正準交換関係

量子力学において、正準交換関係は正​​準共役量（定義により、一方が他方のフーリエ変換となるような関係にある量）間の基本的な関係である。例えば、 $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar \mathbb {I} }$$

1次元の点粒子のx方向の位置演算子xと運動量演算子p _xの間の関係式で、 [ x , p _x ] = x p _x − p _x xはxとp _xの交換子、iは虚数単位、ℏは換算プランク定数（h /2 π）であり、${\displaystyle \mathbb {I} }$は単位演算子です。有限次元では、位置と運動量は演算子のベクトルであり、位置と運動量の異なる成分間の交換関係は次のように表すことができます。 $${\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},}$$ どこ$\displaystyle \delta _{ij}}$はクロネッカーデルタです。

この関係は、ヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルン、パスカル・ジョルダン（1925年）^{[ 1 ] [ 2 ]}に帰属され、彼らはこれを理論の公準として機能する「量子条件」と呼んだ。E .ケナード（1927年）^{[ 3 ]}は、これがハイゼンベルクの不確定性原理を意味すると指摘した。ストーン・フォン・ノイマンの定理は、（指数形式の）正準交換関係を満たす演算子の一意性結果を与える。

対照的に、古典物理学では、すべての観測量は可換であり、交換子はゼロになります。しかし、交換子をポアソン括弧にを掛けたものに置き換えることで得られる類似の関係が存在します。${\displaystyle i\hbar }$、 $${\displaystyle \{x,p\}=1\,.}$$

この観察から、ディラックは量子対応物について提唱した。${\displaystyle {\hat {f}}}$、${\displaystyle {\hat {g}}}$古典的観測量f、gは以下を満たす $${\displaystyle [{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,.}$$

1946年、ヒップ・グローネウォルドは、量子交換子とポアソン括弧の間の一般的な体系的対応関係は一貫して成り立たないことを示した。 ^{[ 4 ] [ 5 ]}

しかし、彼はさらに、量子交換子とポアソン括弧の変形（今日ではモヤル括弧と呼ばれている）と、一般に量子演算子と位相空間における古典的な観測量および分布との間に、実際に体系的な対応関係が存在することを認識した。こうして彼は最終的に、変形量子化として知られる量子力学の別の等価な数学的表現の基礎となる、一貫した対応メカニズムであるウィグナー・ワイル変換を解明した。^{[ 4 ] [ 6 ]}

グループ​${\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )}$交換関係によって決定される3次元リー代数の指数化によって生成される${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$これはハイゼンベルク群と呼ばれます。この群は、次の群として実現できます。${\displaystyle 3\times 3}$対角成分が1の上三角行列。^{[ 7 ]}

量子力学の標準的な数学的定式化によれば、量子観測量、例えば${\displaystyle {\hat {x}}}$そして${\displaystyle {\hat {p}}}$は、あるヒルベルト空間上の自己共役作用素として表現されるべきである。上記の正準交換関係を満たす2つの作用素が両方とも有界であることは比較的容易にわかる。確かに、もし${\displaystyle {\hat {x}}}$そして${\displaystyle {\hat {p}}}$トレースクラス演算子、関係${\displaystyle \operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)}$右側にゼロ以外の数値、左側にゼロが返されます。

あるいは、もし${\displaystyle {\hat {x}}}$そして${\displaystyle {\hat {p}}}$有界作用素であったので、${\displaystyle [{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}]=i\hbar n{\hat {x}}^{n-1}}$したがって、演算子ノルムは以下を満たす。 $${\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar \left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|,}$$したがって、任意のnに対して、 $${\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar }$$ しかし、n は任意に大きくできるため、少なくとも 1 つの演算子は有界ではなく、基となるヒルベルト空間の次元は有限ではありません。演算子がワイル関係 (以下で説明する正準交換関係の指数化バージョン) を満たす場合、ストーン・フォン・ノイマンの定理の結果として、両方の演算子は有界でなければなりません。

しかし、これらの標準的な交換関係は、（有界な）ユニタリ演算子を用いて記述することで、いくらか「穏やか」にすることができる。${\displaystyle \exp(it{\hat {x}})}$そして${\displaystyle \exp(is{\hat {p}})}$これらの演算子に対する結果として得られる編み込み関係は、いわゆるワイル関係である。$${\displaystyle \exp(it{\hat {x}})\exp(is{\hat {p}})=\exp(-ist\hbar )\exp(is{\hat {p}})\exp(it{\hat {x}}).}$$ これらの関係は、正準交換関係の指数関数版と考えることができます。位置の並進と運動量の並進が可換ではないことを反映しています。ワイル関係は、ハイゼンベルク群の表現を用いて容易に再定式化できます。

