単位円上の有理点の集合

数学では、単位円上の有理点とは、xとyが両方とも有理数（「分数」）であり、x ²  +  y ^{2 = 1 を満たす点（} x、  y ）のことです。 このような点の集合は、原始ピタゴラス数列と密接に関連していることがわかります。辺の長さが整数のa、b、cで、cが斜辺であり、各辺に 1 より大きい共通因数が存在しない原始直角三角形を考えます。すると、単位円上に有理点（a / c、  b / c）が存在し、これは複素平面ではa / c  +  ib / cであり、i は虚数単位です。逆に、 ( x ,  y ) が座標系の第 1象限の単位円上の有理点(つまり、 x  > 0、y > 0) である場合、辺がxc、  yc、  c である原始直角三角形が存在し 、c はxとyの分母の最小公倍数です。 x - y平面の点 ( a、b ) と複素平面の 点a  +  ibの間には対応関係があり、以下でこれを使用します。

単位円上の有理点の集合（この記事ではGと略記）は、回転によって無限アーベル群を形成します。恒等元は点 (1, 0) = 1 +  i 0 = 1 です。群演算、つまり「積」は ( x ,  y ) * ( t ,  u ) = ( xt  −  uy ,  xu  +  yt ) です。この積は、 x  =  cos ( A ) およびy  =  sin ( A )であるため、角度の加算です。ここで、Aはベクトル ( x ,  y ) がベクトル (1,0) となす角度で、反時計回りに測定されます。したがって、 ( x ,  y ) と ( t ,  u )がそれぞれ (1, 0) と角度Aおよび角度Bを形成する場合、それらの積 ( xt  −  uy ,  xu  +  yt ) は、角度A  +  Bと (1, 0)を形成する単位円上の有理点に過ぎません。グループ演算は複素数でより簡単に表現されます。点 ( x ,  y ) と点 ( t ,  u ) をそれぞれx  +  iyとt  +  iuと同一視すると、上記のグループ積は通常の複素数乗算 ( x  +  iy )( t  +  iu ) =  xt  −  yu  +  i ( xu  +  yt ) となり、これは上記の点 ( xt  −  uy ,  xu  +  yt ) に対応します。

3/5 + 4/5 iと 5/13 + 12/13 i (最も有名な 2 つのピタゴラス数列 (3,4,5) と (5,12,13)​​ に対応) は、複素平面の単位円上の有理点であり、したがってGの元です。それらの群積は -33/65 + 56/65 iであり、ピタゴラス数列 (33,56,65) に対応します。分子 33 と 56 の平方の合計は 1089 + 3136 = 4225 であり、これは分母 65 の平方です。

${\displaystyle G\cong \mathrm {SO} (2,\mathbb {Q} ).}$

有理数要素を持つすべての 2×2回転行列の集合はG と一致します。これは、円群が に同型であること、およびそれらの有理点が一致するという事実から導かれます。 ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \mathrm {SO} (2,\mathbb {R} )}$

Gの構造は巡回群の無限和です。G _{2 は}点0 + 1 iによって生成されるGの部分群を表します。 G _{2 は位数 4 の}巡回部分群です。形式 4 k + 1 の素数pに対して 、分母p ^{n を}持つ要素の部分群をG _{p で}表します。ここでnは非負の整数です。 G _{p は}無限巡回群であり、点 ( a ²  −  b ² )/ p  + (2 ab / p ) i はG _pの生成元です。さらに、 Gの要素の分母を因数分解すると、 G がG ₂とG _pの直和であることが示されます。つまり、

${\displaystyle G\cong G_{2}\oplus \bigoplus _{p\,\equiv \,1\,({\text{mod }}4)}G_{p}.}$

これは直積ではなく直和なので、 G _p s の値のうちゼロ以外 の値は有限個だけです。

G を無限直和として見て、最初の座標0がC ₄にあり、他の座標が( a 2  −  b 2 )/ p ( r ) +  i 2 ab / p ( r ) の累乗を与える元 ({ 0 }; 2 , ^{0 , 1, 0, 0, ... ,} 0, ...) を考えます。ここで、p ( r ) は 4 k + 1 の形式のr番目の素数です。 これは、Gでは、有理点 (3/5 +  i 4/5) ²  ⋅ (8/17 +  i 15/17) ¹ = −416/425 + i87/425 に対応します。分母 425 は、分母 5 を 2 回、分母 17 を 1 回掛け合わせたものであり、前の例と同様に、分子 -416 の 2 乗に分子 87 の 2 乗を加えたものが分母 425 の 2 乗に等しくなります。また、理解を深めるための関連として、分母 5 =  p (1) は形式 4 k + 1 の 1 番目の素数であり 、分母 17 =  p (3) は形式 4 k + 1の 3 番目の素数であることにも 留意してください。

単位双曲線上のこの群と上で説明した群の間には密接な関係があります。 が単位円上の有理点であり、a / cとb / cが約分数である場合、 ( c / a ,  b / a ) は単位双曲線上の有理点です。これは、単位双曲線の式を満たすためです。 ここでの群演算は であり、群の恒等式は上記と同じ点 (1, 0) です。 この群には、双曲余弦および双曲正弦との密接な関係があり、これは上記の単位円群での 余弦および正弦との関連と平行しています。${\displaystyle {\frac {a+ib}{c}}}$${\displaystyle (c/a)^{2}-(b/a)^{2}=1,}$${\displaystyle (x,y)\times (u,v)=(xu+yv,xv+yu),}$

両群の同型コピーは、 4次元空間のアーベル多様体上の有理点群の部分群（および幾何学的対象）として存在し、次式で与えられる。この多様体は、原点に対するミンコフスキー計量が0である点の集合であることに注意する。この大きな群における恒等式は（1, 0, 1, 0）であり、群演算は${\displaystyle w^{2}+x^{2}-y^{2}+z^{2}=0.}$${\displaystyle (a,b,c,d)\times (w,x,y,z)=(aw-bx,ax+bw,cy+dz,cz+dy).}$

単位円上の群の場合、適切な部分群は ( w , x , 1, 0 )の形の点の部分群であり、その単位元は (1, 0, 1, 0) です。単位双曲線群は (1, 0, y , z ) の形の点に対応し、その単位元は (1, 0, 1, 0) です。(もちろん、これらはより大きな群の部分群であるため、どちらも同じ単位元を持つ必要があります。) ${\displaystyle w^{2}+x^{2}=1,}$${\displaystyle y^{2}-z^{2}=1,}$

• サークルグループ

• 単位円上の有理点群[1]、リン・タン、数学雑誌第69巻第3号（1996年6月）、pp.163-171
• 原始ピタゴラス三角形群[2]、アーネスト・J・エッカート、数学雑誌第57巻第1号（1984年1月）、pp 22-26
• 「楕円曲線上の有理点」ジョセフ・シルバーマン