固有値と固有ベクトル

線形代数において、固有ベクトル（/ ˈaɪɡən- / EYE -gən-）または特性ベクトルとは、与えられた線形変換によって方向が変化しない（または反転する）（ゼロでない）ベクトルのことである。より正確には、固有ベクトルとは、 $\mathbf {v}$ 線形変換の $T$ 定数倍でスケーリングされる $\lambda$ 線形変換を適用すると： $T\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$ 対応する固有値、特性値、または特性根が乗数となる。 $\lambda$ （負の数または複素数になる可能性あり。）

幾何学的に、ベクトルは大きさと方向を持つ多次元量であり、しばしば矢印として表されます。線形変換は、作用するベクトルを回転、伸縮、またはせん断します。線形変換の固有ベクトルは、回転もせん断もされず、伸縮のみされるベクトルです。対応する固有値は、固有ベクトルが伸縮される係数です。固有値が負の場合、固有ベクトルの方向は反転します。^{[ 1 ]}

線形変換の固有ベクトルと固有値は、その変換を特徴づけるものであり、地質学から量子力学に至るまで、線形代数が応用されるあらゆる分野で重要な役割を果たします。特に、システムが線形変換によって表現され、その出力が同じ変換への入力として与えられる（フィードバック）ケースがよくあります。このような応用では、最大の固有値が特に重要となります。なぜなら、それは線形変換を何度も適用した後のシステムの長期的な挙動を決定づけ、対応する固有ベクトルはシステムの定常状態を表すからです。

行列

のために $n{\times }n$ マトリックス $A$ ⁠そしてゼロ以外の値 $n$ ⁠ -ベクトル⁠ $\mathbf {v}$ ⁠、乗算する場合⁠ $A$ ⁠by $\mathbf {v}$ （表記） $A\mathbf {v}$ ⁠ ) 単純にスケールします $\mathbf {v}$ 係数によって $\lambda$ ⁠、そこで⁠ $\lambda$ はスカラーである。 $\mathbf {v}$ はの固有ベクトルと呼ばれます。 $A$ ⁠、そして⁠ $\lambda$ は対応する固有値です。この関係は次のように表すことができます。 $A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$ ⁠ .^{[ 2 ]}

Given an ⁠ $n$ ⁠-dimensional vector space and a choice of basis, there is a direct correspondence between linear transformations from the vector space into itself and ⁠ $n\times n$ ⁠square matrices. Hence, in a finite-dimensional vector space, it is equivalent to define eigenvalues and eigenvectors using either the language of linear transformations, or the language of matrices.^[3]^[4]

Overview

Eigenvalues and eigenvectors feature prominently in the analysis of linear transformations. The prefix eigen- is adopted from the German eigen (cognate with the English word own) for 'proper', 'characteristic', 'own'.^[5]^[6] Originally used to study principal axes of the rotational motion of rigid bodies, eigenvalues and eigenvectors have a wide range of applications, for example in stability analysis, vibration analysis, atomic orbitals, facial recognition, and matrix diagonalization.

In essence, an eigenvector $v$ of a linear transformation $T$ is a nonzero vector that, when $T$ is applied to it, does not change direction. Applying $T$ to the eigenvector only scales the eigenvector by the scalar value $λ$ , called an eigenvalue. This condition can be written as the equation $T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,$ referred to as the eigenvalue equation or eigenequation. In general, $λ$ may be any scalar. For example, $λ$ may be negative, in which case the eigenvector reverses direction as part of the scaling, or it may be zero, or complex.

ここで紹介するモナ・リザを例にとると、簡単な説明になります。絵画上の各点は、絵画の中心からその点に向かうベクトルとして表すことができます。この例で用いられる線形変換は、せん断写像と呼ばれます。上半分の点は右に、下半分の点は左に、絵画の中心を通る水平軸からの距離に応じて移動します。そのため、元の画像の各点に向かうベクトルは、この変換によって左右に傾き、長さが増減します。水平軸上の点は、この変換を適用しても全く移動しません。したがって、垂直成分を持たず、真右または真左を指すベクトルは、写像によって方向が変わらないため、この変換の固有ベクトルとなります。さらに、写像によって長さも変わらないため、これらの固有ベクトルの固有値はすべて1になります。

線形変換はさまざまな形式を取り、さまざまなベクトル空間のベクトルをマッピングするため、固有ベクトルもさまざまな形式を取り得ます。たとえば、線形変換は次のような微分演算子である可能性があります。 ${\tfrac {d}{dx}}$ この場合、固有ベクトルは、その微分演算子によってスケーリングされた固有関数と呼ばれる関数です。 $\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}.}$ $あるいは、線形変換はn$ × $n$ 行列の形をとることもあり、その場合、固有ベクトルは $n$ × $1$ 行列となる。

$線形変換がn$ × $n$ 行列 $A$ の形で表現される場合、上記の線形変換の固有値方程式は、行列の乗算として書き直すことができます。 $A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,$ ここで、固有ベクトル $vは$ $n$ × $1$ 行列です。行列に対して、固有値と固有ベクトルは、例えば対角化することによって、行列を分解するために使用できます。固有値と固有ベクトルは、密接に関連する多くの数学的概念を生み出し、それらに名前を付ける際には接頭辞eigen-が広く用いられます。

線形変換のすべての固有ベクトルの集合は、それぞれに対応する固有値とペアになっており、その変換の固有系と呼ばれます。 ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}
同じ固有値に対応する $T$ のすべての固有ベクトルと零ベクトルの集合は、固有空間、またはその固有値に関連付けられた $T$ の特性空間と呼ばれます。^[⁹^]
$T$ の固有ベクトルの集合が $T$ の定義域の基底を形成する場合、この基底は固有基底と呼ばれます。

対称変換や複素固有値を持つ変換を含む、2次元における固有ベクトルと固有値の追加アニメーションは、Wikimedia Commonsで入手できます。

歴史

固有値は、線形代数や行列理論の文脈で導入されることが多い。しかし、歴史的には、二次形式や微分方程式の研究において出現した概念である。

18世紀、レオンハルト・オイラーは剛体の回転運動を研究し、主軸の重要性を発見した。^{[ a ]}ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュは、主軸が慣性行列の固有ベクトルであることを認識した。^{[ 10 ]}

19 世紀初頭、オーギュスタン＝ルイ・コーシーは、彼らの研究が二次曲面の分類にどのように利用できるかを理解し、それを任意の次元に一般化した。^{[ 11 ]}コーシーはまた、現在固有値と呼ばれるものに対してracine caractéristique (特性根)という用語を作り出した。彼の用語は特性方程式に残っている。^[^b^]

その後、ジョセフ・フーリエは、 1822年の論文『熱の解析理論（Théorie analytique de la chaleur）』の中で、ラグランジュとピエール＝シモン・ラプラスの研究を利用して変数分離法で熱方程式を解いた。^[¹²^]シャルル＝フランソワ・シュトゥルムはフーリエの考えをさらに発展させ、コーシーに紹介した。コーシーはそれを自身の考えと組み合わせ、実対称行列は実固有値を持つという事実にたどり着いた。^[¹¹^]これは1855年にシャルル・エルミートによって、現在エルミート行列と呼ばれるものに拡張された。^[¹³^]

ほぼ同時期に、フランチェスコ・ブリオスキは直交行列の固有値が単位円上にあることを証明し^{[ 11 ]}、アルフレッド・クレブシュは歪対称行列についても同様の結果を発見した^{[ 13 ]}。最後に、カール・ワイエルシュトラスは、欠陥のある行列が不安定性を引き起こす可能性があることに気づき、ラプラスによって始められた安定性理論の重要な側面を明らかにした^[¹¹^{] 。}

その一方で、ジョセフ・リウヴィルはシュトゥルムと同様の固有値問題を研究し、彼らの研究から発展した学問分野は現在シュトゥルム・リウヴィル理論と呼ばれている。^{[ 14 ]}シュワルツは19世紀末に一般領域におけるラプラス方程式の第一固有値を研究し、ポアンカレは数年後にポアソン方程式を研究した。 ^{[ 15 ]}

20世紀初頭、デイヴィッド・ヒルベルトは積分演算子を無限行列とみなすことで、積分演算子の固有値を研究した。 ^{[ 16 ]}彼は1904年に、固有値と固有ベクトルを表すためにドイツ語のeigen（「自身の」という意味）^[^{6 ]を}^初めて使用したが、ヘルマン・フォン・ヘルムホルツ^の関連する用法に従っていた可能性もある。しばらくの間、英語の標準用語は「proper value」であったが、今日ではより特徴的な用語である「eigenvalue」が標準となっている。^{[ 17 ]}

固有値と固有ベクトルを計算する最初の数値アルゴリズムは、1929 年にリチャード・フォン・ミーゼスがべき乗法を発表したときに現れました。今日最も普及している方法の 1 つはQR アルゴリズムで、 1961 年にジョン GF フランシス^{[ 18 ]}とヴェラ・クブラノフスカヤ^{[ 19 ]}がそれぞれ独立に提案しました。^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}

行列の固有値と固有ベクトル

固有値と固有ベクトルは、行列に焦点を当てた線形代数コースの文脈で学生に紹介されることが多い。^{[ 22 ]}^{[ 23 ]} さらに、有限次元ベクトル空間上の線形変換は行列を使用して表現することができ、^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}これは数値計算アプリケーションで特に一般的である。^{[ 24 ]}

2つを考えてみましょう $n$ ⁠次元ベクトルは、リストとして形成されます。 $n$ スカラー、例えば3次元ベクトル $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}}\quad {\mbox{および}}\quad \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}}.$ これらのベクトルは、スカラー倍数である場合、互いに平行または共線であると言われます。 $\lambda$ ⁠そのため $\mathbf {y} =\lambda \mathbf {x} .$ この例では、 $\lambda =-20$ ⁠ .

