数学 において 、 射影ユニタリ群 PU( n )は、 ユニタリ群 U( n ) を その 中心 U(1) の右乗法で 割った商 であり、スカラーとして埋め込まれている。抽象的には、射影 直交群が 実射影空間 の 等長 変換群であるのと同様に、 これは 複素射影空間の 正則等長変換 群である 。
行列 で表すと 、 U( n ) の要素は複素 n × n ユニタリ行列であり、中心の要素は e i θ I に等しい対角行列です。ここで、 I は単位行列です。したがって、 PU( n ) の要素は、定数位相 θ による乗算の下でのユニタリ行列の同値類に対応します。この空間は SU( n ) (行列式が 1 であることのみを必要とする) ではありません。SU ( n ) には依然として要素 e i θ I が含まれており、 e i θ は 1 のn 乗根です (したがって、 det(e i θ I ) = e i θn = 1 です )。
抽象的には、 エルミート空間 V が与えられたとき、群 PU( V ) は射影空間 P ( V ) の自己同型群におけるユニタリ群 U( V ) の像である 。
射影特殊ユニタリ群 射影 特殊ユニタリ群 PSU( n )は、直交の場合とは対照的に、射影ユニタリ群に等しい。
U( n )、SU( n )、それらの中心、および射影ユニタリ群の間の接続は、右の図に示されています（図では の 代わりに整数が示されていることに注意してください ）。
ず
{\displaystyle \mathbf {Z} }
ず
{\displaystyle \mathbb {Z} }
特殊ユニタリ群 の 中心 は、1 の n 乗根のスカラー行列です 。
ず
（
S あなた
（ ん ） ）
{\displaystyle \mathrm {Z} (\mathrm {SU} (n))}
S あなた
（ ん ）
{\displaystyle \mathrm {SU} (n)}
ず
（
S あなた
（ ん ） ） =
S あなた
（ ん ） ∩
ず
（
あなた
（ ん ） ） ≅
ず
/
ん
{\displaystyle \mathrm {Z} (\mathrm {SU} (n))=\mathrm {SU} (n)\cap \mathrm {Z} (\mathrm {U} (n))\cong \mathbb {Z } /n}
自然地図
ポ S あなた
（ ん ） =
S あなた
（ ん ）
/
ず
（
S あなた
（ ん ） ） →
ポ あなた
（ ん ） =
あなた
（ ん ）
/
ず
（
あなた
（ ん ） ）
{\displaystyle \mathrm {PSU} (n)=\mathrm {SU} (n)/\mathrm {Z} (\mathrm {SU} (n))\to \mathrm {PU} (n)=\mathrm {U} (n)/\mathrm {Z} (\mathrm {U} (n))}
は同型であり、 第二同型定理 より、
P
U
(
n
)
=
P
S
U
(
n
)
=
S
U
(
n
)
/
(
Z
/
n
)
.