ワイル関係の形をとる正準交換関係の一意性は、ストーン・フォン・ノイマンの定理によって保証される。

技術的な理由から、ワイル関係は正準交換関係と厳密には等価ではない。${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$。 もし${\displaystyle {\hat {x}}}$そして${\displaystyle {\hat {p}}}$作用素が有界であれば、 Baker–Campbell–Hausdorff 公式の特殊な場合により、正準交換関係を Weyl 関係に「指数化」することができる。^{[ 8 ]}すでに述べたように、正準交換関係を満たす作用素は有界でなければならないため、追加の領域仮定なしには Baker–Campbell–Hausdorff 公式は適用できない。実際、正準交換関係は満たすが Weyl 関係を満たさない反例が存在する。^{[ 9 ]} (これらの同じ作用素は、不確定性原理の素朴な形式に対する反例となる。) これらの技術的な問題が、 Stone–von Neumann の定理が Weyl 関係で定式化されている理由である。

パラメータsとtが以下の範囲にわたるワイル関係の離散バージョン${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$は、クロック行列とシフト行列を用いて有限次元ヒルベルト空間上で実現できる。

次のように証明できる。 $${\displaystyle [F({\vec {x}}),p_{i}]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {x}})}{\partial x_{i}}};\qquad [x_{i},F({\vec {p}})]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {p}})}{\partial p_{i}}}.}$$

使用${\displaystyle C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}}$数学的帰納法によって、$${\displaystyle \left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}^{m}\right]=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {-\left(-i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(nk\right)!\left(mk\right)!}}{\hat {x}}^{nk}{\hat {p}}^{mk}}=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {\left(i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(nk\right)!\left(mk\right)!}}{\hat {p}}^{mk}{\hat {x}}^{nk}},}$$ 一般にマッコイの公式として知られている。^{[ 10 ]}

さらに、単純な公式 $${\displaystyle [x,p]=i\hbar \,\mathbb {I} ~,}$$最も単純な古典系の量子化 に有効であり、任意のラグランジアンの場合にも一般化できる。$\displaystyle {\mathcal {L}}}$[ ^{11 ]}我々は、^正準座標（上記の例ではx 、量子場理論の場合は場Φ( x )など）と正準運動量πx（上記の例ではp 、より一般的には、正準座標の時間に関する 微分を含む関数）_{を識別する。}$${\displaystyle \pi _{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial x_{i}/\partial t)}}.}$$

この正準運動量の定義により、オイラー・ラグランジュ方程式の1つが次の形式になる ことが保証される。$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\pi _{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}.}$$

正準交換関係は次のようになる。 $${\displaystyle [x_{i},\pi _{j}]=i\hbar \delta _{ij}\,}$$ ここで、δ _ijはクロネッカーのデルタです。

正準量子化は、定義上、正準座標に適用されます。しかし、電磁場が存在する場合、正準運動量pはゲージ不変ではありません。正しいゲージ不変運動量（または「運動量」）は

${\displaystyle p_{\text{kin}}=p-qA\,\!}$ （SI単位）    ${\displaystyle p_{\text{kin}}=p-{\frac {qA}{c}}\,\!}$ ( CGS単位)

ここで、 qは粒子の電荷、Aはベクトルポテンシャル、cは光速です。量p _{kin は}、実験室での運動量と同一視される量という意味で「物理的な運動量」ですが、正準交換関係を満たしません。正準運動量だけがそれを満たします。これは次のように見ることができます。

古典的な電磁場中の 質量mの量子化された荷電粒子の非相対論的ハミルトニアンは（cgs単位系で）次のようになる。$${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {qA}{c}}\right)^{2}+q\phi }$$ ここで、Aは3次元ベクトルポテンシャル、φはスカラーポテンシャルである。このハミルトニアンの形式は、シュレーディンガー方程式Hψ = iħ∂ψ/∂t、マクスウェル方程式、ローレンツ力法則と同様に、ゲージ変換の下で不変である。 $${\displaystyle A\to A'=A+\nabla \Lambda }$$$${\displaystyle \phi \to \phi '=\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}}$$$${\displaystyle \psi \to \psi '=U\psi }$$$${\displaystyle H\to H'=UHU^{\dagger },}$$ どこ$${\displaystyle U=\exp \left({\frac {iq\Lambda }{\hbar c}}\right)}$$そしてΛ = Λ( x , t )はゲージ関数である。