次に、 ⁠の線形変換を考えます。 $n$ 次元ベクトルは、 $n\times n$ マトリックス $A$ ⁠ : $A\mathbf {v} =\mathbf {w} ,$ または ${\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}$ ここで、各行について、 $w_{i}=A_{i1}v_{1}+A_{i2}v_{2}+\cdots +A_{in}v_{n}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}v_{j}.$

もし次のようなことが起こる場合 $\mathbf {v}$ そして $\mathbf {w}$ はスカラー倍数です。つまり、

それから $\mathbf {v}$ は線形変換の固有ベクトルである。 $A$ ⁠そしてスケールファクター $\lambda$ は、その固有ベクトルに対応する固有値です。式（ 1）は、行列の固有値方程式です。 $A$ ⁠ .

式（１）は以下のように等価的に表すことができる。

どこで $I$ ⁠は⁠ $n\times n$ 単位行列と $\mathbf {0}$ はゼロベクトルです。

固有値と特性多項式

式（2 ）は、行列 $（$ $A$ $-$ $λI$ $）$ の行列式がゼロである場合に限り、非ゼロ解 $vを持つ。したがって、$ $A$ の固有値は、式を満たす $λ$ の値である。

行列式のライプニッツ公式を用いると、式（ 3）の左辺は変数 $λの$ 多項式関数であり、この多項式の次数は行列 $Aの次数$ $n$ である。その係数は $A$ の要素に依存するが、次数 $n$ の項は常に $（-1）$ $nλnとなる$ $。$ $この多項式はA$ の特性多項式と呼ばれる。式（3 ） $は$ $A$ の特性方程式または永年方程式と呼ばれる。

$n$ × $n$ 行列 $A$ の特性多項式は $n次$ 多項式であり、最大で $n個の$ 複素数根を持ちます。これらの根は、特性多項式を因数分解するか、数値的に根を求めることで見つけることができます。特性多項式は、 $n個$ の線形項の積に因数分解できます。

ここで、複素数 $λ₁,$ $λ₂,$ ..., $λn （それぞれが固有値）$ は重複する可能性がある。（固有値が特性多項式に現れる回数をその代数的重複度という。）

後ほど例のセクションで詳しく説明する簡単な例として、次の行列を考えてみましょう。 $A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.$ $(A - λI)$ の行列式を取ると、 $A$ の特性多項式は次のようになる。 $\det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}.$ 特性多項式をゼロに設定すると、 $λ = 1$ と $λ = 3に根を持ち、これらは$ $A$ の 2 つの固有値です。各固有値 $λ$ に対応する固有ベクトルは、方程式 $($ $A$ $-$ $λI$ $)$ $v$ $=$ $0の$ $v$ の成分を解くことによって求めることができます。この例では、固有ベクトルは、次の任意のゼロでないスカラー倍です。 $\mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.$

行列 $A$ の要素がすべて実数である場合、特性多項式の係数も実数になりますが、固有値にはゼロでない虚部が含まれる可能性があります。したがって、対応する固有ベクトルの要素にもゼロでない虚部が含まれる可能性があります。同様に、 $A$ の要素がすべて有理数であっても、あるいはすべて整数であっても、固有値は無理数になる可能性があります。ただし、 $A$ の要素がすべて代数的数（有理数を含む）である場合は、固有値も代数的数でなければなりません。

実数係数を持つ実数多項式の非実数根は、複素共役のペアにまとめることができます。つまり、各ペアの2つの要素は、虚部が符号のみ異なり、実部は同じです。次数が奇数の場合、中間値の定理により、少なくとも1つの根は実数になります。したがって、奇数次の実数行列は少なくとも1つの実数固有値を持ちますが、偶数次の実数行列は実数固有値を持たない場合があります。これらの複素固有値に対応する固有ベクトルも複素数であり、複素共役のペアに現れます。

行列のスペクトル

行列のスペクトルとは、その固有値を重複度に応じて繰り返したリストのことです。より簡潔に言えば、重複度を付記した固有値の集合のことです。

行列のスペクトルに関連する重要な量の一つは、その行列のすべての固有値の絶対値の最大値です。これは、対象となる行列のスペクトル半径として知られています。

代数的重複度

$λ i を$ $n$ × $n$ 行列 $A$ の固有値とする。固有値の代数的重複度 $μ A (λ i)$ は、特性多項式の根としての重複度、すなわち $($ $λ$ $i$ $-$ $λ$ $)$ $k$ がその多項式を割り切る最大の整数 $k$ である。^[⁹^]^[²⁵^]^[²⁶^]

行列 $A の$ 次数が $n$ であり、 $d \leq n 個の$ 異なる固有値を持つとします。式 ( 4 $) はA$ の特性多項式を、いくつかの項が繰り返される可能性のある $n$ 個の線形項の積に因数分解しますが、特性多項式は、それぞれ異なる固有値に対応する $d$ 個の項の積として、代数的重複度で累乗した形でも表すことができます。 $\det(A-\lambda I)=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.$ $d = n$ の場合、右辺は $n 個の線形項の積となり、これは式 ($ 4 )と同じである。各固有値の代数的重複度の大きさは、次元 $n$ と次のように関係している。 ${\begin{aligned}1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{aligned}}$ $μ A (λ i) = 1$ の場合、 $λ iは$ 単純固有値であると言われます。^{[ 26 ]} $μ A (λ i)が$ $λ i$ の幾何学的重複度( $γ A (λ i)$ で表され、次のセクションで定義されます) に等しい場合、 $λ i は$ 半単純固有値であると言われます。

行列の固有空間、幾何学的重複度、および固有基底

特定の固有値が与えられた場合 $\lambda$ の⁠ $n\times n$ マトリックス $A$ ⁠、セットを定義します⁠ $E$ すべてベクトルである $\mathbf {v}$ 式（２）を満たすもの： $E=\left\{\mathbf {v$ 一方、 ⁠ $E$ はまさに行列の核または零空間である。 $A-\lambda I$ 一方、定義により、この条件を満たすゼロでないベクトルはすべての固有ベクトルである。 $A$ 関連する $\lambda$ ⁠ ; だから⁠ $E$ は、ゼロベクトルとのすべての固有ベクトルの集合との和集合です。 $A$ 関連する $\lambda$ ⁠ . スペース⁠ $E$ はの固有空間または特性空間と呼ばれます。 $A$ 関連する $\lambda$ ⁠ .^{[ 27 ]}^{[ 9 ]}一般的に、 ⁠ $\lambda$ は複素数であり、固有ベクトルは複素数である。 $n\times 1$ 行列（列ベクトル）。すべての零空間は領域の線形部分空間であるため、 $E$ はの線形部分空間である $\mathbb {C} ^{n}$ ⁠ .

固有空間のため $E$ は線形部分空間であり、加法に関して閉じている。つまり、2 つのベクトルがの場合、 $\mathbf {u}$ そして $\mathbf {v}$ セットに属する $E$ ⁠、書かれた⁠ $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in E$ ⁠、それから⁠ $\mathbf {u} +\mathbf {v} \in E$ ⁠、または同等に⁠ $A(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} )$ これは行列乗算の分配法則を用いて確認できます。同様に、 $E$ は線形部分空間であり、スカラー乗法に関して閉じている。つまり、の場合、 $\mathbf {v} \in E$ そして $\alpha \in \mathbb {C}$ ⁠、それから⁠ $\alpha \mathbf {v} \in E$ ⁠、または同等に⁠ $A(\alpha \mathbf {v} )=\lambda (\alpha \mathbf {v} )$ これは、複素行列と複素数の乗算が可換であることに注目することで確認できます。 $\mathbf {u} +\mathbf {v}$ そして $\alpha \mathbf {v}$ はゼロではなく、またの固有ベクトルでもある。 $A$ 関連する $\lambda$ ⁠ .

固有空間の次元 $E$ 関連する $\lambda$ ⁠、または同等に、に関連付けられた線形独立な固有ベクトルの最大数⁠ $\lambda$ は固有値の幾何学的重複度と呼ばれ、で表されます。 $\gamma _{A}(\lambda )$ なぜなら $E$ はのヌル空間でもある $A-\lambda I$ ⁠、の幾何学的多重度⁠ $\lambda$ はの零空間の次元です。 $A-\lambda I$ ⁠、また無効とも呼ばれる⁠ $A-\lambda I$ ⁠。この量は、のサイズとランクに関連しています。 $A-\lambda I$ 式によって： $\gamma _{A}(\lambda )=n-\operatorname {rank} (A-\lambda I).$ 固有値と固有ベクトルの定義により、固有値の幾何学的重複度は少なくとも 1 でなければなりません。つまり、各固有値には少なくとも 1 つの固有ベクトルが対応しています。さらに、固有値の幾何学的重複度は代数的重複度を超えることはできません。また、固有値の代数的重複度は⁠を超えることはできないことを思い出してください。 $n$ 要約すると、 $1\leq \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )\leq n.$

