トーラス

幾何学において、トーラス（複数形：toriまたはtoruses）は、3 次元空間で円を、円と同一平面にある軸を中心に 1 回転させることによって生成される回転面です。トーラスの主な種類には、リング トーラス、ホーン トーラス、スピンドル トーラスがあります。リング トーラスは、口語的にドーナツまたはドーナツと呼ばれることもあります。

回転軸が円に接しない場合、表面はリング状になり、回転トーラス、またはリング トーラスと呼ばれます。回転軸が円に接する場合、表面はホーン トーラスです。回転軸が円を 2 回通過する場合、表面はスピンドル トーラス(または自己交差トーラス、自己交差トーラス) です。回転軸が円の中心を通過する場合、表面は退化トーラス、つまり二重被覆球です。回転曲線が円でない場合、表面は正方形トロイドなどの トロイドと呼ばれます。

回転トーラスに近似する現実世界の物体としては、浮き輪、浮き輪、リングネットリングなどがあります。

トーラスは、円ではなくディスクを軸の周りで回転させることによって形成されるソリッド トーラスと混同しないでください。ソリッド トーラスは、トーラスとトーラス内部の体積を組み合わせたものです。ソリッド トーラスに近い現実世界の物体には、O リング、非膨張式救命浮輪、リングドーナツ、ベーグルなどがあります。

位相幾何学において、リングトーラスは2つの円の直積に同相であり、 後者はその文脈での定義とみなされます。これは種数1のコンパクトな2次元多様体です。リングトーラスは、この空間をユークリッド空間に埋め込む1つの方法ですが、これを行うもう1つの方法は、を平面に埋め込むこととそれ自体の直積です。これにより、クリフォードトーラスと呼ばれる幾何学的オブジェクトが生成されます。これは、 4次元空間の表面です。 ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$${\displaystyle S^{1}}$

位相幾何学の分野では、トーラスはトーラスに同相な位相空間である。^[1]コーヒーカップとドーナツの表面は、どちらも種数1の位相トーラスである。

トーラスの例は、ゴムなどの柔軟な材料でできた長方形のストリップを取り、上端と下端、左端と右端を半ねじりせずに接合することによって構築できます (クラインの壺と比較してください)。

トーラスはラテン語で「丸い、膨らんだ、隆起した、突起した」という意味です。

3次元空間の回転トーラスは次のようにパラメータ化できる: ^[2] $${\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\cos {\varphi }\\y(\theta ,\varphi )&=(R+r \cos \theta )\sin {\varphi }\\z(\theta ,\varphi )&=r\sin \theta \\\end{整列}}}$$

それぞれチューブの周りの回転とトーラスの回転軸の周りの回転を表す角度座標を使用します。ここで、主半径はチューブの中心からトーラスの中心までの距離であり、副半径はチューブの半径です。^[3]${\displaystyle \theta ,\varphi \in [0,2\pi ),}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$

この比率はトーラスの アスペクト比と呼ばれます。一般的なドーナツ菓子のアスペクト比はおよそ 3 対 2 です。${\displaystyle R/r}$

-軸を中心に放射対称なトーラスの直交座標における暗黙の方程式は、 ${\displaystyle z}$$${\displaystyle {\textstyle {\bigl (}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R{\bigr )}^{2}}+z^{2}=r^{2}.}$$

平方根を代数的に消去すると4次方程式が得られる。 $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}=4R^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).}$$

標準トーラスの 3 つのクラスは、 Rとr の間の 3 つの可能なアスペクト比に対応します。

• R > rの場合、表面はよく知られているリングトーラスまたはアンカーリングになります。
• R = r はホーン トーラスに対応し、実質的には「穴」のないトーラスです。
• R < r は自己交差するスピンドルトーラスを表します。その内側のシェルはレモンで、外側のシェルはリンゴです。
• R = 0のとき、トーラスは球の半径rに縮退します。
• r = 0のとき、トーラスは円半径Rに縮退します。

