部分空間トポロジー

位相幾何学および関連する数学分野において、位相空間の部分空間${\displaystyle (X,\tau )}$は、 の位相から誘導される位相を備えたXの部分集合Sである。$\displaystyle \tau }$部分空間トポロジー^{[ 1 ]}（または相対トポロジー^{[ 1 ]} 、継承トポロジー^{[ 2 ]} 、誘導トポロジー^{[ 1 ]}、またはトレーストポロジー^{[ 3 ]} ）と呼ばれる。

位相空間が与えられた場合${\displaystyle (X,\tau )}$そしてその部分集合${\displaystyle S}$の${\displaystyle X}$、上の部分空間トポロジー${\displaystyle S}$定義される

${\displaystyle \tau _{S}=\lbrace S\cap U\mid U\in \tau \rbrace .}$

つまり、${\displaystyle S}$部分空間トポロジーにおいて開いているのは、それが以下の交点である場合に限る。${\displaystyle S}$オープンセットで${\displaystyle (X,\tau )}$。 もし${\displaystyle S}$が部分空間トポロジーを備えている場合、それはそれ自体が位相空間であり、の部分空間と呼ばれます。${\displaystyle (X,\tau )}$位相空間の部分集合は、特に断りのない限り、通常は部分空間位相を備えているものとみなされます。

あるいは、部分集合の部分空間トポロジーを定義することもできます。${\displaystyle S}$の${\displaystyle X}$包含マップが最も粗いトポロジーとして

${\displaystyle \iota :S\hookrightarrow X}$

連続的である。

より一般的には、 ${\displaystyle \iota }$セットからの注入${\displaystyle S}$位相空間へ${\displaystyle X}$すると、上の部分空間トポロジーは${\displaystyle S}$は、最も粗いトポロジーとして定義され、${\displaystyle \iota }$は連続である。この位相における開集合は、まさに次の形式のものである。${\displaystyle \iota ^{-1}(U)}$のために${\displaystyle U}$開く${\displaystyle X}$。${\displaystyle S}$は、その像と同相である。${\displaystyle X}$（部分空間トポロジーも含む）${\displaystyle \iota }$これは位相埋め込みと呼ばれます。

部分空間${\displaystyle S}$射影が​${\displaystyle \iota }$はオープンマップである。つまり、オープンセットの順像が${\displaystyle S}$オープンしています${\displaystyle X}$同様に、射影が閉じた部分空間である場合、それは閉じた部分空間と呼ばれます。${\displaystyle \iota }$閉じた地図です。

集合と位相空間の区別は、便宜上、表記上しばしば曖昧にされ、これらの定義に初めて触れる際に混乱を招くことがある。したがって、${\displaystyle S}$は、${\displaystyle X}$、 そして${\displaystyle (X,\tau )}$位相空間である場合、装飾のない記号「${\displaystyle S}$" そして "${\displaystyle X}$「はしばしば両方を指すのに使われる${\displaystyle S}$そして${\displaystyle X}$2 つのサブセットとして考えられます${\displaystyle X}$また、${\displaystyle (S,\tau _{S})}$そして${\displaystyle (X,\tau )}$位相空間として、上記のように関連しています。したがって、「${\displaystyle S}$開いた部分空間${\displaystyle X}$「は、${\displaystyle (S,\tau _{S})}$は、${\displaystyle (X,\tau )}$上記で使用した意味で、すなわち：（i）${\displaystyle S\in \tau }$（ii）${\displaystyle S}$部分空間トポロジーを備えていると考えられている。