不等式の証明 $\gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )$ ⁠ : $B = A - λI$ とする。ここで $λ$ は固定された複素数であり、 $λに対応する固有空間は$ $B$ の零空間である。その固有空間の次元を ⁠ とする。 $k=\gamma _{A}(\lambda )$ これ $は、 B$ の階段行列の最後の $k$ 行がゼロであることを意味します。したがって、ガウス・ジョルダン簡約から得られる $可逆行列E$ が存在し $EB={\begin{bmatrix}*&*\\\mathbf {0} _{k\times (n-k)}&\mathbf {0} _{k\times k}\end{bmatrix}}.$ $したがって、 EB$ $-$ $tE$ の最後の $k行は、$ $E$ の最後の $k行の$ $(-$ $t$ $)$ 倍になります。したがって、行列式の基本性質 (同次性) により、多項式 $t$ $k$ は多項式 $det($ $EB$ $-$ $tE$ $)$ を割り切ります。一方、 $det($ $EB$ $-$ $tE$ $) =$ $det$ $E、$ $det($ $B$ $-$ $tI$ $) =$ $p$ $A$ $($ $t$ $+$ $λ$ $) det$ $E$ なので、 $($ $t$ $-$ $λ$ $)$ $k$ $はp$ $A$ $($ $t$ $)$ を割り切り、したがって $λ$ の代数的重複度は少なくとも⁠ $k$ 証明終了

$A には$ $d \leq n 個の$ 異なる固有値 $λ 1, ..., λ d$ があると仮定します。ここで、 $λ i$ の幾何学的重複度は $γ A (λ i)$ です。A の全幾何学的重複度は $、$ $\gamma _{A}=\sum _{i=1}^{d}\gamma _{A}(\lambda _{i}),$ $は、 A$ の固有値のすべての固有空間の和の次元、または同等に、 $A$ の線形独立な固有ベクトルの最大数です。構成上、 $d\leq \gamma _{A}\leq n$ ⁠ . もし⁠ $\gamma _{A}=n$ そして：

$A$ のすべての固有値の固有空間の直和は、ベクトル空間全体である。 $\mathbb {C} ^{n}$ ⁠ .
基礎 $\mathbb {C} ^{n}$ $Aの$ $n$ 個の線形独立な固有ベクトルから形成することができ、このような基底は固有基底と呼ばれます。
任意のベクトル $\mathbb {C} ^{n}$ $A$ の固有ベクトルの線形結合として表すことができる。

追加の物件

$A を$ 任意の $n$ × $n$ 複素数行列とし、その固有値を $λ 1, ..., λ n$ とする。各固有値は、このリストに $μ A (λ i)回出現する。ここで、$ $μ A (λ i)$ はその固有値の代数的重複度である。この行列とその固有値の性質は以下のとおりである。

痕跡 $A$ は、その対角要素の合計として定義され、そのすべての固有値の合計でもあります。^{[ 28 ]}^{[ 29 ]}^{[ 30 ]} $\operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}.$
の決定要因 $A$ は、そのすべての固有値の積です。^{[ 28 ]}^{[ 31 ]}^{[ 32 ]} $\det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.$
任意の正の整数に対して $k$ ⁠、の固有値⁠ $k$ ⁠の⁠ $A$ つまり、 $A^{k}$ ⁠、は⁠ $\lambda _{1}^{k},\ldots ,\lambda _{n}^{k}$ ⁠ .
行列の固有値 $A+I$ （場所） $I$ （単位行列）は $\lambda _{1}+1,\ldots ,\lambda _{n}+1$ さらに、任意の $\alpha \in \mathbb {C}$ 行列の固有値 $A+\alpha I$ ⁠は⁠ $\lambda _{1}+\alpha ,\ldots ,\lambda _{n}+\alpha$ ⁠ .
より一般的には、任意の多項式に対して $P$ 行列の固有値 $P(A)$ ⁠は⁠ $P(\lambda _{1}),\ldots ,P(\lambda _{n})$ ⁠ .
⁠ $A$ ⁠ は、すべての固有値が ⁠ である場合に限り可逆である。 $\lambda _{i}$ はゼロではありません。
もし $A$ は可逆であり、その場合のの固有値は $A^{-1}$ ⁠は $\textstyle {\frac {1}{\lambda _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\lambda _{n}}}}$ そして、対応する固有値のペアごとに、幾何学的重複度は $\gamma _{A}(\lambda _{i})$ そして ${\textstyle \gamma _{A^{-1}}({1 \over \lambda _{i}})}$ 一致する。さらに、逆多項式の特性多項式は、スカラー因子を除いて元の多項式の逆数であるため、対応する固有値のペアごとに、代数的重複度は⁠ $\mu _{A}(\lambda _{i})$ そして ${\textstyle \mu _{A^{-1}}({1 \over \lambda _{i}})}$ 一致する。
もし $A$ は共役転置と等しい $A^{*}$ つまり、 $A$ はエルミート行列であり、すべての固有値は $\displaystyle \lambda _{i}}$ は実数である。これは、任意の対称実数行列についても同様である
もし $A$ はエルミート行列であるだけでなく、正定値行列、正半定値行列、負定値行列、または負半定値行列でもある場合、すべての固有値は $\displaystyle \lambda _{i}}$ はそれぞれ、正、非負、負、または非正です。
もし $A$ ⁠はユニタリであり、すべての固有値は⁠ $\displaystyle \lambda _{i}}$ 絶対値を持つ $\vert \lambda _{i}\vert =1$ ⁠ .

左固有ベクトルと右固有ベクトル

多くの分野では、従来、ベクトルを単一の行を持つ行列ではなく、単一の列を持つ行列として表現してきました。そのため、行列の文脈における「固有ベクトル」という言葉は、ほぼ常に「右固有ベクトル」、つまり定義式（1）の $n$ × $n$ 行列 $Aに$ 右から乗算される列ベクトルを指します。 $A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} .$ 固有値と固有ベクトルの問題は、行列 $Aを$ 左から乗算する行ベクトルに対しても定義できます。この定式化では、定義方程式は次のようになります。 $\mathbf {u} A=\kappa \mathbf {u} ,$ ここで、 $κ$ はスカラーであり、 $uは$ $1$ × $n$ 行列である。この式を満たす任意の行ベクトル $u$ $はA$ の「左固有ベクトル」と呼ばれ、 $κ$ は依然としてその固有値と呼ばれる。この式の転置をとると、 $A^{\mathsf {T}}\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}=\kappa \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}.$

この式を式（1）と比較すると、左固有ベクトルはすぐに次のようになる。 $A$ はの右固有ベクトルの転置と同じです。 $A^{\mathsf {T}}$ ⁠、同じ固有値を持つ。さらに、の固有多項式は⁠ $A^{\mathsf {T}}$ はの特性多項式と同じです。 $A$ ⁠、の左および右の固有ベクトル⁠ $A$ これらは同じ固有値に関連付けられています。

転置行列の固有値

行列は転置行列と同じ固有値を持つ。これは以下のように直接確認できる。 $\lambda$ はの固有値です $n\times n$ マトリックス $A$ 固有ベクトル付き $x$ ⁠ . それから⁠ $Ax=\lambda x$ ⁠ ; 同様に、 ⁠ $(A-\lambda I)x=0$ ⁠ .

したがって、 ⁠の列 $(A-\lambda I)$ は線形従属である。言い換えれば、行列のランクは未満である。 $n$ ⁠ .

しかし、列ランク＝行ランクであるため、行も線形従属です。したがって、数値は $y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}$ すべてゼロではなく、 ${\textstyle \sum _{i=1}^{i=n}y_{i}R_{i}=0,}$ どこで⁠ $R_{i}$ ⁠はの行です⁠ $(A-\lambda I)$ 行ベクトルを⁠とします。 $y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$ ⁠ ; それから⁠ $y\,(A-\lambda I)=0$ 転置すると、 $(A^{\mathsf {T}}-\lambda I)\,y^{\mathsf {T}}=0$ さらに、 $\displaystyle y^{\mathsf {T}}$ はゼロベクトルではないので、 $\lambda$ はの固有値でもある $A^{\mathsf {T}}$ ⁠ .

さらに、この議論は、 $A$ そして $A^{\mathsf {T}}$ 同じ幾何学的重複度を持つ（列の空要素数＝行の空要素数であるため）。

対角化と固有値分解

$A$ の固有ベクトルがの基底を形成すると仮定します。 $\mathbb {C} ^{n}$ ⁠、または同等に、 $A は$ $n 個$ の線形独立な固有ベクトル $v 1$ 、 $v 2$ 、 ...、 $v n$ (およびそれに対応する固有値 $λ 1$ 、 $λ 2$ 、 ...、 $λ n$ )を持ちます。固有ベクトルは互いに直交している必要はなく、固有値は互いに異なる必要もありません。 $列がAの$ $n$ 個の線形独立な固有ベクトルである正方行列 $Q$ を定義します。 $Q={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.$ $Q$ の各列は $A$ の固有ベクトルであるため、 Aに $Qを$ $右から乗算すると、$ $Q$ の各列は対応する固有値でスケーリングされます。 ${\displaystyle AQ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}&\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}&\cdots &\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}。$

これを踏まえて、対角行列 $Λ$ を定義する。ここで、各対角要素 $Λii は$ $Qの$ $i$ 番目の列に関連付けられた固有値である。 $AQ=Q\varLambda .$ $Q$ の列は線形独立であるため、 $Q$ は可逆です。等式の両辺に $Q -1$ を右から掛けると、 $A=Q\varLambda Q^{-1};$ または代わりに両辺に $Q -1$ を掛ける、 $Q^{-1}AQ=\varLambda .$ $したがって、行列A は$ 、その固有ベクトルからなる行列、対角線上に固有値を持つ対角行列、および固有ベクトル行列の逆行列に分解できます。これは固有値分解と呼ばれ、相似変換です。このような行列 $A は$ 、対角行列 $Λと$ 相似である、または対角化可能であると言われます。行列 $Q$ は、相似変換の基底変換行列です。本質的に、行列 $A$ と $Λ は、 2 つの異なる基底で表現された同じ線形変換を表しています。固有ベクトルは、線形変換を$ $Λ$ として表現する際に基底として使用されます。

