変数の分離

数学において、変数分離法（フーリエ法とも呼ばれる）は、常微分方程式や偏微分方程式を解くためのいくつかの方法のいずれかであり、代数によって、2つの変数のそれぞれが方程式の異なる辺に現れるように方程式を書き直すことができます。

未知数に対する微分方程式は、次の形式で記述できる場合、分離可能である。 ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)h(f(x))}$

ここで、 とは与えられた関数です。 次のように記述すると、よりわかりやすくなるかもしれません。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y).}$

したがって、 h ( y ) ≠ 0である限り、項を並べ替えて次の式を得ることができます。

${\displaystyle {dy \over h(y)}=g(x)\,dx,}$

ここで、2 つの変数xとy は分離されています。 dx (およびdy ) は、単純なレベルでは、操作を支援するための便利な記憶補助を提供する便利な表記法としてのみ見ることができます。dxを微分 (無限小)として正式に定義することは、やや高度です。

ライプニッツの記法が嫌いな人は、次のように書くのを好むかもしれない。

${\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x),}$

しかし、なぜこれが「変数の分離」と呼ばれるのかは、これでは明らかではない。方程式の両辺を について積分すると、 ${\displaystyle x}$

または同等に、

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx}$

積分の置換規則によるものです。

2 つの積分を評価できれば、微分方程式の解を求めることができます。このプロセスにより、導関数を 分離可能な分数として効果的に扱うことができることに注意してください。これにより、以下の例に示すように、分離可能な微分方程式をより簡単に解くことができます。 ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$

（式（A1）では 、積分定数を２つ使用する必要がないことに注意。

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy+C_{1}=\int g(x)\,dx+C_{2},}$

単一の定数は同等であるためです。 ${\displaystyle C=C_{2}-C_{1}}$

人口増加は「ロジスティック」微分方程式でモデル化されることが多い。

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$

ここで、は時間に対する人口、は成長率、は環境の 収容力である。変数を分離すると、${\displaystyle P}$${\displaystyle t}$${\displaystyle k}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {dP}{P\left(1-P/K\right)}}=\int k\,dt\end{aligned}}}$

これは左辺の部分分数を使って簡単に積分でき、

${\displaystyle P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$

ここでAは積分定数である。t =0において が成り立つ ことがわかる。${\displaystyle A}$${\displaystyle P\left(0\right)=P_{0}}$${\displaystyle e^{0}=1}$

${\displaystyle A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}.}$

分離可能な 1 階常微分方程式について語ることができるのと同じように、分離可能な 2 階、3 階、またはn階常微分方程式について語ることができます。分離可能な 1 階常微分方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(y)g(x)}$

導関数は、未知の関数yに作用する演算子であることを強調するために、次のように記述することもできます。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}(y)}$

したがって、1 次方程式の変数を分離する場合、実際には演算子のdx分母をx変数側に移動し、d ( y ) はy変数側に残ります。2 次導関数演算子は、類推により次のように分解されます。

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}(y)\right)}$

3次、4次、n次の導関数演算子も同様に分解できる。したがって、1次の分離可能な常微分方程式が次の形式に還元できるのと同様である。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(y)g(x)}$

分離可能な2階常微分方程式は、次の形式に還元できる。

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f\left(y'\right)g(x)}$

そしてn次の分離型常微分方程式は次のように帰着できる。

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=f\!\left(y^{(n-1)}\right)g(x)}$

単純な非線形 2 次微分方程式を考えてみましょう。この方程式はy''とy'のみの方程式であるため、上記の一般的な形式に簡約可能であり、したがって分離可能です。これは 2 次分離方程式であるため、すべてのx変数を片側に集め、すべてのy'変数をもう一方の側に集めて、次の式を取得します。次に、右辺をxについて、左辺をy'について積分します。これにより、次の式が得られます。これは次のように簡略化されます。これは、最終的な答えを与える単純な積分問題です。$${\displaystyle y''=(y')^{2}.}$$$${\displaystyle {\frac {d(y')}{(y')^{2}}}=dx.}$$$${\displaystyle \int {\frac {d(y')}{(y')^{2}}}=\int dx.}$$$${\displaystyle -{\frac {1}{y'}}=x+C_{1},}$$$${\displaystyle y'=-{\frac {1}{x+C_{1}}}~.}$$$${\displaystyle y=C_{2}-\ln |x+C_{1}|.}$$

変数分離法は、熱方程式、波動方程式、ラプラス方程式、ヘルムホルツ方程式、重調和方程式など、境界条件と初期条件を持つさまざまな線形偏微分方程式を解くのにも使用されます。

偏微分方程式を解くための変数分離の解析的手法は、偏微分方程式系を解くために使用できる不変構造における分解の計算手法にも一般化されている。^[1]

