推進策

測度論では、プッシュフォワード測度（プッシュフォワード、プッシュフォワード、イメージ測度とも呼ばれる）は、測定可能な関数を使用して、ある測定可能な空間から別の測定可能な空間に測度を転送（「プッシュフォワード」）することによって得られます。

測定可能な空間 と、測定可能な写像、測度が与えられた場合、のプッシュフォワードは、次式で与えられる 測度として定義される。${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$${\displaystyle f\colon X_{1}\to X_{2}}$${\displaystyle \mu \colon \Sigma _{1}\to [0,+\infty ]}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle f_{*}(\mu )\colon \Sigma _{2}\to [0,+\infty ]}$

${\displaystyle f_{*}(\mu )(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right)}$のために${\displaystyle B\in \Sigma _{2}.}$

この定義は、符号付き測度または複素測度にも準用されます。プッシュフォワード測度は、、、、またはとしても表されます。 ${\displaystyle \mu \circ f^{-1}}$${\displaystyle f_{\sharp }\mu }$${\displaystyle f\sharp \mu}$${\displaystyle f\#\mu}$

定理: ^[1] X ₂上の測定可能な関数gがプッシュフォワード測度f _∗ ( μ )に関して積分可能であるのは、合成が測度μに関して積分可能である場合のみである。その場合、積分は一致する。すなわち、 ${\displaystyle g\circ f}$

${\displaystyle \int _{X_{2}}g\,d(f_{*}\mu )=\int _{X_{1}}g\circ f\,d\mu .}$

前の式では であることに注意してください。 ${\displaystyle X_{1}=f^{-1}(X_{2})}$

測度のプッシュフォワードにより、測定可能空間 間の関数から、測度の空間間の関数を誘導することができます。多くの誘導マッピングと同様に、この構成は測定可能空間のカテゴリ上の関数の構造を持ちます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle M(X)\to M(Y)}$

確率測度の特殊なケースでは、この特性はGiry モナドの関数性に相当します。

• 単位円S ^{1 (ここでは}複素平面Cのサブセットとして考えられている)上の自然な「ルベーグ測度」は、プッシュフォワード構成と実数直線R上のルベーグ測度λ を使用して定義できます。λ は、ルベーグ測度の区間 [0, 2 π ) への制限も表し、f  : [0, 2 π ) →  S ^{1 は}f ( t ) = exp( i t )によって定義される自然な一対一写像とします。S ¹上の自然な「ルベーグ測度」は、プッシュフォワード測度f _∗ ( λ ) です。測度f _∗ ( λ ) は、「弧長測度」または「角度測度」とも呼ばれます。これは、 S ¹内の弧のf _∗ ( λ ) 測度がまさにその弧長 (または、同等に、円の中心で弧がなす角度) であるためです。  
• 前の例は、n次元トーラス T ⁿ上の自然な「ルベーグ測度」を与えるようにうまく拡張されます。前の例は、 S ¹  =  T ¹であるため、特殊なケースです。 T ⁿ上のこのルベーグ測度は、正規化を除けば、コンパクトで連結されたリー群T ⁿのハール測度です。
• 無限次元ベクトル空間上のガウス測度は、実数直線上のプッシュフォワードと標準ガウス測度を使用して定義されます。つまり、可分バナッハ空間X上のボレル測度 γは、連続双対空間内の任意の非ゼロ線形関数によるγのXへのプッシュフォワードがR上のガウス測度である場合にガウス測度と呼ばれます。
• 測定可能な関数f  : X → Xと、fとそれ自身とのn回の合成を考えます。

${\displaystyle f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n\mathrm {\,times} }:X\to X.}$

この反復関数は動的システムを形成します。このようなシステムの研究では、写像fによって変化しないX上の測度μ、いわゆる不変測度、つまりf _∗ ( μ ) =  μ となる​​測度を見つけることがしばしば関心事となります。

• このような力学系に対しては、準不変測度を考えることもできる。上の測度は、によるの押し出しが元の測度μと単に同値であり、必ずしもそれと等しいとは限らない場合に、 の下で準不変と呼ばれる。同じ空間上の2 つの測度は、 の場合にのみ同値であり、の場合にのみ の下で準不変である。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mu,\nu}$${\displaystyle \forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff \nu (A)=0}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff f_{*}\mu (A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}=0}$

• この構成により、カイ分布などの多くの自然な確率分布を得ることができます。

• ランダム変数はプッシュフォワード測度を誘発します。ランダム変数は確率空間をコドメイン空間にマッピングし、その空間にプッシュフォワードによって定義された確率測度を与えます。さらに、ランダム変数は関数 (したがって全関数) であるため、コドメイン全体の逆像はドメイン全体であり、ドメイン全体の測度は 1 であるため、コドメイン全体の測度は 1 です。つまり、ランダム変数は無限に構成でき、常にランダム変数のままであり、コドメイン空間に確率測度を与えます。

一般に、測定可能な関数は何でもプッシュフォワードできます。プッシュフォワードは線形演算子となり、転送演算子またはフロベニウス・ペロン演算子と呼ばれます。有限空間では、この演算子は通常フロベニウス・ペロン定理の要件を満たし、演算子の最大固有値は不変測度に対応します。

プッシュフォワードの随伴作用素はプルバックであり、可測空間上の関数の空間上の作用素としては合成作用素またはクープマン作用素である。

• 測度保存力学システム
• フローの正常化
• 最適な輸送

• Bogachev、Vladimir I. (2007)、測定理論、ベルリン: Springer Verlag、ISBN 9783540345138
• テシュル、ジェラルド（2015）、実数解析と関数解析のトピック