ヴィラソログループ

抽象代数学において、ヴィラソロ群またはボット・ヴィラソロ群（Virと表記されることが多い）^[1]は、円の微分同相写像群の普遍中心拡大として定義される無限次元リー群である。対応するリー代数はヴィラソロ代数であり、共形場理論（CFT）と弦理論で重要な役割を果たす。

このグループはミゲル・アンヘル・ビラソロとラウル・ボットにちなんで名付けられました。

円 の向きを保存する 微分同相写像は、その点が という同一視に従う実座標でラベル付けされ、かつ となる滑らかな写像です。このような写像全体の集合は、微分同相写像の合成によって与えられる乗法で、群を張ります。この群は、と表記される円 の向きを保存する微分同相写像の群の普遍被覆です。 ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\sim x+2\pi }$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto f(x)}$${\displaystyle f(x+2\pi )=f(x)+2\pi }$${\displaystyle f'(x)>0}$${\displaystyle {\widetilde {\text{Diff}}}{}^{+}(S^{1})}$

ヴィラソロ群は の普遍中心拡大である。^{[2] : 4.4節}拡大は特定の2コサイクルによって定義され、これは微分同相写像のペアの実数値関数である。特に、拡大はボット–サーストンコサイクルによって定義される。 これらの用語では、ヴィラソロ群は、が微分同相写像でが実数であるすべてのペア の集合であり、二項演算 が付与されている 。この演算は結合群演算である。この拡大は、自明な拡大を除けば、円微分同相写像の群の普遍被覆の唯一の中心拡大である。^{[2]ヴィラソロ群は、中心拡大を表すために明示的な座標や}コサイクルの明示的な選択を使用せずに、群の普遍被覆の記述を介して定義することもできる。 ^[2]${\displaystyle {\widetilde {\text{Diff}}}{}^{+}(S^{1})}$${\displaystyle {\mathsf {C}}(f,g)}$$${\displaystyle {\mathsf {C}}(f,g)\equiv -{\frac {1}{48\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log {\big [}(f\circ g)'(x){\big ]}{\frac {g''(x)\,{\text{d}}x}{g'(x)}}.}$$${\displaystyle {\widetilde {\text{Diff}}}{}^{+}(S^{1})\times \mathbb {R} }$${\displaystyle (f,\alpha )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \alpha}$$${\displaystyle (f,\alpha )\cdot (g,\beta )={\big (}f\circ g,\alpha +\beta +{\mathsf {C}}(f,g){\big )}.}$$

ヴィラソロ群のリー代数はヴィラソロ代数 である。ベクトル空間として、ヴィラソロ群のリー代数はペア から構成され、ここで は円上のベクトル場であり、 は前述のように実数である。特に、ベクトル場は無限小微分同相写像 として見ることができる。ペアのリー括弧は上で定義した乗算から得られ、 ^{[3] を}満たすことが示される^{: 6.4 節。} ここで、右側のベクトル場の括弧は通常の括弧である: 。複素生成子を定義すると、 リー括弧はヴィラソロ代数の標準的な教科書形式になる: ^[4]${\displaystyle (\xi ,\alpha )}$${\displaystyle \xi =\xi (x)\partial _{x}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle f(x)=x+\epsilon \xi (x)}$${\displaystyle (\xi ,\alpha )}$ $${\displaystyle {\big [}(\xi ,\alpha ),(\zeta ,\beta ){\big ]}={\bigg (}[\xi ,\zeta ],-{\frac {1}{24\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\text{d}}x\,\xi (x)\zeta '''(x){\bigg )}}$$${\displaystyle [\xi ,\zeta ]=(\xi (x)\zeta '(x)-\zeta (x)\xi '(x))\partial _{x}}$$${\displaystyle L_{m}\equiv {\Big (}-ie^{imx}\partial _{x},-{\frac {i}{24}}\delta _{m,0}{\Big )},\qquad Z\equiv (0,-i),}$$ $${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(mn)L_{m+n}+{\frac {Z}{12}}m(m^{2}-1)\delta _{m+n}.}$$

生成子は代数全体と可換である。その存在は中心拡張によるものであるため、生成子は、ヴィラソロ対称性を持つ任意の物理システムにおいて、 を表す演算子が恒等式の倍数であることを保証する超選択規則に従う。恒等式の前の係数は、中心電荷と呼ばれる。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

各微分同相写像は無限個のパラメータ（例えば周期関数のフーリエモード）によって指定される必要があるため、ヴィラソロ群は無限次元である。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)-x}$

ヴィラソロ代数のリー括弧は、ヴィラソロ群の随伴表現の微分として見ることができる。その双対であるヴィラソロ群の共随伴表現は、共形変換の下での CFT応力テンソルの変換法則を提供する。この観点から、この変換法則のシュワルツ微分は、ボット-サーストンコサイクルの結果として現れる。実際、シュワルツは、ボット-サーストンコサイクルに関連する、いわゆるスーリオーコサイクル（ジャン=マリー・スーリオーを指す）である。^[2]