R ≥ rのとき、 このトーラスの内部は ユークリッド開円板と円の積に微分同相（したがって同相）である。この立体トーラスの体積とトーラスの表面積はパップスの重心定理を使って簡単に計算でき、次のようになる。^[4]$${\displaystyle {\textstyle {\bigl (}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R{\bigr )}^{2}}+z^{2}<r^{2}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}Rr,\\[5mu]V&=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right)=2\pi ^{2}Rr^{2}.\end{aligned}}}$$

これらの式は、長さ2π R、半径rの円筒の場合と同じです。円筒は、小さな円の平面に沿ってチューブを切断し、チューブの中心の周りを走る線を真っ直ぐに伸ばして（矯正して）広げることで得られます。チューブの内側の表面積と体積の損失は、外側の利益を正確に打ち消します。

表面積と体積は、トーラスの表面上の最も外側の点から中心までの距離pと、最も内側の点から中心までの距離qで表されます（つまり、R = ⁠p + q/2⁠そしてr = ⁠p − q/2⁠）、結果は $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=4\pi ^{2}\left({\frac {p+q}{2}}\right)\left({\frac {p-q}{2}}\right)=\pi ^{2}(p+q)(p-q),\\[5mu]V&=2\pi ^{2}\left({\frac {p+q}{2}}\right)\left({\frac {p-q}{2}}\right)^{2}={\tfrac {1}{4}}\pi ^{2}(p+q)(p-q)^{2}.\end{aligned}}}$$

トーラスは 2 つの円の積であるため、球面座標系の修正版が使用されることがあります。従来の球面座標には、座標系の中心からの距離Rと、中心点から測定された角度 θとφの 3 つの測定値があります。

トーラスには実質的に 2 つの中心点があるため、角度の中心点は移動します。φ は球面システムと同じ角度を測定しますが、「トーラス」方向として知られています。θの中心点はrの中心に移動され、「ポロイダル」方向として知られています。 これらの用語は、地球の磁場の議論で最初に使用され、「ポロイダル」は「極に向かう方向」を示すために使用されました。^[5]

現代では、磁気閉じ込め核融合装置について議論する際には、トロイダルとポロイダルが一般的に使用されています。

位相的に、トーラスは2つの円の積、S ¹  ×  S ¹として定義される閉じた面です。これはC ²にあると見なすことができ、半径√2の3次元球面S ³のサブセットです。この位相トーラスは、クリフォードトーラスとも呼ばれます。^[6]実際、S ^{3は、このように（2つの退化した円を持つ）入れ子になったトーラスの族によって}埋められており、この事実は、S ^3をS ²上のファイバーバンドル（ホップバンドル）として研究する上で重要です。

上で説明した表面は、からの相対位相が与えられ、自身の軸と交差しない限り、位相トーラスに同相です。特定の同相は、位相トーラスを S ³の北極から に立体投影することによって得られます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

トーラスは、次の同一視の下では デカルト平面の商として記述することもできる。

${\displaystyle (x,y)\sim (x+1,y)\sim (x,y+1),\,}$

あるいは、反対の辺を貼り合わせて単位正方形の商として表され、基本多角形 ABA ⁻¹ B ⁻¹として表されます。

トーラスの基本群は、円の基本群とそれ自身の 直積です。

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {T} ^{2})=\pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\times \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$^[7]

直感的に言えば、これは、トーラスの「穴」を周回する閉じた経路(たとえば、特定の緯度を描く円) と、トーラスの「本体」を周回する閉じた経路 (たとえば、特定の経度を描く円) を、本体を周回してから穴を周回する経路に変形できることを意味します。したがって、厳密に「緯度」の経路と厳密に「経度」の経路は交換可能です。同等の記述は、2 本の靴ひもが互いに通り抜け、ほどけてから再び巻き戻ることを想像できます。

トーラスに穴を開けて裏返しにすると、緯線と経線が入れ替わった別のトーラスができます。これは、円柱の両端を 2 つの方法で結合して円柱からトーラスを構築することと同じです。2 つの方法は、庭のホースの両端を結合するように外側を回すか、靴下を丸めるように内側を通す (つま先を切り落とした状態) ことです。さらに、長方形の反対側の 2 つの辺を接着して円柱を作成した場合、代わりに他の 2 つの辺を選択すると、同じように向きが反転します。