以下では、${\displaystyle \mathbb {R} }$実数を通常の位相で表す。

• 自然数の部分空間トポロジーは、${\displaystyle \mathbb {R} }$は離散トポロジーです。
• 有理数​${\displaystyle \mathbb {Q} }$部分空間として考えられます${\displaystyle \mathbb {R} }$離散トポロジーを持たない（例えば、{0} は開集合ではない）${\displaystyle \mathbb {Q} }$開部分集合が存在しないから${\displaystyle \mathbb {R} }$その交差点${\displaystyle \mathbb {Q} }$結果として、単一の集合 {0} のみになる場合があります。aとb が有理数の場合、区間( a , b )と[ a , b ] はそれぞれ開区間と閉区間になりますが、aとb が無理数の場合、 a < x < bを満たすすべての有理数xの集合は開区間と閉区間の両方になります。
• 集合 [0,1] を部分空間として${\displaystyle \mathbb {R} }$はオープンでもありクローズドでもあるが、サブセットとしては${\displaystyle \mathbb {R} }$閉まっているだけです。
• 部分空間として${\displaystyle \mathbb {R} }$, [0, 1] ∪ [2, 3] は互いに素な 2 つの開部分集合 (閉部分集合でもある) で構成されており、したがって非連結空間である。
• S = [0, 1) を実数直線の部分空間とする${\displaystyle \mathbb {R} }$すると、 [0, 1/2 ) はSでは開いているが、${\displaystyle \mathbb {R} }$（例えば、(- 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) とSの交点は [0, 1 ⁄ 2 )となる。）同様に、[ 1 ⁄ 2 , 1) はSでは閉集合だが、S では閉集合ではない。${\displaystyle \mathbb {R} }$（開部分集合がないため）${\displaystyle \mathbb {R} }$[0, 1) と交差して [ 1 ⁄ 2 , 1)となる可能性がある。Sはそれ自身の部分集合としては開集合かつ閉集合であるが、 の部分集合としては開集合かつ閉集合ではない。${\displaystyle \mathbb {R} }$。

部分空間位相は次の特性を持つ。${\displaystyle Y}$の部分空間である${\displaystyle X}$そして${\displaystyle i:Y\to X}$包含写像とする。すると任意の位相空間に対して${\displaystyle Z}$地図${\displaystyle f:Z\to Y}$は、合成写像が連続である場合に限り連続である。${\displaystyle i\circ f}$連続的である。

この性質は、部分空間トポロジーを定義するために使用できるという意味で特徴的です。${\displaystyle Y}$。

部分空間位相のその他の性質をいくつか列挙します。以下では、${\displaystyle S}$の部分空間である${\displaystyle X}$。

• もし${\displaystyle f:X\to Y}$連続である場合、制限は${\displaystyle S}$連続的である。
• もし${\displaystyle f:X\to Y}$連続である場合${\displaystyle f:X\to f(X)}$連続的である。
• 閉集合は${\displaystyle S}$はまさに${\displaystyle S}$閉集合を持つ${\displaystyle X}$。
• もし${\displaystyle A}$は の部分空間である${\displaystyle S}$それから${\displaystyle A}$は、${\displaystyle X}$同じトポロジーを持つ。言い換えれば、部分空間トポロジーは${\displaystyle A}$から継承する${\displaystyle S}$継承元と同じ${\displaystyle X}$。
• 仮定する${\displaystyle S}$は、${\displaystyle X}$（それで${\displaystyle S\in \tau }$) 次に、${\displaystyle S}$オープンしています${\displaystyle S}$開いている場合に限り${\displaystyle X}$。
• 仮定する${\displaystyle S}$は、の閉部分空間である。${\displaystyle X}$（それで${\displaystyle X\setminus S\in \tau }$) 次に、${\displaystyle S}$閉鎖中${\displaystyle S}$閉じている場合に限り${\displaystyle X}$。
• もし${\displaystyle B}$は基礎となる${\displaystyle X}$それから${\displaystyle B_{S}=\{U\cap S:U\in B\}}$は基礎となる${\displaystyle S}$。
• 距離空間の部分集合に距離を制限することによって誘導される位相は、その部分集合の部分空間位相と一致する。

ある位相空間が何らかの位相的性質を持つならば、その部分空間もその性質を持つという場合、その性質は遺伝的であると言う。閉じた部分空間のみがその性質を共有する場合、その性質は弱遺伝的であると言う。

• 完全距離化可能な空間のすべての開部分空間とすべての閉部分空間は、完全距離化可能である。
• ベール空間のすべての開部分空間はベール空間である。
• コンパクト空間の閉部分空間はすべてコンパクトである。
• ハウスドルフ空間であることは遺伝する。
• 普通の空間であることは、遺伝的に弱い。
• 完全な有界性は遺伝する。
• 完全に孤立してしまうのは遺伝的なものだ。
• 第一可算性と第二可算性は遺伝的である。

• 双対概念商空間
• 製品トポロジー
• 直接和トポロジー

• ブルバキ、ニコラ、 『数学の基礎：一般位相幾何学』、アディソン・ウェスリー（1966年）
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( 1978年版のドーバー 復刻版), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3MR 0507446​ 
• ウィラード、スティーブン。『一般トポロジー』、ドーバー出版（2004年）ISBN 0-486-43479-6