逆に、行列 $A$ が対角化可能であると仮定します。P $を、$ $P -1 AP$ が何らかの対角行列 $D$ となるような非特異正方行列とします。両方に $Pを左から掛けると$ $AP = PD$ となります。したがって、 $P$ の各列は、その固有値が $D$ の対応する対角要素である $A$ の固有ベクトルでなければなりません。P $が可逆であるためには、P$ $の$ 列が線形独立でなければならないので、 $Aには$ $n$ 個の線形独立な固有ベクトルが存在します。

結論として、の固有ベクトルは $A$ 基礎を形成する $\mathbb {C} ^{n}$ ⁠の場合に限り⁠ $A$ は対角化可能である。

対角化できない行列は欠陥行列と呼ばれる。欠陥行列の場合、固有ベクトルの概念は一般化固有ベクトルに一般化され、固有値の対角行列はジョルダン標準形に一般化される。代数的に閉じた体上では、任意の行列 $Aはジョルダン標準形を持ち、したがって一般化固有ベクトルの基底と$ 一般化固有空間への分解を持つ。

変分特性

エルミート行列の場合、固有値は変分法によって特徴づけることができます。H の最大の固有値は $、$ 二次形式 $x T H x / x T x$ の最大値です。この最大値を実現する $x$ の値は固有ベクトルです。

行列の例

2次元行列の例

変換行列 $A = ⎡ ⎣ 2112 ⎤ ⎦$ $変換は、 vλ =1 = [$ $1 -1] T$ に平行なマゼンタベクトルと、vλ =3 = [1 1] T に平行な青ベクトル $の方向を保持$ $します$ 。赤ベクトルはどちらの固有ベクトルにも平行ではないため、変換によって方向が変わります。マゼンタベクトルの長さは変換後も変化しません (固有値が $1であるため)、一方、青ベクトルは元の長さの 3 倍になります (固有値が$ $3$ であるため)。参照: 4 つの象限すべてを表示する拡張バージョン。

行列を考える $A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.$ 右の図は、この変換が平面上の点座標に及ぼす影響を示しています。この変換の固有ベクトル $vは式($ 1 )を満たし、行列 $($ $A$ $-$ $λI$ $)の行列式がゼロになる$ $λ$ の値が固有値です。

$行列式を用いてA$ の特性多項式を求めると、 ${\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=\left|{\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}\\[6pt]&=3-4\lambda +\lambda ^{2}\\[6pt]&=(\lambda -3)(\lambda -1).\end{aligned}}$ 特性多項式をゼロに設定すると、 $λ = 1$ と $λ = 3に根があり、これらは$ $A$ の 2 つの固有値です。

$λ = 1$ の場合、式 ( 2 ) は次のようになります。 ${\begin{aligned}(AI)\mathbf {v} _{\lambda =1}&={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\1v_{1}+1v_{2}&=0\end{aligned}}$ $v 1 = - v 2$ を満たす任意の非ゼロベクトルは、この方程式を満たします。したがって、 $\mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}v_{1}\\-v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}$ $はλ$ $= 1$ に対応する $A$ の固有ベクトルであり、このベクトルの任意のスカラー倍も同様です。

$λ = 3$ の場合、式 ( 2 ) は次のようになる。 ${\begin{aligned}(A-3I)\mathbf {v} _{\lambda =3}&={\begin{bmatrix}-1&{\hphantom {-}}1\\{\hphantom {-}}1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\-1v_{1}+1v_{2}&=0;\\1v_{1}-1v_{2}&=0\end{aligned}}$ $v 1 = v 2$ を満たす任意のゼロでないベクトルは、この方程式を満たします。したがって、 $\mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$ $はλ$ $= 3$ に対応する $A$ の固有ベクトルであり、このベクトルの任意のスカラー倍も同様です。したがって、ベクトル $vλ$ $=$ $1$ と $vλ$ $=3は$ $、$ それぞれ固有値 $λ$ $= 1$ と $λ$ $= 3に対応する$ $A$ の固有ベクトルです。

3次元行列の例

行列を考える $A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}.$ $A$ の特性多項式は ${\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=\left|{\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0\\0&3-\lambda &4\\0&4&9-\lambda \end{vmatrix}},\\[6pt]&=(2-\lambda ){\bigl [}(3-\lambda )(9-\lambda )-16{\bigr ]}=-\lambda ^{3}+14\lambda ^{2}-35\lambda +22.\end{aligned}}$

特性多項式の根は 2、1、11 であり、これらは $A$ の 3 つの固有値です。これらの固有値は、固有ベクトル $[1 0 0] T$ 、 $[0 -2 1] T$ 、および $[0 1 2] T$ 、またはそれらの任意の非ゼロ倍数に対応します。

複素固有値を持つ3次元行列の例

巡回置換行列を考える $A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}.$

この行列はベクトルの座標を1つ上にシフトし、最初の座標を一番下に移動させます。その特性多項式は $1 - λ 3$ であり、その根は ${\begin{aligned}\lambda _{1}&=1\\\lambda _{2}&=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\lambda _{3}&=\lambda _{2}^{*}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{aligned}}$ ここで $iは$ $i$ $2$ $= -1$ の虚数単位である。

実固有値 $λ 1 = 1$ の場合、3 つの非ゼロ要素が等しいベクトルは固有ベクトルです。たとえば、 $A{\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}.$

複素共役な虚数固有値のペアについては、 $\lambda _{2}\lambda _{3}=1,\quad \lambda _{2}^{2}=\lambda _{3},\quad \lambda _{3}^{2}=\lambda _{2}.$ それから $A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{2}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}},$ そして $A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{3}\\\lambda _{2}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{3}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.$

$したがって、 A$ の他の 2 つの固有ベクトルは複素数であり、それぞれ固有値 $λ$ $2$ と $λ$ $3を持つ$ $v λ 2 = [1 λ 2 λ 3] T$ と $v λ 3 = [1 λ 3 λ 2] T$ である。2 つの複素固有ベクトルは複素共役対にも現れる。 $\mathbf {v} _{\lambda _{2}}=\mathbf {v} _{\lambda _{3}}^{*}.$

対角行列の例

主対角線にのみ要素を持つ行列を対角行列と呼びます。対角行列の固有値は、対角要素そのものです。次の行列を考えてみましょう。 $A={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}.$ $A$ の特性多項式は $\det(A-\lambda I)=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),$ $これは、 λ 1 = 1$ 、 $λ 2 = 2$ 、 $λ 3 = 3$ という根を持ちます。これらの根は、 $A$ の対角要素であり、固有値でもあります。

各対角要素は、その対角要素と同じ行に唯一の非ゼロ成分を持つ固有ベクトルに対応します。この例では、固有値は次の固有ベクトルに対応します。 $\mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},$ それぞれ、およびこれらのベクトルのスカラー倍。

三角行列の例

主対角線より上の要素がすべてゼロである行列を下三角行列といい、主対角線より下の要素がすべてゼロである行列を上三角行列といいます。対角行列と同様に、三角行列の固有値は主対角線の要素です。

下三角行列を考えます。 $A={\begin{bmatrix}1&0&0\\1&2&0\\2&3&3\end{bmatrix}}.$

$A$ の特性多項式は $\det(A-\lambda I)=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),$ $これは、 λ 1 = 1$ 、 $λ 2 = 2$ 、 $λ 3 = 3$ という根を持ちます。これらの根は、 $A$ の対角要素であり、固有値でもあります。

これらの固有値は、固有ベクトルに対応します。 $\mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\-1\\{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\-3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},$ それぞれ、およびこれらのベクトルのスカラー倍。

重複固有値を持つ行列の例

前の例と同様に、下三角行列 $A={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&2&0&0\\0&1&3&0\\0&0&1&3\end{bmatrix}},$ 対角要素の積である特性多項式を持ち、 $\det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0&0\\1&2-\lambda &0&0\\0&1&3-\lambda &0\\0&0&1&3-\lambda \end{vmatrix}}=(2-\lambda )^{2}(3-\lambda )^{2}.$

この多項式の根、したがって固有値は 2 と 3 です。各固有値の代数的重複度は 2 です。つまり、両方とも二重根です。すべての異なる固有値の代数的重複度の合計は $μ A =$ $4 = n$ であり、n は特性多項式の次数であり、 $A$ の次元です。

一方、固有値 2 の幾何学的重複度は 1 です。これは、その固有空間が $[0 1 -1 1] T$ という 1 つのベクトルのみで張られ、したがって 1 次元であるためです。同様に、固有値 3 の幾何学的重複度も 1 です。これは、その固有空間が $[0 0 0 1] T$ という 1 つのベクトルのみで張られるためです。全体の幾何学的重複度 $γ A$ は 2 であり、これは 2 つの異なる固有値を持つ行列に対して取り得る最小値です。幾何学的重複度については、後のセクションで定義します。

固有ベクトルと固有値の恒等式

エルミート行列 $A$ の場合、正規化された固有ベクトルの $α$ 番目の成分のノルムの二乗は、行列の固有値と対応する小行列の固有値のみを使用して計算できます。 $|v_{i\alpha }|^{2}={\frac {\prod _{k}{(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A_{\alpha }))}}{\prod _{k\neq i}{(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A))}}},$ どこで $A_{\alpha }$ は、元の行列から $α$ 番目の行と列を削除して形成される部分行列です^{。 [}³³^]^[³⁴^]この恒等式は対角化可能な行列にも拡張されます。これは^[³⁵^]で発見され、文献で何度も再発見されています (例えば、^[³⁴^]^[³⁶^]を参照)。