トーラスの最初のホモロジー群は基本群と同型です (基本群はアーベル群なので、これはHurewicz の定理に従います)。

2-トーラスは、4 つの分岐点を持つ 2-球面の二重分岐被覆です。2-トーラス上のすべての共形構造は、2-球面のこのような 2 シート被覆として表すことができます。分岐点に対応するトーラス上の点は、ワイエルシュトラス点です。実際、トーラスの共形タイプは、4 つの点の 交差比によって決まります。

トーラスは高次元に一般化されており、n次元トーラスは、しばしばnトーラスまたはハイパートーラス。(これは「nトーラス」という用語のより一般的な意味であり、もう1つはn穴または種数n。^[8]) 通常のトーラスが位相的に2つの円の積空間であるのと同様に、n次元トーラスはnのの積と同等です。つまり、

${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\underbrace {\mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}} _{n}.}$

標準的な 1 トーラスは単なる円です: 。上で説明したトーラスは標準的な 2 トーラス です。そして 2 トーラスと同様に、nトーラスは任意の座標での整数シフトによる の商として記述できます。つまり、nトーラスは整数格子の作用を法とします(作用はベクトルの加算として行われます)。同様に、nトーラスはn次元ハイパーキューブの反対面を接着することで 得られます。${\displaystyle \mathbb {T} ^{1}=\mathbb {S} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

この意味での nトーラスは、 n次元コンパクト 多様体の一例です。また、コンパクトアーベル リー群の一例でもあります。これは、単位円がコンパクトアーベルリー群であるという事実から導かれます(乗算を伴う単位複素数と同一視される場合)。トーラス上の群乗算は、座標ごとの乗算によって定義されます。

トーラス群はコンパクト リー群の理論で重要な役割を果たします。これは、コンパクト リー群Gでは常に最大トーラス、つまり最大次元のトーラスである閉じた部分群を見つけることができるという事実に一部起因します。このような最大トーラスT は、連結Gの理論で制御的な役割を果たします。トーラス群はプロトーラスの例であり、プロトーラスは (トーラスのように) コンパクト連結アーベル群であり、多様体である必要はありません。

Tの自己同型は、格子 の自己同型から簡単に構築されます。格子 は、整数逆を持つサイズnの可逆な整数行列によって分類されます。これらは、行列式 ±1 を持つ整数行列です。これらを通常の方法でに作用させると、商上の典型的なトーラル自己同型が得られます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

nトーラスの基本群は、階数nの自由アーベル群です。nトーラスのk番目のホモロジー群は、階数nからk を選んだ自由アーベル群です。したがって、nトーラスのオイラー特性はすべてのnに対して 0 です。コホモロジー環H ^• ( ,  Z ) は、生成元がn 個の非自明サイクルの双対であるZ加群上の外積代数と同一視できます。 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

nトーラスは円のn倍積なので、 nトーラスは円上のn 個の順序付けられた、必ずしも相異なるとは限らない点の配置空間です。 記号的に、 です。順序付けられていない、必ずしも相異なるとは限らない点の配置空間は、したがって、トーラスをn文字上の対称群で割ったオービフォールドです(座標を並べ替えることによって)。 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=(\mathbb {S} ^{1})^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}/\mathbb {S} _{n}}$

n = 2の場合、商はメビウスの帯 で、その辺は 2 つの座標が一致するオービフォールドの点に対応します。n = 3 の場合、この商は、断面が正三角形でねじれのある立体トーラスとして記述できます。つまり、上面と底面が 1/3 のねじれ (120°) で接続されている三角柱です。3 次元の内部は、3 つの座標がすべて異なる 3 次元トーラス上の点に対応し、2 次元の面は、2 つの座標が等しく 3 番目が異なる点に対応し、1 次元の辺は、3 つの座標がすべて同一の点に対応します。

これらのオービフォールドは、ドミトリ・ティモツコと共同研究者（フェリペ・ポサダ、マイケル・コリナスら）の研究において音楽理論に重要な応用が見出されており、音楽の三和音をモデル化するために使用されている。^{[9] [10]}

