ソレノイド（数学）

各ソレノイドは、 R ³に埋め込まれた入れ子構造の固体トーラスの交点として構築することができる。

自然数の列 { n _i } ( n _i ≥ 2)を固定する_{。T 0} = S 1 ^× Dをソリッドトーラスとする。各i ≥ 0 に対して、ソリッドトーラスT _{i +1}をソリッドトーラスT _{i の}内側に縦方向にn _i回巻き付ける。次に、それらの交点を求める。

${\displaystyle \Lambda =\bigcap _{i\geq 0}T_{i}}$

は、数列 { n _i } によって決定される写像を持つ円系の逆極限として構築されたソレノイドと同相である。

ここに、滑らかな力学系の理論における拡大アトラクターの例としてスティーブン・スメールによって分離された、この構成の変形を示します。円S ^{1上の角度座標を}t (mod 2 πで定義)とし、 2 次元単位円盤D上の複素座標をzとします。fを、明示的な式で与えられる、ソリッドトーラスT = S ¹ × Dからそれ自身への写像とします。

${\displaystyle f(t,z)=\left(2t,{\tfrac {1}{4}}z+{\tfrac {1}{2}}e^{it}\right).}$

この写像は、子午線円盤による葉層構造を保持する、 Tをそれ自身に滑らかに埋め込む写像です(定数 1/2 と 1/4 は多少任意ですが、1/4 < 1/2 かつ 1/4 + 1/2 < 1 であることが不可欠です)。Tをゴムチューブと想像すると、写像fはそれを縦方向に引き伸ばし、各子午線円盤を収縮させ、変形したチューブをねじりながらT の内部に 2 回巻き付けますが、自己交差はありません。離散力学系 ( T、f ) の双曲集合Λは、上述の入れ子になった立体トーラスのシーケンスの交差であり、ここでT _iは写像fのi番目の反復によるTの像です。この集合は (位相次元の意味で) 1 次元のアトラクターであり、 Λ上のfのダイナミクスは次の興味深い特性を持ちます。

• 子午線円盤は安定多様体であり、それぞれがカントール集合上でΛと交差する。
• fの周期点はΛに密集している
• 写像fはΛ上で位相的に推移的である

ソレノイドと膨張するアトラクターの一般理論は、必ずしも一次元ではなく、RF ウィリアムズによって開発され、円の代わりにコンパクトな分岐多様体の無限個のコピーの射影システムと、膨張する自己埋め込みを含んでいます。

半径を持つトーラス座標系において${\displaystyle R}$ソレノイドは以下のようにパラメータ化できる。${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$として$${\displaystyle \zeta =2\pi t,\quad re^{i\theta }=\sum _{k=1}^{\infty }r_{k}e^{2\pi i\omega _{k}t}}$$どこ

${\displaystyle \omega _{k}={\frac {1}{n_{1}\cdots n_{k}}},\quad r_{k}=R\delta _{1}\cdots \delta _{k}}$

ここ、${\displaystyle \delta _{k}}$は調整可能な形状パラメータであり、制約付きである。${\displaystyle 0<\delta <1-{\frac {1}{1+\sin {\frac {\pi }{n_{k}}}}}}$。 特に、${\displaystyle \delta ={\frac {1}{2n_{k}}}}$作品。

させて${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}}$ソレノイドがこのように構成されている場合、ソレノイドのトポロジーは、ユークリッドトポロジーによって誘導される部分集合トポロジーに等しい。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$。

パラメータ化は全単射なので、位相を戻すことができます${\displaystyle S}$に${\displaystyle \mathbb {R} }$それによって${\displaystyle \mathbb {R} }$それ自体がソレノイドである。これにより、逆極限マップを明示的に構築することができる。$${\displaystyle g_{k}:\mathbb {R} \to S_{k},\quad g_{k}(t)=(r,\theta ,\zeta ){\text{ in toroidal coordinates, where }}\zeta =2\pi t,\quad re^{i\theta }=\sum _{k=1}^{k}r_{k}e^{2\pi i\omega _{k}t}}$$

ソレノイドを一つの集合として捉えると、それは特定の方法で配線された円のカントール連続体である。このことから、記号力学による構成が思い浮かぶ。そこでは、円を「レーストラック」として出発し、どの円上にいるかを追跡するための「走行距離計」を追加する。

定義する${\displaystyle S=S^{1}\times \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}}$ソレノイドとして。次に、オドメーターの加算を定義します。${\displaystyle \mathbb {Z} \times \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}\to \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}}$p進数と同様に。次に、ソレノイド上での加算を定義します。${\displaystyle +:\mathbb {R} \times S\to S}$による$${\displaystyle r+(\theta ,n)=((r+\theta \mod 1),\lfloor r+\theta \rfloor +n)}$$ソレノイド上のトポロジーは、部分集合を含む基底によって生成される。${\displaystyle S'\times Z'_{(m_{1},...,m_{k})}}$、 どこ${\displaystyle S'}$は任意の開区間です${\displaystyle S^{1}}$、 そして${\displaystyle Z'_{(m_{1},...,m_{k})}}$は、すべての要素の集合です。${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}}$最初のセグメントから始めます${\displaystyle (m_{1},...,m_{k})}$。