微分作用素の固有値と固有関数

$線形変換T$ の固有値と固有ベクトルの定義は、基となるベクトル空間が無限次元ヒルベルト空間またはバナッハ空間であっても有効である。無限次元空間に作用する線形変換の広く用いられているクラスは、関数空間上の微分作用素である。空間上の線形微分作用素を $Dとする。$ $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ 実引数 $tの$ 無限回微分可能な実関数の。D の固有値方程式は微分方程式である $。$ $Df(t)=\lambda f(t)$ この方程式を満たす関数は $D$ の固有ベクトルであり、一般に「固有関数」と呼ばれます。

微分演算子の例

微分演算子を考える ${\tfrac {d}{dt}}$ 固有値方程式を用いて ${\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).$ この微分方程式は、両辺に $dt / f (t)$ を掛けて積分することで解くことができます。その解は指数関数です。 $f(t)=f(0)e^{\lambda t},$ は微分演算子の固有関数です。この場合、固有関数自体が対応する固有値の関数となります。特に、 $λ = 0$ の場合、固有関数 $f (t)$ は定数です。

一般的な定義

固有値と固有ベクトルの概念は、任意のベクトル空間上の任意の線形変換に自然に拡張されます。V $を$ スカラーの体 $K$ 上の任意のベクトル空間とし、 $T を$ $V$ から $V$ への線形変換とします。 $T\colon V\to V.$

非ゼロベクトル $v \in V$ $がT$ の「固有ベクトル」であるとは、スカラー $λ$ $\in$ $K$ が存在して、

$この方程式はT$ の固有値方程式と呼ばれ、スカラー $λ$ は固有ベクトル $v$ $に対応するT$ の固有値です。T $($ $v$ $)$ $は$ ベクトル $v$ $に変換T$ を適用した結果であり、 $λ$ $v は$ $スカラーλ$ と $v$ の積です。^[³⁷^]^[³⁸^]

固有空間、幾何学的重複度、および固有基底

固有値 $λ$ が与えられたとき、集合を考える。 $E=\left\{\mathbf {v} :T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} \right\},$ $これは、ゼロベクトルとλ$ に関連付けられたすべての固有ベクトルの集合との和集合です。E $は、$ $λ$ に関連付けられた $Tの「$ 固有空間」または「特性空間」と呼ばれます。^[³⁹^] $これは、線形変換T$ $-$ $λI$ の核です。

線形変換の定義により、 ${\begin{aligned}T(\mathbf {x} +\mathbf {y} )&=T(\mathbf {x} )+T(\mathbf {y} ),\\T(\alpha \mathbf {x} )&=\alpha T(\mathbf {x} ),\end{aligned}}$ $x 、 y \in V$ および $α \in K$ の場合。したがって、 $u$ と $v が$ 固有値 $λに関連付けられた$ $T$ の固有ベクトル、すなわち $u$ $、$ $v$ $\in$ $E$ である場合、 ${\begin{aligned}T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )&=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} ),\\T(\alpha \mathbf {v} )&=\lambda (\alpha \mathbf {v} ).\end{aligned}}$ したがって、 $u + v$ と $α v$ はどちらもゼロまたは $λ$ に関連付けられた $T$ の固有ベクトルであり、すなわち $u$ $+$ $v$ 、 $α$ $v$ $\in$ $E$ であり、 $E は加算とスカラー乗算に関して閉じている。したがって、$ $λ$ に関連付けられた固有空間 $Eは$ $V$ の線形部分空間である。^[⁴⁰^]その部分空間の次元が 1 の場合、それは「固有線」と呼ばれることがある。^[⁴¹^]

固有値 $λ$ の「幾何学的重複度」 $γ T (λ)は、$ $λ$ に関連付けられた固有空間の次元、すなわち、その固有値に関連付けられた線形独立な固有ベクトルの最大数です。^[⁴²^]固有値と固有ベクトルの定義により、すべての固有値には少なくとも 1 つの固有ベクトルがあるため、 $γ$ $T$ $($ $λ$ $) \geq 1 となります。$

$T$ の固有空間は常に直和を形成します。その結果、異なる固有値を持つ固有ベクトルは常に線形独立です。したがって、固有空間の次元の合計は、 $T が$ 作用するベクトル空間の次元 $nを超えることはできず、異なる固有値は$ $n$ 個を超えることはありません。^[^d^]

$T$ の固有ベクトルによって張られる任意の部分空間は、 $T$ の不変部分空間であり、そのような部分空間への $T$ の制限は対角化可能である。さらに、ベクトル空間 $V全体が$ $T$ の固有ベクトルによって張られる場合、あるいは同等に、 $T$ のすべての固有値に関連付けられた固有空間の直和がベクトル空間 $V$ 全体である場合、 $T$ の線形独立な固有ベクトルから「固有基底 $」と呼ばれるV$ の基底を形成することができる。T $が$ 固有基底を持つ場合、 $T$ は対角化可能である。

スペクトル理論

$λが$ $T$ の固有値である場合、演算子 $(T - λI)$ は単射ではないため、その逆演算子 $(T - λI) -1$ $は存在しません。逆は有限次元ベクトル空間では成り立ちますが、無限次元ベクトル空間では成り立ちません。一般に、 λ$ が固有値でない場合でも、演算子 $(T - λI)$ は逆演算子を持たない場合があります。

このため、関数解析においては、固有値は線形演算子 $T$ のスペクトルに一般化することができ、それは演算子 $($ $T$ $-$ $λI$ $)が$ 有界な逆演算子を持たないすべてのスカラー $λ$ の集合として定義されます。演算子のスペクトルは常にそのすべての固有値を含みますが、それらに限定されるわけではありません。

結合代数と表現論

ベクトル空間に作用する代数的対象を一般化することができ、ベクトル空間に作用する単一の演算子を代数表現、すなわち加群に作用する結合代数に置き換えることができる。このような作用の研究は表現論の分野である。

表現論における重みの概念は固有値の類似物であり、重みベクトルと重み空間はそれぞれ固有ベクトルと固有空間の類似物である。

ヘッケ固有層はそれ自身のテンソル倍数であり、ラングランズ対応において考慮される。

動的方程式

最も単純な差分方程式は次の形式をとる。 $x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{tk}.$ $この方程式のx$ に関する $t$ の解は、その特性方程式を用いて求められる。 $\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0,$ これは、上記の差分方程式と $k - 1 個$ の方程式 $x t -1 = x t -1$ 、 ...、 $x t - k +1 = x t - k +1$ からなる方程式セットを行列形式に積み重ねることで得られます。これにより、積み重ねられた変数ベクトル $[$ $x$ $t$ $\cdot\cdot\cdot$ $x$ $t$ $-$ $k$ $+1$ $]$ $の 1 次ラグ値に関するk 次元の 1$ 次システムが得られ、このシステムの行列の特性方程式を取ることができます。この方程式は、解方程式で使用する $k 個の$ 特性根 $λ$ $1$ $、 ... 、$ $λ$ $k$ を与えます。 $x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.$

同様の手順は、次の形式の微分方程式を解くためにも使用されます。 ${\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.$

計算

固有値と固有ベクトルの計算は、初等線形代数の教科書で説明されている理論と実際の作業との間に大きな隔たりがある分野である。

古典的な方法

古典的な方法は、まず固有値を求め、次に各固有値に対応する固有ベクトルを計算するというものです。しかし、浮動小数点演算のような厳密でない演算には、いくつかの点で適していません。

固有値

行列 $A$ の固有値は、特性多項式の根を求めることで決定できます。これは2×2行列の場合は簡単ですが、行列のサイズが大きくなるにつれて難易度が急激に上昇します。

理論的には、特性多項式の係数は行列要素の積の和であるため、正確に計算できます。また、任意の次数の多項式のすべての根を必要な精度で求めることができるアルゴリズムも存在します。^{[ 43 ]}しかし、係数は避けられない丸め誤差によって汚染され、多項式の根は係数の非常に敏感な関数となる可能性があるため（ウィルキンソンの多項式がその例です）、このアプローチは実際には実行可能ではありません。^{[ 43 ]}要素が整数である行列であっても、和が非常に長くなるため、計算は自明ではなくなります。定数項は行列式であり、 $n$ × $n$ $行列の場合はn!$ 個の異なる積の和になります。^{[ e ]}

多項式の根を求めるための明示的な代数式は、次数 $n$ が 4 以下の場合にのみ存在します。アーベル・ルフィニの定理によれば、次数 5 以上の多項式の根を求めるための一般的で明示的かつ正確な代数式は存在しません。（次数 $n$ の多項式は、次数 $nの何らかの$ 付随行列の特性多項式であるため、一般性が重要です。）したがって、次数 5 以上の行列の場合、固有値と固有ベクトルは明示的な代数式では得られず、近似的な数値計算法によって求める必要があります。次数 3 の多項式の根を求めるための正確な式でさえ、数値的に実用的ではありません。

固有ベクトル

固有値の（正確な）値がわかれば、対応する固有ベクトルは、既知の係数を持つ線形方程式系となる固有値方程式の非ゼロ解を求めることで見つけることができます。例えば、6が行列の固有値であることがわかれば、 $A={\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}$ 方程式 $Av = 6 v$ を解くことでその固有ベクトルを求めることができます。 ${\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=6\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ この行列方程式は、2つの線形方程式と等価である。 $\left\{{\begin{aligned}4x+{\hphantom {3}}y&=6x\\6x+3y&=6y\end{aligned}}\right.$ つまり、 $\left\{{\begin{aligned}-2x+{\hphantom {3}}y&=0\\6x-3y&=0\end{aligned}}\right.$