平坦トーラスは、商, / Lとして表現されるトーラスから計量を継承したトーラスです。ここで、L はと同型のの離散部分群です。これにより、商はリーマン多様体の構造とアーベル リー群 の構造を持ちます。おそらく、この最も単純な例はL = :のときで、これは( x , y ) ~ ( x + 1, y ) ~ ( x , y + 1)という識別の下で直交平面として記述することもできます。この特定の平坦トーラス (およびそれを均一にスケールしたバージョン) は、「正方形」平坦トーラスとして知られています。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$

正方形平坦トーラスのこのメトリックは、よく知られている 2 次元トーラスをユークリッド 4 次元空間またはより高次元に埋め込むことによっても実現できます。その表面はどこでもガウス曲率がゼロです。円筒の表面が平坦であるのと同じ意味で平坦です。3 次元では、平らな紙を紙を伸ばさずに円筒に曲げることができますが、この円筒を紙を伸ばさずにトーラスに曲げることはできません (いくつかの規則性と微分可能性の条件を放棄しない限り、以下を参照)。

長方形の平坦なトーラス（正方形のものよりも一般的）の単純な 4 次元ユークリッド埋め込みは次のとおりです。

${\displaystyle (x,y,z,w)=(R\cos u,R\sin u,P\cos v,P\sin v)}$

ここで、RとP はアスペクト比を決定する正の定数です。これは正トーラスに微分同相ですが、等長ではありません。ユークリッド 3 次元空間に解析的に埋め込むことはできません(クラスC ^kの滑らかな、2 ≤ k ≤ ∞ )。これを3次元空間にマッピングするには、引き伸ばす必要がありますが、その場合、正トーラスのように見えます。たとえば、次のマップでは:

${\displaystyle (x,y,z)=((R+P\sin v)\cos u,(R+P\sin v)\sin u,P\cos v).}$

上記の平坦トーラスのパラメータ化におけるRとP が単位ベクトル( R , P ) = (cos( η ), sin( η ))を形成する場合、u、v、および 0 < η < π /2 は単位 3 次元球面をホップ座標としてパラメータ化します。特に、上記のη = π /4である3 次元球面 S ^{3内の特定の正方形平坦トーラスの選択では、トーラスは 3 次元球面を、前述の平坦トーラス面を共通の}境界とする2 つの合同な立体トーラス部分集合に分割します。1 つの例は、次のように定義される トーラスTです。

${\displaystyle T=\left\{(x,y,z,w)\in \mathbb {S} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}={\frac {1}{2}},\ z^{2}+w^{2}={\frac {1}{2}}\right\}.}$

この分割特性を持つS ³内の他のトーラスには、 Q ⋅ Tの形の正方トーラスが含まれる。ここで、Q は4次元空間の回転 、言い換えればQはリー群SO(4)の要素である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

平坦トーラスの 3 次元空間へのC ² (2 回連続微分可能) 埋め込みは存在しないことが知られています。(証明の考え方は、そのような平坦トーラスを内部に含む大きな球を取り、球の半径を縮小してトーラスに初めて接触するというものです。そのような接触点は接線でなければなりません。しかし、それはトーラスの一部がどこでも曲率がゼロであるため、球の外側に厳密に存在しなければならないことを意味しますが、これは矛盾です。) 一方、 1950 年代に証明されたナッシュ-カイパー定理によると、等長C ¹埋め込みが存在します。これは単に存在証明であり、そのような埋め込みの明示的な方程式は提供していません。

2012 年 4 月、平坦トーラスを 3 次元ユークリッド空間に 明示的にC ¹ (連続的に微分可能) 等長埋め込みすることが発見されました。^{[11] [12] [13] [14]}これは、計量​​空間として平坦な正方形トーラスと等長であるという意味で平坦トーラスです。これは、通常のトーラスを小さなスケールで繰り返し波形にすることで構築されるため、構造がフラクタルに似ています。フラクタルと同様に、ガウス曲率は定義されていません。ただし、フラクタルとは異なり、定義された表面法線があり、いわゆる「滑らかなフラクタル」を生み出します。この波形トーラスの滑らかさを得るための鍵は、連続する波形の振幅をその「波長」よりも速く減少させることです。^[15]（これらの無限再帰的な波形は、3次元への埋め込みにのみ使用され、平坦トーラスの本質的な特徴ではありません。）このような埋め込みが明示的な方程式で定義され、コンピュータグラフィックスで描かれたのはこれが初めてです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

