直和

直和は、数学の一分野である抽象代数における構造間の演算です。異なる種類の構造に対しては、定義が異なりますが、類似しています。たとえば、2 つのアーベル群 と の直和は、およびの順序付きペアで構成される別のアーベル群です。順序付きペアを加算するには、和を と定義します。つまり、加算は座標ごとに定義されます。たとえば、 が実座標空間であるときの直和 は、直交平面、です。同様のプロセスを使用して、2 つのベクトル空間または 2 つのモジュールの直和を作成できます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\oplus B}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle (a,b)+(c,d)}$${\displaystyle (a+c,b+d)}$${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

また、 と が同じ種類の代数構造（すべてのアーベル群、またはすべてのベクトル空間など）である場合、任意の有限個の加数、たとえば との直和を形成することもできます。これは、直和が同型 まで結合的であるという事実に依存しています。つまり、同じ種類の任意の代数構造、、およびに対してです。直和は、同型 まで可換でもあります。つまり、同じ種類の任意の代数構造およびに対してです。 ${\displaystyle A\oplus B\oplus C}$${\displaystyle A,B,}$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A\oplus B\cong B\oplus A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

有限個のアーベル群、ベクトル空間、または加群の直和は、対応する直積と標準的に同型です。ただし、非アーベル群などの一部の代数的対象では、これは誤りです。

無限に多くのオブジェクトが結合される場合、直和と直積は、アーベル群、ベクトル空間、または加群であっても同型ではありません。例として、整数の（可算な）無限個のコピーの直和と直積を考えてみましょう。直積の要素は、（1,2,3,...）などの無限列ですが、直和では、有限個以外のすべての座標がゼロであるという要件があるため、列（1,2,3,...）は直積の要素ですが直和の要素ではありません。一方、（1,2,0,0,0,...）は両方の要素になります。多くの場合、+ 記号が使用される場合、有限個以外のすべての座標がゼロでなければなりませんが、何らかの形式の乗算が使用される場合、有限個以外のすべての座標が 1 でなければなりません。より技術的な言葉で言えば、加数が の場合、直和は、有限個以外のすべてのiに対してとなる組の集合として定義されます。直和は直積に含まれるが、直積の要素は無限個の非ゼロ座標を持つことができるため、インデックスセットが無限のときは直和は厳密に小さくなる。 ^[1]${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$$${\displaystyle \bigoplus_{i\in I}A_{i}}$$${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$${\displaystyle a_{i}=0}$${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle I}$

2 次元ベクトル空間であるxy平面は、 2 つの 1 次元ベクトル空間、つまりx軸とy軸の直和として考えることができます。この直和では、x軸とy軸は原点 (ゼロ ベクトル) でのみ交差します。加算は座標ごとに定義されます。つまり、 はベクトルの加算と同じです。 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})}$

2 つの構造と が与えられた場合、それらの直和は と表記されます。 でインデックス付けされた構造のインデックス付きファミリが与えられた場合、直和は と表記されます。各A iはA_の直和対象と呼ばれます。インデックス セットが有限の場合、直和は直積と同じです。グループの場合、グループ演算が と表記される場合は「直和」という語句が使用され、グループ演算が と表記される場合は「直積」という語句が使用されます。インデックス セットが無限の場合、直和は直積と同じではありません。これは、直和には、有限個以外のすべての座標が 0 でなければならないという追加の要件があるためです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\oplus B}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i\in I}$${\textstyle A=\bigoplus _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle +}$${\displaystyle *}$

内部直和と外部直和は同型ですが、区別されます。最初に加数が定義され、次に加数に基づいて直和が定義されると、外部直和になります。たとえば、実数を定義してから直和を定義すると、外部直和になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$

一方、まず何らかの代数構造を定義し、 を2 つのサブ構造の直和として記述する場合、その直和は内部的であるといわれます。この場合、 の各要素は、の要素と の要素の代数的結合として一意に表現できます。内部的直和の例として、（6 を法とする整数）を考えます。この要素は です。これは内部的直和 として表現できます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}}$

アーベル群の直和は、直和の典型的な例です。そのような 2 つの群 とそれらの直和は、それらの直積と同じです。つまり、基礎となる集合は直積であり、群演算は成分ごとに定義されます。 この定義は、有限個のアーベル群の直和に一般化されます。 ${\displaystyle (A,\circ )}$${\displaystyle (B,\bullet ),}$${\displaystyle A\oplus B}$ ${\displaystyle A\times B}$${\displaystyle \,\cdot \,}$$${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\cdot \left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}\circ a_{2},b_{1}\bullet b_{2}\right).}$$

直和でインデックスされた任意の群の族に対して^{[2]は、有限}台を持つ元からなる直積の部分群 である。ここで、定義により、が有限個を除くすべてのに対しての単位元である場合、は有限台を持つと言われる^[3]。非自明群の 無限族の直和は、積群の適切な部分群である。${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i\in I,}$ $${\displaystyle \bigoplus_{i\in I}A_{i}}$$${\textstyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i.}$${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}.}$

モジュールの直和は、複数のモジュールを新しいモジュールに 結合する構造です。

この構成の最もよく知られた例は、体上の加群であるベクトル空間を考えるときに現れます。この構成は、バナッハ空間やヒルベルト空間にも拡張できます。

加法カテゴリは、加群のカテゴリの特性を抽象化したものである。^{[4] [5]}このようなカテゴリでは、有限積と余積は一致し、直和はどちらか一方になる（biproductを参照） 。

一般的なケース：^[2]圏論 では、直和は、問題となっている数学的オブジェクトのカテゴリでは、常にではありませんが、多くの場合、余積になります。たとえば、アーベル群のカテゴリでは、直和は余積です。これは、加群のカテゴリでも同様です。