どちらの式も単一の線形方程式 $y = 2 x$ に帰着します。したがって、任意のゼロでない実数 $aに対して$ $[a 2 a] T$ の形の任意のベクトルは、固有値 $λ$ $= 6を持つ$ $A$ の固有ベクトルです。

上記の行列 $A$ には、別の固有値 $λ = 1$ があります。同様の計算により、対応する固有ベクトルは $3 x + y = 0$ の非ゼロ解、つまり、任意の非ゼロ実数 $bに対して$ $[b -3 b] T$ の形の任意のベクトルであることがわかります。

単純な反復法

逆のアプローチ、つまり最初に固有ベクトルを求め、次にその固有ベクトルから各固有値を決定する方法は、コンピュータにとってずっと扱いやすいことがわかります。ここで最も簡単なアルゴリズムは、任意の開始ベクトルを選択し、それを行列に繰り返し乗算することです（必要に応じて、ベクトルの要素のサイズを適切な大きさに保つために正規化します）。これにより、ベクトルは固有ベクトルに収束します。別の方法として、ベクトルに $(A - μI) -1$ を乗算する方法があります。これにより、ベクトルは、に最も近い固有値の固有ベクトルに収束します。 $\mu \in \mathbb {C}$ 。

$v$ $がA$ の固有ベクトル（の近似値）である場合、対応する固有値は次のように計算できます。 $\lambda ={\frac {\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} }{\mathbf {v} ^{*}\mathbf {v} }}$ ここで、 $v * は$ $v$ の共役転置を表す。

現代的な方法

任意の行列の固有値と固有ベクトルを効率的かつ正確に計算する方法は、 1961 年にQR アルゴリズムが設計されるまで知られていませんでした。 ^{[ 43 ]}ハウスホルダー変換と LU 分解を組み合わせると、QR アルゴリズムよりも収束性の高いアルゴリズムが得られます。大きなエルミート疎行列の場合、ランチョスアルゴリズムは、他のいくつかの可能性の中でも、固有値と固有ベクトルを計算する効率的な反復法の 1 つです。^[⁴³^]

行列の固有値を計算するほとんどの数値計算法は、計算の副産物として対応する固有ベクトルのセットも決定しますが、実装者によっては、固有ベクトル情報が不要になった時点で破棄することを選択する場合もあります。

アプリケーション

幾何学的変換

固有ベクトルと固有値は、幾何学的形状の線形変換を理解する上で役立ちます。以下の表は、平面におけるいくつかの変換例と、それに対応する2×2行列、固有値、および固有ベクトルを示しています。

回転の特性方程式は判別式 $D$ $= -4(sin$ $θ$ $)$ $2 の$ 二次方程式であり、 $θ が$ $π$ (180°)の整数倍でない場合は常に負の数になります。したがって、これらの特殊な場合を除いて、2 つの固有値は複素数 $cos$ $θ$ $\pm$ $i$ $sin$ $θ$ となり、すべての固有ベクトルは非実数になります。実際、これらの特殊な場合を除いて、回転は平面内のすべての非ゼロベクトルの方向を変えます。

正方形を同じ面積の長方形に変換する線形変換（スクイーズ写像）は、逆数の固有値を持つ。

主成分分析

対称正半定値行列(PSD)の固有値分解は、それぞれが非負の固有値を持つ固有ベクトルの直交基底を生成します。PSD 行列の直交分解は、標本共分散行列がPSD である多変量解析で使用されます。この直交分解は、統計学では主成分分析(PCA)と呼ばれます。PCA は、変数間の線形関係を調べます。PCA は、共分散行列または相関行列(各変数の標本分散が 1 に等しくなるようにスケーリングされている)に対して実行されます。共分散行列または相関行列の場合、固有ベクトルは主成分に対応し、固有値は主成分によって説明される分散に対応します。相関行列の主成分分析は、観測データの空間の直交基底を提供します。この基底では、最大の固有値は、多数の観測データ間の共変動の大部分に関連付けられている主成分に対応します。

主成分分析は、バイオインフォマティクスなどで見られるような大規模データセットの研究において、次元削減の手段として用いられます。Qメソッドでは、相関行列の固有値によって、Qメソッド実践者の実質的な意義の判断が決定されます（これは仮説検定の統計的有意性とは異なります。因子の数を決定するための基準を参照してください）。より一般的には、主成分分析は構造方程式モデリングにおける因子分析の手法として用いることができます。

グラフ

スペクトルグラフ理論では、グラフの固有値は、グラフの隣接行列 $A$ の固有値、または（ますます）離散ラプラス演算子によるグラフのラプラシアン行列の固有値として定義されます。これは、 $D$ $-$ $A$ （組み合わせラプラシアンと呼ばれることもあります）または $I$ $-$ $D$ $-1/2$ $AD$ $-1/2$ （正規化ラプラシアンと呼ばれることもあります）のいずれかです。ここで、 $D$ は対角行列であり、 $D$ $ii$ $は頂点v$ $i$ の次数に等しく、 $D$ $-1/2$ では $i$ 番目の対角成分は ${\textstyle 1/{\sqrt {\deg(v_{i})}}}$ $グラフのk$ 番目の主固有ベクトルは、ラプラシアンの $k$ 番目に大きい固有値または $k$ 番目に小さい固有値に対応する固有ベクトルとして定義されます。グラフの最初の主固有ベクトルは、単に主固有ベクトルとも呼ばれます。

主固有ベクトルは、頂点の中心性を測定するために使用されます。例として、 GoogleのPageRankアルゴリズムがあります。ワールドワイドウェブグラフの修正隣接行列の主固有ベクトルは、ページランクを成分として与えます。このベクトルは、行正規化された隣接行列で表されるマルコフ連鎖の定常分布に対応しますが、定常分布が存在することを保証するために、隣接行列を最初に修正する必要があります。2 番目に小さい固有ベクトルは、スペクトルクラスタリングによってグラフをクラスターに分割するために使用できます。クラスタリングには、他の方法も利用可能です。

マルコフ連鎖

マルコフ連鎖は、システムの各状態間の遷移確率を要素とする行列で表されます。特に、要素は非負であり、行列の各行の合計は1になります。これは、システムのある状態から別の状態への遷移確率の合計です。ペロン・フロベニウスの定理は、マルコフ連鎖が唯一の支配的な固有値を持つための十分条件を示しており、この固有値はシステムの定常状態への収束を決定づけます。

振動解析

固有値問題は、自由度の多い機械構造の振動解析において自然に発生する。固有値は振動の固有振動数（または「固有周波数」）であり、固有ベクトルはこれらの振動モードの形状である。特に、減衰のない振動は、 $m{\ddot {x}}+kx=0$ または $m{\ddot {x}}=-kx$

つまり、加速度は位置に比例する（すなわち、 $xは$ 時間的に正弦波状になると予想される）。

$n$ 次元の場合、 $mは$ 質量行列、 $kは$ 剛性行列となる。許容解は、一般化固有値問題の解の線形結合となる。 $kx=\omega ^{2}mx$ ここで $、ω 2$ は固有値、 $ω$ は（虚数）角周波数です。主振動モードは、 $k$ のみの固有ベクトルである主コンプライアンスモードとは異なります。さらに、減衰振動は、によって支配されます。 $m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0$ いわゆる二次固有値問題につながる。 $\left(\omega ^{2}m+\omega c+k\right)x=0.$ これは、より大きなシステムを解くという代償を伴うものの、代数的な操作によって一般化された固有値問題に還元することができる。

固有ベクトルの直交性により微分方程式を分離できるため、システムを固有ベクトルの線形和として表現できます。複雑な構造の固有値問題は有限要素解析を用いて解かれることが多いですが、この解法をスカラー値の振動問題にきれいに一般化することができます。

慣性モーメントテンソル

力学において、慣性モーメントテンソルの固有ベクトルは、剛体の主軸を定義します。慣性モーメントテンソルは、剛体の重心周りの回転を決定するために必要な重要な量です。

応力テンソル

固体力学において、応力テンソルは対称であるため、対角成分に固有値、基底に固有ベクトルを持つ対角テンソルに分解できます。対角化されているため、この向きでは応力テンソルにはせん断成分は存在せず、存在する成分は主成分となります。

シュレーディンガー方程式

水素原子内の電子の束縛状態に関連する波動関数は、水素原子ハミルトニアンおよび角運動量演算子の固有ベクトルと見なすことができます。これらは、エネルギー（下方へ増加： $n$ $= 1、2、3、\dots$ ）および角運動量（横方向へ増加： s、p、d、…）として解釈される固有値に関連付けられています。図は、波動関数の絶対値の二乗を示しています。明るい領域は、位置測定の確率密度が高いことを示しています。各図の中心は、原子核、すなわち陽子です。

変換 $Tが微分演算子で表される固有値方程式の例として、$ 量子力学における時間独立シュレーディンガー方程式が挙げられる。 $H\psi _{E}=E\psi _{E}$ ここで、ハミルトニアン $H$ は 2 階微分演算子であり、波動関数 $ψ E$ は固有値 $E$ に対応する固有関数の 1 つであり、そのエネルギーとして解釈されます。

しかし、シュレーディンガー方程式の束縛状態解のみに関心がある場合は、二乗可積分関数の空間内で $ψ E$ を探します。この空間は明確に定義されたスカラー積を持つヒルベルト空間であるため、 $ψ$ $E$ と $H$ をそれぞれ一次元配列（すなわちベクトル）と行列として表現できる基底セットを導入できます。これにより、シュレーディンガー方程式を行列形式で表現することが可能になります。