1次元の熱方程式を考えてみましょう。方程式は

変数uは温度を表す。境界条件は均質であり、

境界条件を満たす、完全にゼロではないが、次の特性を持つ解を見つけてみましょう。u は、 uのx、tへの依存性が分離された積です。つまり、

uを式( 1 )に代入し、積の法則を用いると、

右辺はxのみに依存し、左辺はtのみに依存するため、両辺は定数 − λに等しくなります。したがって、

そして

−ここでλは両方の微分演算子の固有値であり、T ( t )とX ( x )は対応する固有関数です。

ここで、 λ≤0の値に対するX ( x )の解は発生しないことを示します。

λ < 0と仮定する。すると、実数B、Cが存在し、

${\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}.}$

（２）から次の式が得られる。

したがって、B = 0 = Cとなり、u は0 になります。

λ = 0と仮定すると、実数B、Cが存在し、

${\displaystyle X(x)=Bx+C.}$

（７）から、１と同様にuは0であると結論付けられる。

したがって、 λ > 0でなければならない。すると、実数A、B、Cが存在し、

${\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t},}$

そして

${\displaystyle X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x).}$

（７ ）からC = 0となり、ある正の整数nに対して、

${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.}$

これは、 uの依存性が( 3 ) の特殊な形を持つ特殊なケースで熱方程式を解きます。

一般に、境界条件( 2 )を満たす( 1 )の解の合計は、( 1 )と( 3 )も満たす。したがって、完全な解は次のように与えられる。

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}\exp \left(-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}\right),}$

ここで、D _{n は}初期条件によって決定される係数です。

初期条件が与えられると

${\displaystyle u{\big |}_{t=0}=f(x),}$

私たちは得ることができます

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}.}$

これは、フーリエ解析に適したf ( x )の正弦級数展開である。両辺を乗じて[0, L ]にわたって積分すると、次のようになる。 ${\textstyle \sin {\frac {n\pi x}{L}}}$

${\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx.}$

この方法では、固有関数X（ここでは）が直交かつ完全であることが必要である。一般に、これはSturm-Liouville 理論によって保証されている。 ${\textstyle \left\{\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right\}_{n=1}^{\infty }}$

方程式が非同次であると仮定すると、

境界条件は（2）と同じである。

h ( x,t )、u ( x , t )、f ( x )を 展開すると、

ここで、h _n ( t ) とb _{n は}積分によって計算できますが、u _n ( t ) は決定する必要があります。

（９）と（１０ ）を（ ８ ）に代入し、正弦関数の直交性を考慮すると、

${\displaystyle u'_{n}(t)+\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}u_{n}(t)=h_{n}(t),}$

これらは、例えばラプラス変換や積分因子などを使って簡単に解ける一連の線形微分方程式である。最終的に、

${\displaystyle u_{n}(t)=e^{-\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}t}\left(b_{n}+\int _{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}s}\,ds\right).}$

境界条件が非同次であれば、( 9 )と( 10 )の展開はもはや有効ではない。境界条件のみを満たす関数vを見つけ、それをuから減算する必要がある。関数uvは同次境界条件を満たし、上記の方法で解くことができる。

混合導関数を含む方程式の場合、最初の例の熱方程式のように簡単には分離できませんが、それでも変数の分離は適用できます。2次元の重調和方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}u}{\partial y^{4}}}=0.}$

通常の方法で進めていくと、次のような形の解が見つかる。

${\displaystyle u(x,y)=X(x)Y(y)}$

そして次の式が得られる。

${\displaystyle {\frac {X^{(4)}(x)}{X(x)}}+2{\frac {X''(x)}{X(x)}}{\frac {Y''(y)}{Y(y)}}+{\frac {Y^{(4)}(y)}{Y(y)}}=0.}$

この式を次のように書き表すと

${\displaystyle E(x)+F(x)G(y)+H(y)=0,}$

この式を について微分すると となり、これはまたはを意味し、同様に について微分するととなり、したがってまたは となるため、 F ( x ) またはG ( y )のいずれかが定数、たとえば −λ でなければなりません。これはさらに、または のいずれかが定数であることを意味します。 XとYの式に戻ると、2つのケースがあります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle E'(x)+F'(x)G(y)=0}$${\displaystyle G(y)=const.}$${\displaystyle F'(x)=0}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F(x)G'(y)+H'(y)=0}$${\displaystyle F(x)=const.}$${\displaystyle G'(y)=0}$${\displaystyle -E(x)=F(x)G(y)+H(y)}$${\displaystyle -H(y)=E(x)+F(x)G(y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X''(x)&=-\lambda _{1}X(x)\\X^{(4)}(x)&=\mu _{1}X(x)\\Y^{(4)}(y)-2\lambda _{1}Y''(y)&=-\mu _{1}Y(y)\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}Y''(y)&=-\lambda _{2}Y(y)\\Y^{(4)}(y)&=\mu _{2}Y(y)\\X^{(4)}(x)-2\lambda _{2}X''(x)&=-\mu _{2}X(x)\end{aligned}}}$

これらはそれぞれ、との個別のケースを検討することで解くことができます。 ${\displaystyle \lambda _{i}<0,\lambda _{i}=0,\lambda _{i}>0}$${\displaystyle \mu _{i}=\lambda _{i}^{2}}$

