自然位相

数学のどの分野でも、その分野内での研究に「最も適した」位相が空間上に存在する場合、その空間は自然位相を持ちます。多くの場合、この不正確な定義は、問題の位相が特定のコンテキストで自然にまたは標準的に発生する（数学の専門用語を参照）という主張以上の意味を持ちません。

場合によっては、複数の位相が「自然」に見えることに注意してください。たとえば、Y が全順序集合Xのサブセットである場合、誘導順序位相、つまり、この順序がXから継承される全順序Yの順序位相は、 Xの順序位相の部分空間位相よりも粗くなります。

「自然位相」は、少なくともいくつかの事前のコンテキスト情報が与えられれば、より具体的な意味を持つことがかなり多いです。自然位相とは、自然マップまたはマップのコレクションを連続させる位相です。自然マップが何であるかを特定したとしても、これはまだ不正確です。必要なプロパティを持つ位相は多数存在する可能性があるためです。ただし、多くの場合、特定のマップを連続させる最も細かいまたは最も粗い位相があり、その場合、これらは自然位相の明らかな候補です。

最も単純なケース（それでも多くの例を網羅する）は、初期位相と最終位相である（Willard（1970））。初期位相は、空間X上の最も粗い位相であり、 Xから位相空間X _iへの写像の与えられた集合を連続させる。最終位相は、空間X上の最も細かい位相であり、位相空間X _iからXへの写像の与えられた集合を連続させる。

最も単純な例の 2 つは、部分空間と商空間の自然な位相です。

• 位相空間の部分集合上の自然な位相は部分空間位相である。これは包含写像を連続にする最も粗い位相である。
• 位相空間の商上の自然な位相は商位相である。これは商写像を連続にする最も優れた位相である。

もう 1 つの例は、任意の距離空間にはその距離によって誘導される自然な位相があるということです。

• 誘導トポロジー

• ウィラード、スティーブン (1970)。『一般位相幾何学』、マサチューセッツ州アディソンウェスレー。（最新版はDover社（2004年）ISBN 0-486-43479-6より出版。）