この文脈では、ブラケット記法がよく用いられる。二乗可積分関数のヒルベルト空間における、システムの諸状態を表すベクトルは、 $| ΨE⟩で表される。この記法では、シュレーディンガー方程式は次の$ ようになる。 $H|\Psi _{E}\rangle =E|\Psi _{E}\rangle$ ここで $、$ $| ΨE⟩ は$ $H$ の「固有状態」であり、 $Eは$ 固有値を表します。H $は$ 観測可能な自己共役演算子であり、エルミート行列の無限次元版です。上記の式では、行列の場合と同様に、 $H|ΨE⟩は$ $|$ $ΨE⟩$ $に$ $変換$ $H$ $を$ 適用して得られるベクトルとして理解 $さ$ $れ$ ます $。$

波動輸送

光、音波、マイクロ波は、静的な無秩序なシステムを通過する際に何度もランダムに散乱されます。多重散乱によって波が繰り返しランダム化されるにもかかわらず、最終的にシステムを通過するコヒーレントな波の伝送は、場の伝送行列 $t$ で記述できる決定論的なプロセスです。^[⁴⁴^]^[⁴⁵^]伝送演算子 $t$ $†$ $t$ の固有ベクトルは、波が無秩序なシステムの固有チャネル（波がシステムを通過することができる独立した経路）に結合することを可能にする、無秩序固有の入力波面のセットを形成します。t † t の固有値 $τ$ $は$ 、 $各固有チャネルに関連付けられた強度透過率に対応します。拡散システムの伝送演算子の注目すべき特性の 1 つは$ $、$ $τ$ $max$ $= 1$ および $τ$ $min$ $= 0$ の二峰性固有値分布です。^[⁴⁵^]さらに、完全な透過率に加えて、開いた固有チャネルの顕著な特性の1つは、固有チャネルの統計的に頑健な空間プロファイルです。^[⁴⁶^]

分子軌道

量子力学、特に原子・分子物理学では、ハートリー・フォック理論において、原子軌道と分子軌道はフォック演算子の固有ベクトルによって定義されます。対応する固有値は、クープマンスの定理によってイオン化ポテンシャルとして解釈されます。この場合、フォック演算子は軌道とその固有値に明示的に依存するため、固有ベクトルという用語はやや一般的な意味で使用されます。したがって、この側面を強調したい場合は、非線形固有値問題と呼ばれます。このような方程式は通常、反復手順によって解かれ、この場合は自己無撞着場法と呼ばれます。量子化学では、ハートリー・フォック方程式を非直交基底セットで表現することがよくあります。この特定の表現は、ルーサーン方程式と呼ばれる一般化された固有値問題です。

地質学と氷河学

地質学、特に氷河堆積物の研究では、固有ベクトルと固有値は、砕屑物の組織に関する膨大な情報を6つの数値で3次元空間に要約する方法として使用されます。野外では、地質学者は土壌サンプル中の数百または数千の砕屑物についてこのようなデータを収集し、それをグラフィカルまたは立体投影として比較することができます。グラフィカルには、多くの地質学者がトライプロット（スニードとフォーク）図を使用します。^{[ 47 ]}^{[ 48 ]}立体投影は、3次元空間を2次元平面に投影します。立体投影の一種にウルフネットがあり、これは結晶学でステレオグラムを作成するためによく使用されます。^{[ 49 ]}

方位テンソルの出力は、空間の 3 つの直交 (垂直) 軸にあります。 3 つの固有ベクトルは、固有値 $E$ $1$ $\geq$ $E$ $2$ $\geq$ $E$ $3によって$ $v 1$ 、 $v 2$ 、 $v 3 の$ 順に並べられます。^[⁵⁰^] $強度の観点から、 v$ $1$ は砕屑物の一次方位/傾斜、 $v$ $2$ は二次、 $v$ $3$ は三次です。砕屑物の方位は、 360°のコンパスローズ上の固有ベクトルの方向として定義されます。傾斜は、テンソルの絶対値である固有値として測定されます。これは 0° (傾斜なし) から 90° (垂直) までの値をとります。E 1 、E 2 、および E 3 の相対値は、 $堆積物の構造の性質によって決まります。E 1 = E 2$ $=$ E $3$ $の$ 場合 $、$ $構造$ $は$ 等 $方$ $性$ $で$ $ある$ $と$ $言わ$ $れ$ ます。 $E$ $1$ $=$ $E$ $2$ $>$ $E$ $3$ の場合、布地は平面であると言われます。E 1 > E 2 > E 3 の場合 $、$ $布地$ $は$ $線$ $状$ $で$ $ある$ $と$ 言われます。^[⁵¹^]

基本再生産数

基本再生産数 ( $R 0$ ) は、感染症の蔓延を研究する上で基本的な数値です。感染者が完全に感受性のある人々の集団に1人いる場合、 $R 0$ は典型的な感染者1人が平均して何人に感染させるかを示します。感染の世代時間とは、1人が感染してから次の人が感染するまでの時間 $t G$ です。異質な集団では、次世代行列によって、時間 $t Gが経過した後に集団内で何人が感染するかが定義されます。R$ $0$ $の$ 値は、次世代行列の最大固有値です。^{[ 52 ]}^{[ 53 ]}

固有顔

画像処理では、処理された顔画像は、各ピクセルの明るさを成分とするベクトルとして見なすことができます。^[⁵⁴^]このベクトル空間の次元はピクセル数です。正規化された顔画像の大きなセットに関連付けられた共分散行列の固有ベクトルは固有顔と呼ばれ、これは主成分分析の一例です。これらは、任意の顔画像をそれらの線形結合として表現するのに非常に役立ちます。生体認証の顔認識分野では、固有顔は識別目的で顔にデータ圧縮を適用する手段を提供します。手のジェスチャーを決定する固有ビジョンシステムに関連する研究も行われています。

この概念と同様に、固有音声は、ある言語の単語など、特定の音声表現における人間の発音の変動の一般的な方向性を表します。このような固有音声の線形結合に基づいて、その単語の新しい音声発音を構築することができます。これらの概念は、話者適応のための自動音声認識システムにおいて有用であることがわかっています。

注記

↑
注：
- 1751 年、レオンハルトオイラーは、あらゆる物体には回転主軸があることを証明しました。レオンハルトオイラー (発表: 1751 年 10 月、出版: 1760 年) 「Du mouvement d'un corps Solide quelconque lorsqu'il toourne autour d'un ax mobile」 (移動軸の周りを回転する固体の動きについて)、Histoire de l'Académie Royaleベルリンの科学とベルの手紙、176–227ページ。 p. 212、オイラーは、あらゆる物体には回転主軸が含まれていることを証明します。「Theoreme 44. De quelque Figure que soit le corps, on y peut toujours assigner un tel axe, qui passe par Son center de gravité, autour duquel le corps peut tourner librement & d'un mouvement uniquee」。 (定理 44。物体の形状が何であれ、人は常にその重心を通過するような軸をそれに割り当てることができ、その周りを自由に均一な動きで回転できます。)
- 1755年、ヨハン・アンドレアス・ゼグナーは、あらゆる物体には3つの主回転軸があることを証明しました。ヨハン・アンドレアス・ゼグナー著『 Specimen theoriae turbinum』（コマの理論に関するエッセイ）（ハレ（ドイツ）：ゲバウアー、1755年）。（https://books.google.com/books?id=29 p. xxviiii [29]）ゼグナーは、3次方程式を導出しています。 $t$ ⁠、これは物体が3つの主回転軸を持つことを証明しています。そして彼は（同じページで）次のように述べています。「しかし、平面HMに3つの位置が存在することは矛盾ではありません。なぜなら、3次方程式では根が3つあり、接線tの値も3つあるからです。」
- ゼグナーの著作の該当箇所については、アーサー・ケイリーが簡潔に論じている。参照：A. ケイリー (1862)「動力学の特定の特殊問題の解決の進捗に関する報告」、1862 年 10 月にケンブリッジで開催された英国科学振興協会の第 32 回会議の報告、32 : 184–252。特に225–226 ページを参照。
↑ Kline 1972、pp. 807–808 Augustin Cauchy (1839) "Mémoire sur l'intégration des équations linéaires" (線形方程式の積分に関する回想録)、 Comptes rendus、 8 : 827–830、845–865、889–907、931–937。 p. より827: 「ラグランジュの方法については、変数の原則を遵守して、変数の原則を考慮して確実に評価する必要があります。十分な精度を持って、適切な調整を行うことができます。」（さらに、ラグランジュの方法に従うと、主変数の一般値に対して、主変数とともに、私が「特性方程式」と呼ぶある方程式の根が現れる関数が得られることがわかっている。この方程式の次数は、積分すべき微分方程式の次数と正確に一致する。）
↑
参照：
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- 固有値、特性値などの用語の起源と発展については、「数学用語の最も古い使用例（E）」を参照してください。
↑この補題の証明については、 Roman 2008、p. 186、定理 8.2、 Shilov 1977、p. 109、 Hefferon 2001、p. 364、およびBeezer 2006、p. 469、定理 EDELI を参照してください。
↑ $n$ 項に切り捨てられた形式的冪級数に対してガウス消去法を行うことで、 $O($ $n$ $4$ $)$ の演算で済ませることが可能ですが、これは組み合わせ爆発を考慮していません。