角運動量演算子は $${\displaystyle L=r\times p\,\!}$$ そして、正準量子化関係に従う。 $${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ijk}}L_{k}}$$so(3)のリー代数 を定義する。${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$はレヴィ＝チヴィタ記号である。ゲージ変換の下では、角運動量は次のように変換される。 $${\displaystyle \langle \psi \vert L\vert \psi \rangle \to \langle \psi ^{\prime }\vert L^{\prime }\vert \psi ^{\prime }\rangle =\langle \psi \vert L\vert \psi \rangle +{\frac {q}{\hbar c}}\langle \psi \vert r\times \nabla \Lambda \vert \psi \rangle \,.}$$

ゲージ不変角運動量（または「運動角運動量」）は次のように与えられる。 $${\displaystyle K=r\times \left(p-{\frac {qA}{c}}\right),}$$ 交換関係を持つ $${\displaystyle [K_{i},K_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ij}}^{\,k}\left(K_{k}+{\frac {q\hbar }{c}}x_{k}\left(x\cdot B\right)\right)}$$ どこ$${\displaystyle B=\nabla \times A}$$は磁場である。これら2つの定式化の不等式は、ゼーマン効果とアハロノフ・ボーム効果に現れる。

演算子のペアに対するこのような非自明な交換関係はすべて、対応する不確定性関係^{[ 12 ]}につながり、それぞれの交換子と反交換子による正の半定値期待値の寄与が含まれます。一般に、2つのエルミート演算子AとBについて、状態ψにあるシステムの期待値を考えると、対応する期待値の周りの分散は(Δ A ) ² ≡ ⟨ ( A − ⟨ A ⟩ ) ² ⟩などとなります。

それから $${\displaystyle \Delta A\,\Delta B\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \left\{A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle \right\}\right\rangle \right|^{2}}},}$$ ここで、[ A , B ] ≡ A B − B AはAとBの交換子であり、{ A , B } ≡ A B + B Aは反交換子である。

これはコーシー・シュワルツの不等式を用いることで導かれる。なぜなら 、| ⟨ A ² ⟩ | | ⟨ B ² ⟩ | ≥ | ⟨ A B ⟩ | ²であり、A B = ([ A , B ] + { A , B })/2 であり、シフト演算子A − ⟨ A ⟩およびB − ⟨ B ⟩についても同様であるからである。（不確定性原理の導出を参照。）

AとBを代入し（そして解析に注意を払うと）、いつものように、ハイゼンベルクのxとpに関するおなじみの不確定性関係が得られる。

角運動量演算子L _x = y p _z − z p _yなどについては、 $${\displaystyle [{L_{x}},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}},}$$ どこ${\displaystyle \epsilon _{xyz}}$はレヴィ＝チヴィタ記号であり、添え字をペアごとに交換すると、答えの符号が反転するだけです。スピン演算子についても同様の関係が成り立ちます。

ここで、角運動量多重項ψ = | ℓ , m⟩におけるL _xおよびL _yについては、^{[ 12 ]}カシミール不変量L _x ² + L _y ² + L _z ²の横方向成分に対して、z対称関係が成り立つ。

⟨ L _x ² ⟩ = ⟨ L _y ² ⟩ = ( ℓ ( ℓ + 1) − m ² ) ℏ ² /2 、

また、⟨ L _x ⟩ = ⟨ L _y ⟩ = 0 である 。

したがって、この交換関係に上記の不等式を適用すると、 $${\displaystyle \Delta L_{x}\,\Delta L_{y}\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\hbar ^{2}|\langle L_{z}\rangle |^{2}}}~,}$$ したがって $${\displaystyle {\sqrt {|\langle L_{x}^{2}\rangle \langle L_{y}^{2}\rangle |}}\geq {\frac {\hbar ^{2}}{2}}\vert m\vert }$$ そのため $${\displaystyle \ell (\ell +1)-m^{2}\geq |m|~,}$$したがって、カシミール不変量 の下限ℓ ( ℓ + 1) ≥ | m | ( | m | + 1)、したがってℓ ≥ | m |など、有用な制約が得られます。

• 正準量子化
• CCR代数とCAR代数
• 共形静的時空
• リーの導関数
• モヤルブラケット
• ストーン・フォン・ノイマンの定理

• Hall, Brian C. (2013), 『数学者のための量子論』、大学院数学テキスト、第 267巻、Springer。
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras and Representations, An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, vol.  222 (2nd  ed.), Springer。