リーマン面の研究では、任意の 2 つの滑らかなコンパクトな幾何学的面は、それらの面の間に角度と方向の両方を保存する滑らかな同相関係が存在する場合、「共形的に同値」であると言われています。均一化定理は、すべてのリーマン面が、一定のガウス曲率を持つ面と共形的に同値であることを保証します。トーラスの場合、一定の曲率は 0 でなければなりません。次に、適切な位相を持つ共形同値類ごとに 1 つの点を含むように、トーラスの「モジュライ空間」を定義します。このモジュライ空間Mは、周囲の角度が 2π (ラジアン) 未満の 2 つの点を除いて滑らかな穴の開いた球面と同一視できることがわかります。1 つの点の合計角度は π で、もう 1 つの点の合計角度は 2π/3 です。

M は、極限で長方形トーラスがアスペクト比 0 に近づく極限ケースを表す 1 つの点を追加することで、コンパクト空間M* (位相的には球と同等)に変換できます。その結果、このコンパクト化されたモジュライ空間は、 3 つの点のそれぞれが 2π 未満の全角度を持つ球になります。(このような点は「カスプ」と呼ばれ、円錐の頂点 (「円錐点」とも呼ばれます) と考えることができます。) この 3 番目の円錐点は、その周囲の全角度が 0 になります。対称性により、M* は、双曲面上の2 つの合同な測地三角形を(同一の) 境界に沿って貼り合わせることで構築できます。各三角形の角度は π/2、π/3、0 です (双曲三角形 T の 3 つの角度によって、合同になるまで T が決まります)。その結果、ガウス・ボネの定理により、各三角形の面積は π - (π/2 + π/3 + 0) = π/6 と計算できるため、コンパクト化されたモジュライ空間M*の面積は π/3 に等しいことがわかります。

他の 2 つのカスプは、 M*の a) 正方形トーラス (全角度 = π) と b) 六角形トーラス (全角度 = 2π/3) に対応する点で発生します。これらは、平行移動と否定によって生成されるもの以外の共形自己同型を持つ、平坦トーラスの唯一の共形同値類です。

表面理論には、より一般的なオブジェクトのファミリーである「種数」g表面があります。種数g表面は、g 個の 2 トーラスの連結和です。(したがって、トーラス自体は種数 1 の表面です。) 2 つの表面の連結和を形成するには、それぞれからディスクの内部を削除し、境界円に沿って表面を「接着」します。(つまり、2 つの境界円を結合して 1 つの円にします。) 2 つ以上の表面の連結和を形成するには、すべての表面が連結されるまで、一度に 2 つの表面の連結和を連続的に求めます。この意味で、種数g表面は、 g 個のドーナツを並べて貼り付けた表面、またはg 個のハンドルが取り付けられた 2 球に似ています。

たとえば、種数 0 の曲面 (境界なし) は2 球面であり、種数 1 の曲面 (境界なし) は通常のトーラスです。より高い種数の表面は、 n穴トーラス (または、まれにn倍トーラス)と呼ばれることがあります。二重トーラスや三重トーラスという用語も時々使用されます。

曲面の分類定理によれば、あらゆるコンパクトな連結 面は、球面、またはいくつかのトーラス、円板、および実射影平面の連結和と位相的に同値です。

トーラスの位相型を持つ多面体はトーラス多面体と呼ばれ、オイラー特性 V − E + F = 0 を持ちます。任意の数の穴に対して、式はV − E + F = 2 − 2 Nに一般化されます。ここで、Nは穴の数です。

「トーラス多面体」という用語は、より高次の多面体やトーラス多面体の 浸漬にも使用されます。

トーラスの同相群（または微分同相写像の部分群）は、幾何学的位相幾何学で研究されています。その写像類群（同相群の連結成分）は、可逆な整数行列の群に射影的であり、これは標準格子（これは整数係数に対応します）を保存し、したがって商に下がる普遍被覆空間上の線型写像として実現できます。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

ホモトピーとホモロジーのレベルでは、写像類群は、最初のホモロジー（または同等に、最初のコホモロジー、または基本群）への作用として識別できます。これらはすべて自然に同型であるため、最初のコホモロジー群はコホモロジー代数も生成します。

