=\infty }$これらの極と零点、および多重次数の零点と極を考慮に入れると、零点と極の数は常に等しくなります。

分母を因数分解することで部分分数分解を用いることができ、それを時間領域に変換し直すことができる。そうすることで、システムのインパルス応答と線形定数係数差分方程式が得られる。

もしそのようなシステムがあれば${\displaystyle H(z)}$信号によって駆動される${\displaystyle X(z)}$すると出力は⁠${\displaystyle Y(z)=H(z)X(z)}$⁠。部分分数分解${\displaystyle Y(z)}$そして出力に対して逆Z変換を行う${\displaystyle y[n]}$見つけることができる。実際には、分数分解することがしばしば有用である。${\displaystyle \textstyle {\frac {Y(z)}{z}}}$その量を掛ける前に${\displaystyle z}$形式を生成する${\displaystyle Y(z)}$これには、容易に計算可能な逆Z変換を持つ項が含まれる。