{\displaystyle \mathrm {PU} (n)=\mathrm {PSU} (n)=\mathrm {SU} (n)/(\mathbb {Z} /n).}
特殊ユニタリ群SU( n )は 射影ユニタリ群の
n重被覆である。
例 n = 1のとき 、U(1)はアーベル群なのでその中心に等しい。したがって、PU(1) = U(1)/U(1)は 自明群 である。
n = 2 のとき 、すべては単位ノルム四元数で表現でき、 次式で表されます。
S
U
(
2
)
≅
S
p
i
n
(
3
)
≅
S
p
(
1
)
{\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong \mathrm {Spin} (3)\cong \mathrm {Sp} (1)}
P
U
(
2
)
≅
S
O
(
3
)
{\displaystyle \mathrm {PU} (2)\cong \mathrm {SO} (3)}
P
U
(
2
)
=
P
S
U
(
2
)
=
S
U
(
2
)
/
(
Z
/
2
)
≅
S
p
i
n
(
3
)
/
(
Z
/
2
)
=
S
O
(
3
)
{\displaystyle \mathrm {PU} (2)=\mathrm {PSU} (2)=\mathrm {SU} (2)/(\mathbb {Z} /2)\cong \mathrm {Spin} (3)/(\mathbb {Z} /2)=\mathrm {SO} (3)}
有限体 有限体上のユニタリ群も定義できます。つまり、位数q の体が与えられたとき 、ユニタリ合同を除いて一意な 上のベクトル空間上に非退化エルミート構造があり 、それに対応して、または で示される行列群 と、 同様に特殊ユニタリ群および射影ユニタリ群があります。便宜上、この記事では 慣例を使用します。
F
q
2
,
{\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}},}
U
(
n
,
q
)
{\displaystyle \mathrm {U} (n,q)}
U
(
n
,
q
2
)
{\displaystyle \mathrm {U} (n,q^{2})}
U
(
n
,
q
2
)
{\displaystyle \mathrm {U} (n,q^{2})}
有限体の単位群は巡回 である ため 、 の単位群 、したがって の可逆スカラー行列群は、 次数の巡回群です。 の中心は次数 q + 1を持ち 、ユニタリなスカラー行列、つまり を持つ行列で構成されます。 特殊ユニタリ群の中心は次数 gcd( n , q + 1) を持ち 、 n を 割り切る 次数 を持つユニタリ スカラーで構成されます 。
F
q
2
,
{\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}},}
G
L
(
n
,
q
2
)
{\displaystyle \mathrm {GL} (n,q^{2})}
q
2
−
1.
{\displaystyle q^{2}-1.}
U
(
n
,
q
2
)
{\displaystyle \mathrm {U} (n,q^{2})}
c
I
V
{\displaystyle cI_{V}}
c
q
+
1
=
1.
{\displaystyle c^{q+1}=1.}
ユニタリ群をその中心で割った商は 射影ユニタリ群 であり、 特殊ユニタリ群をその中心で割った商は 射影特殊ユニタリ群 である。ほとんどの場合 ( n ≥ 2 かつ )、は 完全群 であり 、 は 有限 単純群 である(Grove 2002、Thm. 11.22 および 11.26)。
P
U
(
n
,
q
2
)
,
{\displaystyle \mathrm {PU} (n,q^{2}),}
P
S
U
(
n
,
q
2
)
.
{\displaystyle \mathrm {PSU} (n,q^{2}).}
(
n
,
q
2
)
∉
{
(
2
,
2
2
)
,
(
2
,
3
2
)
,
(
3
,
2
2
)
}
{\displaystyle (n,q^{2})\notin \{(2,2^{2}),(2,3^{2}),(3,2^{2})\}}
S
U
(
n
,
q
2
)
{\displaystyle \mathrm {SU} (n,q^{2})}
P
U
(
n
,
q
2
)
{\displaystyle \mathrm {PU} (n,q^{2})}
PUのトポロジー( H ）
PU( H ）は円束の分類空間である 同じ構成は、無限次元 ヒルベルト空間 に作用する行列にも適用できます。
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
U( H ) を無限次元ヒルベルト空間上のユニタリ作用素の空間とする。f : X → U( H ) がコンパクト空間 X のユニタリ群への連続写像であるとき、その像 の 有限次元近似と単純な K 理論のトリックを使用することができる。
u
⊕
1
ℓ
2
∼
u
⊕
1
ℓ
2
⊕
1
ℓ
2
⊕
⋯
∼
u
⊕
u
−
1
⊕
u
⊕
u
−
1
⊕
⋯
∼
1
ℓ
2
⊕
1
ℓ
2
⊕
⋯
,
u
∈
U
(
H
)
,
{\displaystyle u\oplus 1_{\ell ^{2}}\sim u\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus \cdots \sim u\oplus u^{-1}\oplus u\oplus u^{-1}\oplus \cdots \sim 1_{\ell ^{2}}\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus \cdots ,\qquad u\in {\rm {U}}(H),}
実際に、それが単一の点への自明な写像にホモトピックであることを示す。これは、U( H ) が弱縮約可能であることを意味し、追加の議論はそれが実際に縮約可能であることを示す。これは、行列の行列式によって与えられる U(1) へのホモトピックな非自明な連続写像を許容する縮約不可能な包含写像の下での有限次元のいとこ U( n ) とその極限 U(∞) とは対照的に、純粋に無限次元の現象であることに注意してください。