${\displaystyle \operatorname {MCG} _{\operatorname {Ho} }(\mathbb {T} ^{n})=\operatorname {Aut} (\pi _{1}(X))=\operatorname {Aut} (\mathbb {Z} ^{n})=\operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} ).}$

トーラスはアイレンバーグ・マクレーン空間 K ( G , 1) なので、そのホモトピー同値性はホモトピーまで、基本群の自己同型と同一視できる。トーラスのすべてのホモトピー同値性は同相写像によって実現できる。つまり、すべてのホモトピー同値性は同相写像に同相である。

したがって、写像類群の短い正確な列は分割されます（トーラスを の商として識別すると、上記のように線型写像を介して分割が行われます）。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle 1\to \operatorname {Homeo} _{0}(\mathbb {T} ^{n})\to \operatorname {Homeo} (\mathbb {T} ^{n})\to \operatorname {MCG} _{\operatorname {TOP} }(\mathbb {T} ^{n})\to 1.}$

高次の種数の表面のマッピングクラスグループははるかに複雑であり、活発に研究されている分野です。

トーラスのヒーウッド数は 7 です。つまり、トーラスに埋め込むことができるすべてのグラフの彩色数は最大 7 です。(完全グラフは トーラスに埋め込むことができ、であるため、上限は厳密です。) 同様に、領域に分割されたトーラスでは、隣接する領域が同じ色にならないように、常に 7 色以下を使用して領域を彩色できます。(平面の4 色定理と比較してください。) ${\displaystyle {\mathsf {K_{7}}}}$${\displaystyle \chi ({\mathsf {K_{7}}})=7}$

組合せ数学において、de Bruijn トーラスは、アルファベットの記号 (多くの場合 0 と 1 のみ) の配列であり、すべてのm行n 列の行列が 1 回ずつ含まれます。行列を見つける目的で、辺がラップアラウンドと見なされるため、トーラスと呼ばれます。その名前は、 nが 1 (1 次元)である特殊なケースと考えられるDe Bruijn シーケンスに由来しています。

回転体トーラスはn（> 0）平面で最大で

${\displaystyle {\begin{pmatrix}n+2\\n-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}}={\tfrac {1}{6}}(n^{3}+3n^{2}+8n)}$

パーツ。^[16]（これは、ピースが再配置されず、すべてのカットで所定の位置に留まる必要があることを前提としています。）

0 ≤ n ≤ 10（上記の式に含まれない n = 0の場合も含む）の最初の 11 個の部分数は、次のとおりです。

1、2、6、13、24、40、62、91、128、174、230、...（OEISの配列A003600）。

• Nociones de Geometria Analítica y Álgebra Lineal、ISBN  978-970-10-6596-9、著者: Kozak Ana Maria、Pompeya Pastorelli Sonia、Verdanega Pedro Emilio、編集: McGraw-Hill、2007 年版、744 ページ、言語: スペイン語
• アレン・ハッチャー。代数的位相幾何学。ケンブリッジ大学出版局、2002年。ISBN 0-521-79540-0。 
• VV Nikulin、IR Shafarevich。幾何学と群。Springer、1987年。ISBN 3-540-15281-4、ISBN 978-3-540-15281-1。  
• 「Tore (幾何学概念)」（Encyclopédie des Fores Mathématiques Remarquables）

無料辞書のウィクショナリーで「トーラス」を調べてください。

ウィキメディア・コモンズには
、 トーラス (カテゴリ)に関連するメディアがあります。

• 結び目を切ることでトーラスを作成する
• 「4Dトーラス」4次元トーラスの断面をフライスルー
• 「リレーショナルパースペクティブマップ」フラットトーラスで高次元データを視覚化する
• ポリドー、ドーナツ型多角形
• Ghostarchive および Wayback Machine にアーカイブされています: Séquin, Carlo H (2014 年 1 月 27 日)。「ねじれたトーラスのトポロジー - Numberphile」(ビデオ)。Brady Haran。
• アンダース・サンドバーグ (2014年2月4日). 「トーラス・アース」 . 2019年7月24日閲覧。