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さらに読む

Golub, Gene H. ; van der Vorst, Henk A. (2000)、「20世紀の固有値計算」（PDF）、Journal of Computational and Applied Mathematics、123（1–2）：35–65、doi：10.1016/S0377-0427(00)00413-1、hdl：1874/2663
Hill, Roger (2009). "λ – 固有値" . Sixty Symbols . Brady Haran for the University of Nottingham .
クットラー、ケネス（2017）「線形代数入門」（PDF）、ブリガムヤング大学、2023年12月17日にオリジナル（PDF）からアーカイブ、 2023年11月26日取得
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ストラング、ギルバート（2006）『線形代数とその応用』ベルモント、カリフォルニア州：トムソン、ブルックス/コール、ISBN 978-0-03-010567-8

外部リンク

Wikiversityは、入門物理学を用いて固有値と固有ベクトルを紹介する。
固有値とは？ – PhysLink.comの「専門家に聞く」コーナーからの非専門的な解説
固有値と固有ベクトルの数値例– Revoledu によるチュートリアルとインタラクティブプログラム。
固有ベクトルと固有値入門– カーンアカデミーの講義
固有ベクトルと固有値｜線形代数のエッセンス、第10章– 3Blue1Brownによる視覚的な解説
Symbolab の行列固有ベクトル計算機(2×12 グリッドの右下のボタンをクリックして行列のサイズを選択します。 $n\times n$ サイズ（正方行列の場合）を選択し、各項目に数値を入力して「Go」ボタンをクリックします。（複素数も入力可能です。）

理論

固有値の計算
固有値問題の数値解法Zhaojun Bai、 James Demmel、Jack Dongarra、Axel Ruhe、Henk van der Vorst編集

[10] 注：
1751 年、レオンハルトオイラーは、あらゆる物体には回転主軸があることを証明しました。レオンハルトオイラー (発表: 1751 年 10 月、出版: 1760 年) 「Du mouvement d'un corps Solide quelconque lorsqu'il toourne autour d'un ax mobile」 (移動軸の周りを回転する固体の動きについて)、Histoire de l'Académie Royaleベルリンの科学とベルの手紙、176–227ページ。 p. 212、オイラーは、あらゆる物体には回転主軸が含まれていることを証明します。「Theoreme 44. De quelque Figure que soit le corps, on y peut toujours assigner un tel axe, qui passe par Son center de gravité, autour duquel le corps peut tourner librement & d'un mouvement uniquee」。 (定理 44。物体の形状が何であれ、人は常にその重心を通過するような軸をそれに割り当てることができ、その周りを自由に均一な動きで回転できます。)
1755年、ヨハン・アンドレアス・ゼグナーは、あらゆる物体には3つの主回転軸があることを証明しました。ヨハン・アンドレアス・ゼグナー著『 Specimen theoriae turbinum』（コマの理論に関するエッセイ）（ハレ（ドイツ）：ゲバウアー、1755年）。（https://books.google.com/books?id=29 p. xxviiii [29]）ゼグナーは、3次方程式を導出しています。 $t$ ⁠、これは物体が3つの主回転軸を持つことを証明しています。そして彼は（同じページで）次のように述べています。「しかし、平面HMに3つの位置が存在することは矛盾ではありません。なぜなら、3次方程式では根が3つあり、接線tの値も3つあるからです。」
ゼグナーの著作の該当箇所については、アーサー・ケイリーが簡潔に論じている。参照：A. ケイリー (1862)「動力学の特定の特殊問題の解決の進捗に関する報告」、1862 年 10 月にケンブリッジで開催された英国科学振興協会の第 32 回会議の報告、32 : 184–252。特に225–226 ページを参照。

[mwBxc] 1751 年、レオンハルトオイラーは、あらゆる物体には回転主軸があることを証明しました。レオンハルトオイラー (発表: 1751 年 10 月、出版: 1760 年) 「Du mouvement d'un corps Solide quelconque lorsqu'il toourne autour d'un ax mobile」 (移動軸の周りを回転する固体の動きについて)、Histoire de l'Académie Royaleベルリンの科学とベルの手紙、176–227ページ。 p. 212、オイラーは、あらゆる物体には回転主軸が含まれていることを証明します。「Theoreme 44. De quelque Figure que soit le corps, on y peut toujours assigner un tel axe, qui passe par Son center de gravité, autour duquel le corps peut tourner librement & d'un mouvement uniquee」。 (定理 44。物体の形状が何であれ、人は常にその重心を通過するような軸をそれに割り当てることができ、その周りを自由に均一な動きで回転できます。)

[mwBxw] 1755年、ヨハン・アンドレアス・ゼグナーは、あらゆる物体には3つの主回転軸があることを証明しました。ヨハン・アンドレアス・ゼグナー著『 Specimen theoriae turbinum』（コマの理論に関するエッセイ）（ハレ（ドイツ）：ゲバウアー、1755年）。（https://books.google.com/books?id=29 p. xxviiii [29]）ゼグナーは、3次方程式を導出しています。 $t$ ⁠、これは物体が3つの主回転軸を持つことを証明しています。そして彼は（同じページで）次のように述べています。「しかし、平面HMに3つの位置が存在することは矛盾ではありません。なぜなら、3次方程式では根が3つあり、接線tの値も3つあるからです。」

[mwBy0] ゼグナーの著作の該当箇所については、アーサー・ケイリーが簡潔に論じている。参照：A. ケイリー (1862)「動力学の特定の特殊問題の解決の進捗に関する報告」、1862 年 10 月にケンブリッジで開催された英国科学振興協会の第 32 回会議の報告、32 : 184–252。特に225–226 ページを参照。

[13] Kline 1972、pp. 807–808 Augustin Cauchy (1839) "Mémoire sur l'intégration des équations linéaires" (線形方程式の積分に関する回想録)、 Comptes rendus、 8 : 827–830、845–865、889–907、931–937。 p. より827: 「ラグランジュの方法については、変数の原則を遵守して、変数の原則を考慮して確実に評価する必要があります。十分な精度を持って、適切な調整を行うことができます。」（さらに、ラグランジュの方法に従うと、主変数の一般値に対して、主変数とともに、私が「特性方程式」と呼ぶある方程式の根が現れる関数が得られることがわかっている。この方程式の次数は、積分すべき微分方程式の次数と正確に一致する。）

[19] 参照：
David Hilbert (1904) 「Grundzüge einer allgemeinen Theorie der lineen Integralgleichungen. (Erste Mittailung)」 (線形積分方程式の一般理論の基礎。(第 1 報))、Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、数学物理学Klasse (ゲッティンゲン哲学協会ニュース、数学物理セクション)、49 ～ 91 ページ。p. より51: 「Insbesondere in Dieser ersten Mitpeilung gelange ich zu Formeln, die die Entwickelung einer willkürlichen Funktion nach gewissen ausgezeichneten Funktionen, die ich 'Eigenfunktionen' nenne, liefern: ...」 (特に、この最初のレポートでは、私が固有関数と呼んでいるいくつかの特徴的な関数に関する任意の関数: ...) 同じページの後半で、「Dieser Erfolg ist wesentlich durch den Umstand bedingt, daß ich nicht, wie es bisher geschah, in erster Linie auf den Beweis für die Existenz der Eigenwerte ausgehe, ...」 (これは成功は主に私がそうしないことに起因します。これまで起こったことは、まず固有値の存在証明を目指すことだった…）
固有値、特性値などの用語の起源と発展については、「数学用語の最も古い使用例（E）」を参照してください。

[mwBz8] David Hilbert (1904) 「Grundzüge einer allgemeinen Theorie der lineen Integralgleichungen. (Erste Mittailung)」 (線形積分方程式の一般理論の基礎。(第 1 報))、Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、数学物理学Klasse (ゲッティンゲン哲学協会ニュース、数学物理セクション)、49 ～ 91 ページ。p. より51: 「Insbesondere in Dieser ersten Mitpeilung gelange ich zu Formeln, die die Entwickelung einer willkürlichen Funktion nach gewissen ausgezeichneten Funktionen, die ich 'Eigenfunktionen' nenne, liefern: ...」 (特に、この最初のレポートでは、私が固有関数と呼んでいるいくつかの特徴的な関数に関する任意の関数: ...) 同じページの後半で、「Dieser Erfolg ist wesentlich durch den Umstand bedingt, daß ich nicht, wie es bisher geschah, in erster Linie auf den Beweis für die Existenz der Eigenwerte ausgehe, ...」 (これは成功は主に私がそうしないことに起因します。これまで起こったことは、まず固有値の存在証明を目指すことだった…）

[mwB0o] 固有値、特性値などの用語の起源と発展については、「数学用語の最も古い使用例（E）」を参照してください。

[46] この補題の証明については、 Roman 2008、p. 186、定理 8.2、 Shilov 1977、p. 109、 Hefferon 2001、p. 364、およびBeezer 2006、p. 469、定理 EDELI を参照してください。

[48] $n$ 項に切り捨てられた形式的冪級数に対してガウス消去法を行うことで、 $O($ $n$ $4$ $)$ の演算で済ませることが可能ですが、これは組み合わせ爆発を考慮していません。

[FOOTNOTEBurdenFaires1993401-1] Burden & Faires 1993、p. 401.

[2] ストラング、ギルバート。「6：固有値と固有ベクトル」。線形代数入門（PDF）（第5 版）。ウェルズリー・ケンブリッジ出版。

[FOOTNOTEHerstein1964228,_229-3] 1 2ハーシュタイン、1964 年、 228、229ページ

[FOOTNOTENering197038-4] 1 2ネリング 1970、p. 38。

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[:0-6] 1 2 「固有ベクトルと固有値」。www.mathsisfun.com 。 2020年8月19日取得。

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