無限次元ユニタリ群の中心は 、有限次元の場合と同様に U(1) であり、これも位相による乗算を介してユニタリ群に作用します。ユニタリ群にはゼロ行列が含まれていないため、この作用は自由です。したがって、 U(1) 作用を持つ収縮可能な空間は EU(1) として識別され 、U(1) 軌道の空間は U(1) の分類空間である BU(1) として 識別 され ます 。
U
(
H
)
{\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}
U
(
H
)
{\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}
PU(のホモトピーと(コ)ホモロジー) H ）
P
U
(
H
)
{\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}
は、U(1)作用の軌道空間として正確に定義され 、したがって 分類空間BU(1)の実現である。特に、同型
U
(
H
)
{\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}
P
U
(
H
)
{\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}
π
n
(
X
)
=
π
n
+
1
(
B
X
)
{\displaystyle \pi _{n}(X)=\pi _{n+1}(BX)}
空間Xのホモトピー群 とその分類空間BXのホモトピー群
と、円U(1)のホモトピー型との組み合わせ
π
k
(
U
(
1
)
)
=
{
Z
k
=
1
0
k
≠
1
{\displaystyle \pi _{k}(\mathrm {U} (1))={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\0&k\neq 1\end{cases}}}
のホモトピー群を見つける
P
U
(
H
)
{\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}
π
k
(
P
U
(
H
)
)
=
{
Z
k
=
2
0
k
≠
2
{\displaystyle \pi _{k}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=2\\0&k\neq 2\end{cases}}}
したがって、 Eilenberg-MacLane空間 の代表として識別されます 。
P
U
(
H
)
{\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}
K
(
Z
,
2
)
{\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)}
その結果、 は、 も表す 無限次元 複素射影空間 と同じホモトピー型でなければなりません。これは特に、それらが同型 ホモロジー 群と コホモロジー 群を持つことを意味します。
P
U
(
H
)
{\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}
K
(
Z
,
2
)
{\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)}
H
2
n
(
P
U
(
H
)
)
=
H
2
n
(
P
U
(
H
)
)
=
Z
H
2
n
+
1
(
P
U
(
H
)
)
=
H
2
n
+
1
(
P
U
(
H
)
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} ^{2n}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))&=\mathrm {H} _{2n}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=\mathbb {Z} \\\mathrm {H} ^{2n+1}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))&=\mathrm {H} _{2n+1}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=0\end{aligned}}}
表現
随伴表現 PU( n )には一般に n 次元表現がなく 、SO(3)には2次元表現がないのと同じです。
PU( n ) は SU( n )に対して随伴作用を持つ ため、 -次元表現を持ちます。n = 2 のとき 、 これは SO(3) の 3 次元表現に対応します。随伴作用は、PU( n ) の要素を位相が異なる U( n )の要素の同値類として考えることによって定義されます。すると、これらの U( n ) の代表のいずれかに関して随伴作用を取ることができ 、位相はすべてと交換されるためキャンセルされます。したがって、作用は代表の選択とは独立しており、明確に定義されます。
(
n
2
−
1
)
{\displaystyle (n^{2}-1)}
射影表現 多くのアプリケーションでは、PU( n )は線形表現ではなく、作用するベクトルに依存しない位相までの表現である 射影表現 で作用します。物理状態は位相までしか定義されないため、これらは量子力学で役立ちます。たとえば、質量のあるフェルミオン状態は射影表現では変換されますが、小群PU(2) = SO(3)の表現では変換されません。
群の射影表現は、その第2整 コホモロジー によって分類される。この場合、
H
2
(
P
U
(
n
)
)
=
Z
/
n
{\displaystyle \mathrm {H} ^{2}(\mathrm {PU} (n))=\mathbb {Z} /n}
または
H
2
(
P
U
(
H
)
)
=
Z
.