しかし、直和（アーベル群の直和と同じように定義される）は、群のカテゴリにおける群と群の余積ではありません。そのため、このカテゴリでは、カテゴリカルな直和は、混乱を避けるために単に余積と呼ばれることがよくあります。 ${\displaystyle S_{3}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

群表現の直和は、基になるモジュールの直和を一般化して、群の作用を追加します。具体的には、群と 2 つの表現および(または、より一般的には 2 つの-モジュール)が与えられた場合、表現の直和は、作用が成分ごとに与えられた場合、つまり、 となります。 直和を定義する別の同等の方法は次のとおりです。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V\oplus W}$${\displaystyle g\in G}$$${\displaystyle g\cdot (v,w)=(g\cdot v,g\cdot w).}$$

2 つの表現が与えられ、直和のベクトル空間は であり、準同型はによって与えられます。ここでは、上記のように座標ごとの作用によって得られる自然な写像です。 ${\displaystyle (V,\rho _{V})}$${\displaystyle (W,\rho _{W})}$${\displaystyle V\oplus W}$${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$${\displaystyle \alpha \circ (\rho _{V}\times \rho _{W}),}$${\displaystyle \alpha :GL(V)\times GL(W)\to GL(V\oplus W)}$

さらに、が有限次元の場合、 の基底が与えられると、および は行列値になります。この場合、は次のように与えられます 。${\displaystyle V,\,W}$${\displaystyle V,\,W}$${\displaystyle \rho _{V}}$${\displaystyle \rho _{W}}$${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$$${\displaystyle g\mapsto {\begin{pmatrix}\rho _{V}(g)&0\\0&\rho _{W}(g)\end{pmatrix}}.}$$

さらに、と を群環 （ここでは体）上の加群として扱うと、表現 と の直和は加群としての直和に等しくなります。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$ ${\displaystyle kG}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle kG}$

2 つの環の直和を直積の意味で言う著者もいますが、これは避けるべきです^[6] 。なぜなら、 はおよびから自然な環準同型を受けないからです。特に、を に送る写像は、1 を に送ることができないため、環準同型ではありません (で であると仮定)。したがって、は環 のカテゴリでは余積ではなく、直和として書くべきではありません。(可換環のカテゴリでの余積は、環 のテンソル積です。^[7]環のカテゴリでは、余積は群の 自由積に似た構成で与えられます。)${\displaystyle R\oplus S}$ ${\displaystyle R\times S}$${\displaystyle R\times S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R\to R\times S}$${\displaystyle r}$${\displaystyle (r,0)}$${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle 0\neq 1}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R\times S}$

直和の用語と表記法の使用は、無限の環族を扱うときに特に問題になります。 が非自明な環の無限の集合である場合、基礎となる加法群の直和に項ごとの乗算を備えることができますが、これによりrng、つまり乗法単位元のない環が生成されます。 ${\displaystyle (R_{i})_{i\in I}}$

任意の行列およびについて、両方が正方行列である場合、直和はおよびのブロック対角行列として定義されます（そうでない場合は、類似のブロック行列として定義されます）。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$$${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &0\\0&\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$$

バナッハ空間などの位相ベクトル空間( TVS)は、加法写像 が位相ベクトル空間 の同型(つまり、この線型写像は全単射同相) である場合に、2 つのベクトル部分空間 の位相直和であると言われます。この場合、とは の位相補集合であると言われます。これは、加法位相群(つまり、スカラー乗算は無視) として考えた場合、 が位相部分群 と の位相直和である場合に限ります。この場合 であり、 がハウスドルフである場合、 と は必然的に の閉じた部分空間です。${\displaystyle X,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\ \;&&M\times N&&\;\to \;&X\\[0.3ex]&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle N.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X.}$

が実ベクトル空間または複素ベクトル空間のベクトル部分空間である場合、における の代数的補集合と呼ばれる別のベクトル部分空間が常に存在し、 はおよびの代数的直和となります（これは、加法写像がベクトル空間同型である場合に限り発生します）。代数的直和とは対照的に、位相的直和ではそのような補集合の存在は保証されなくなりました。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\times N\to X}$

のベクトル部分空間が の（位相的に）補完部分空間であるとは、 との位相的直和となるような のベクトル部分空間が存在する場合を指します。ベクトル部分空間は、補完部分空間でないとき、非補完的であると呼ば れます。たとえば、閉部分集合でないハウスドルフ TVS のすべてのベクトル部分空間は、必然的に非補完的です。ヒルベルト空間のすべての閉ベクトル部分空間は補完的です。しかし、ヒルベルト空間でないバナッハ空間はすべて、必然的に非補完的な閉ベクトル部分空間を持ちます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N.}$

^{[説明が必要]}

直和は、Iの各jに対する射影準同型と、Iの各jに対する共射影を伴います。^[8] 別の代数構造（同じ追加構造を持つ）とIの各jに対する準同型が与えられた場合、すべてのjに対してとなるg _jの和と呼ばれる唯一の準同型があります。したがって、直和は適切なカテゴリの余積です。 ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\textstyle \pi _{j}\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to A_{j}}$ ${\textstyle \alpha _{j}\colon \,A_{j}\to \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle g_{j}\colon A_{j}\to B}$${\textstyle g\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to B}$${\displaystyle g\alpha _{j}=g_{j}}$

• グループの直和
• 順列の直和
• 位相群の直和
• 制限商品
• ホイットニーサム
• フェファーマン・ヴォート定理

• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556、Zbl  0984.00001