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数学において、位相力学は、一般位相幾何学の観点から力学系の定性的、漸近的性質を研究する力学系理論の一分野です。
範囲
位相動力学における中心的な研究対象は、位相力学系、すなわち位相空間と、連続変換、連続フロー、またはより一般的には、その空間の連続変換の半群である。位相動力学の起源は、自律常微分方程式系の軌跡の漸近特性、特に極限集合の挙動や、周期的軌跡、回帰と極小性、安定性、非移動点などの運動の「反復性」のさまざまな現れの研究にある。ジョージ・バーコフは、この分野の創始者と考えられている。 1960年代初頭にヒレル・ファーステンバーグによって証明された極小遠位フローの構造定理は、極小フローの分類に関する多くの研究に影響を与えた。1970年代と1980年代には、1次元マップ、特に区間と円の 区分線形自己マップの位相動力学に関する研究が数多く行われた。
微分同相写像や滑らかな流れを持つ滑らかな多様体が主な研究対象である滑らかな力学系の理論とは異なり、位相力学で考慮される位相空間は一般的な計量空間（通常はコンパクト）である。これにより、まったく異なる手法の開発が必要となるが、滑らかな設定であっても柔軟性が増す。これは、多様体の不変部分集合が位相的に非常に複雑であることが多いためである（リミットサイクル、ストレンジアトラクター を参照）。さらに、記号表現によって生じるシフト空間は、より幾何学的な作用と同等に考えることができる。位相力学は力学系のエルゴード理論と密接な関係があり、後者の多くの基本概念には位相的な類似物がある（コルモゴロフ・シナイエントロピーや位相エントロピーを参照）。
参照
参考文献
- DV アノソフ (2001) [1994]、「位相力学」、数学百科事典、EMS プレス
- ジョセフ・アウスランダー（編）「トポロジカルダイナミクス」Scholarpedia。
- ロバート・エリス『位相力学に関する講義』 WA ベンジャミン社、ニューヨーク 1969年
- ウォルター・ゴットシャルク、グスタフ・ヘドランド、「位相力学」、アメリカ数学会コロキウム出版、第 36 巻、アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、1955 年
- J. de Vries,位相力学の要素. 数学とその応用, 257. Kluwer Academic Publishers Group, ドルドレヒト, 1993 ISBN 0-7923-2287-8
- イーサン・エイキン『動的システムの一般位相学』AMS 書店、2010 年、ISBN 978-0-8218-4932-3
- J. de Vries,位相動的システム: 連続マッピングのダイナミクス入門, De Gruyter Studies in Mathematics, 59, De Gruyter, ベルリン, 2014, ISBN 978-3-1103-4073-0
- Jian Li と Xiang Dong Ye、「位相力学におけるカオス理論の最近の発展」、Acta Mathematica Sinica、英語シリーズ、2016 年、第 32 巻、第 1 号、pp. 83–114。