{\displaystyle \mathrm {H} ^{2}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=\mathbb {Z} .}
有限の場合のコホモロジー群は、 バンドルの 長完全列と、SU( n )が PU( n )上のバンドルであるという上記の事実から導くことができます。無限の場合のコホモロジーは、無限複素射影空間のコホモロジーとの同型性から上で議論されました。
Z
/
n
{\displaystyle \mathbb {Z} /n}
したがって、PU( n )には n 個の 射影表現があり、そのうち最初のものは SU( n ) 被覆の基本表現であるのに対し、は 可算無限個あります。通常どおり、群の射影表現は、群の 中心拡張 の通常の表現です。この場合、各射影ユニタリ群の最初の射影表現に対応する中心拡張群は、 PU の定義で U(1) で商を取った元の
ユニタリ群です。
P
U
(
H
)
{\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}
アプリケーション
ねじれたK理論 無限射影ユニタリ群の随伴作用は、ツイスト K 理論 の幾何学的定義に役立ちます。ここでは、 フレドホルム作用素 または無限 ユニタリ群 に対する 無限次元の随伴作用が 使用されます。
P
U
(
H
)
{\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}
ツイストH を持つツイスト K 理論の幾何学的構成では 、 は バンドルのファイバーであり、異なるツイスト H は 異なるファイバー化に対応します。以下に示すように、 は位相的に Eilenberg–Maclane 空間 を表す ため、バンドルの分類空間は Eilenberg–Maclane 空間 です 。 は第 3 積分 コホモロジー 群の分類空間でもあるため、 バンドルは第 3 積分コホモロジーによって分類されます。結果として、ツイスト K 理論の可能なツイスト H は 、まさに第 3 積分コホモロジーの要素です。
P
U
(
H
)
{\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}
P
U
(
H
)
{\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}
K
(
Z
,
2
)
{\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)}
P
U
(
H
)
{\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}
K
(
Z
,
3
)
{\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,3)}
K
(
Z
,
3
)
{\displaystyle \mathrm {K} (\mathbb {Z} ,3)}
P
U
(
H
)
{\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}
純粋ヤン＝ミルズゲージ理論 純粋なヤン・ミルズSU( n ) ゲージ理論は、 グルーオン のみを持ち基本物質を持たないゲージ理論であり、すべての場はゲージ群SU( n )の随伴で変換されます 。SU ( n )の中心は 中心にあるため、SU( n )値の場と可換であり、そのため中心の随伴作用は自明です。したがって、ゲージ対称性はSU( n )をで割った商であり、PU( n )であり 、上記の随伴作用を使用して場に作用します。
Z
/
n
{\displaystyle \mathbb {Z} /n}
Z
/
n
{\displaystyle \mathbb {Z} /n}
この文脈では、SU( n ) と PU( n ) の区別は重要な物理的結果をもたらします。SU( n ) は単連結ですが、PU( n ) の基本群は、位数 n の巡回群です。したがって、 随伴スカラーを持つ PU( n ) ゲージ理論には、スカラーの期待値が PU( n ) の非自明なサイクルに巻き付く、非自明な余次元 2 の 渦 が含まれます。したがって、これらの渦は にも電荷を持ち、互いに引き合い、 n が接触すると消滅します。このような渦の例としては、SU( n ) ザイバーグ・ウィッテン ゲージ理論 のダグラス・シェンカー弦があります 。
Z
/
n
{\displaystyle \mathbb {Z} /n}
Z
/
n
{\displaystyle \mathbb {Z} /n}
参考文献
参照 
