超有限集合

数学の一分野である非標準解析において、超有限集合または*-有限集合は内部集合の一種である。内部濃度g ∈ * N (超自然集合)の内部集合Hが超有限であるためには、G = {1,2,3,..., g } とHの間に内部一対一関係が存在する必要がある。^{[1] [2]超有限集合は有限集合の性質を共有する。超有限集合には最小元と最大元があり、超有限集合の超有限集合の超有限和を導くことができる。 *} Rの任意の超有限部分集合の元の和は常に存在するため、明確に定義された積分が可能になる。^[2]

超有限集合は他の集合を近似するのに使用できます。超有限集合が区間を近似する場合、その区間に関する近区間と呼ばれます。超自然nを持つ超有限集合を考えてみましょう。k ₁ = aかつk _n = bであり、Kの連続する要素間の差が無限小である場合、 K は [ a , b ]の近区間です。言い換えると、すべての r ∈ [ a , b ] に対して、 k i ≈ r となる k i ∈ K が存在することが要件となります。これにより、たとえば、区間_[ 0,2π ]のθ_の集合として考えられる単位円への近似が可能になります。[ 2 ^]${\displaystyle K={k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}}$${\displaystyle e^{i\theta}}$

一般に、超有限集合の部分集合は超有限ではない。これは、親集合の極端な要素を含まないことが多いためである。^[3]

超冪構成の観点から、超実数直線 * R は、実数列u _nの同値類の集合として定義される。つまり、同値類は、ゴールドブラットの表記法で表される超実数を定義する。同様に、 * R内の任意の超有限集合はの形式であり、有限集合の列によって定義される^[4]${\displaystyle \langle u_{n},n=1,2,\ldots \rangle }$${\displaystyle [u_{n}]}$${\displaystyle [A_{n}]}$${\displaystyle \langle A_{n}\rangle }$${\displaystyle A_{n}\subseteq \mathbb {R} ,n=1,2,\ldots }$

• M. Insall. 「超有限集合」。MathWorld。