直交曲線座標では変数の分離は依然として使用できますが、直交座標の場合とは細部が異なります。たとえば、規則性または周期条件によって境界条件の代わりに固有値が決定されることがあります。球面調和関数の例を参照してください。

波動方程式、ヘルムホルツ方程式、シュレーディンガー方程式などの多くの偏微分方程式では、変数の分離の適用可能性はスペクトル定理の結果です。場合によっては、変数の分離が不可能な場合があります。変数の分離は、一部の座標系では可能ですが、他の座標系では不可能な場合があります。 ^[2]また、どの座標系で分離が可能かは、方程式の対称性特性によって異なります。^[3]以下は、特定の線形方程式への方法の適用可能性を示す議論の概要ですが、正確な方法は個々のケースで異なる場合があります（たとえば、上記の重調和方程式）。

2 つの変数を持つ関数の初期境界値問題を考えてみます。 ${\displaystyle u(x,t)}$${\displaystyle D=\{(x,t):x\in [0,l],t\geq 0\}}$

${\displaystyle (Tu)(x,t)=(Su)(x,t)}$

ここで はに関する微分演算子であり、 はに関する微分演算子であり、境界データは次のとおりです。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle (Tu)(0,t)=(Tu)(l,t)=0}$のために${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle (Su)(x,0)=h(x)}$のために${\displaystyle 0\leq x\leq l}$

ここで、は既知の関数です。 ${\displaystyle h}$

の形の解を求めます。偏微分方程式 を で割ると、${\displaystyle u(x,t)=f(x)g(t)}$${\displaystyle f(x)g(t)}$

${\displaystyle {\frac {Tf}{f}}={\frac {Sg}{g}}}$

右辺は のみに依存し、左辺は のみに依存するので、両方とも定数 に等しくなければならず、2つの常微分方程式が得られる。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle Tf=Kf,Sg=Kg}$

これは、およびの演算子の固有値問題として認識できます。が、関連する境界条件とともに、空間上のコンパクトな自己随伴演算子である場合、スペクトル定理により、の固有関数からなる基底が存在します。 のスペクトルを、を固有値 を持つ固有関数とします。 すると、各時点でに関して二乗積分可能な任意の関数に対して、この関数を の線形結合として表すことができます。特に、解は次のように表せることが わかっています。${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle L^{2}[0,l]}$${\displaystyle L^{2}[0,l]}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda \in E}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{\lambda }}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{\lambda \in E}c_{\lambda }(t)f_{\lambda }(x)}$

いくつかの関数について。変数分離法では、これらの関数は次のように解かれる。${\displaystyle c_{\lambda }(t)}$${\displaystyle Sg=Kg}$

したがって、スペクトル定理により、変数の分離によって（可能な場合）すべての解が見つかることが保証されます。

のような多くの微分演算子については、部分積分によって自己随伴であることを示すことができる。これらの演算子はコンパクトではないかもしれないが、その逆演算子（存在する場合）は波動方程式の場合のようにコンパクトである可能性があり、これらの逆演算子は元の演算子と同じ固有関数と固有値を持つ（ゼロの例外がある可能性がある）。^[4]${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$

変数分離の行列形式はクロネッカー和です。

例として、規則的なグリッド上の2D離散ラプラシアンを考えます。

${\displaystyle L=\mathbf {D_{xx}} \oplus \mathbf {D_{yy}} =\mathbf {D_{xx}} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{yy}} ,\,}$

ここで、 および はそれぞれx方向とy方向の 1D 離散ラプラシアンであり、 および は適切なサイズの恒等関数です。詳細については、 メイン記事「離散ラプラシアンのクロネッカー和」を参照してください。${\displaystyle \mathbf {D_{xx}} }$${\displaystyle \mathbf {D_{yy}} }$${\displaystyle \mathbf {I} }$

いくつかの数学プログラムは変数の分離を行うことができます。その中にはXcas ^[5]などがあります。

• 分離不可能な微分方程式

• ポリアニン、アンドレイ D. (2001-11-28)。エンジニアと科学者のための線形偏微分方程式ハンドブック。フロリダ州ボカラトン：チャップマン＆ホール/CRC。ISBN 1-58488-299-9。
• Myint-U, Tyn; Debnath, Lokenath (2007).科学者とエンジニアのための線形偏微分方程式. ボストン、マサチューセッツ州: Birkhäuser Boston . doi :10.1007/978-0-8176-4560-1. ISBN 978-0-8176-4393-5。
• テシュル、ジェラルド(2012)。常微分方程式と動的システム。数学大学院研究。第 140 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-8328-0。

• 「フーリエ法」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• John Renze、Eric W. Weisstein、「変数の分離」（「微分方程式」）、MathWorldにて。
• EqWorld: 数式の世界における変数の一般化および機能的分離の方法
• 変数を分離して偏微分方程式を解く例
• 「変数の分離の簡潔な正当化」